Hyperboloid

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Einschaliges Hyperboloid
Zweischaliges Hyperboloid

Ein Hyperboloid ist im einfachsten Fall eine Fläche, die durch Rotation einer Hyperbel um eine ihrer Achsen entsteht.

  • Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Nebenachse entsteht ein einschaliges Hyperboloid. Es besteht aus einem zusammenhängenden Flächenstück.
  • Bei Rotation einer Hyperbel um ihre Hauptachse entsteht ein zweischaliges Hyperboloid. Es besteht aus zwei getrennten Flächenstücken.

Beide Flächen lassen sich durch eine quadratische Gleichung (analog zu den Gleichungen von Ellipse und Hyperbel) beschreiben. Sie sind deshalb Spezialfälle von Quadriken (Kugel, Kegel, Paraboloid, …) und werden typischerweise von Ebenen in Kegelschnitten geschnitten.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen einem ein- bzw- zweischaligen Hyperboloid ist:

Das einschalige Hyperboloid enthält Geraden, das zweischalige nicht.

Diese Eigenschaft macht das einschalige Hyperboloid für Architekten und Bauingenieure interessant, da sich einschalige Hyperboloide leicht aus Geraden modellieren lassen: z. B. Kühltürme (s. Bilder am Ende des Artikels). Auch im Maschinenbau finden einschalige Hyperboloide Verwendung bei Hyperboloidgetrieben,[1][2] Einschalige Hyperboloide spielen auch in der synthetischen Geometrie eine Rolle: Eine Minkowski-Ebene ist die Geometrie der ebenen Schnitte eines einschaligen Hyperboloids. Während das einschalige Hyperboloid von Tangentialebenen in zwei sich schneidenden Geraden geschnitten wird (s. u.), hat ein zweischaliges Hyperboloid mit Tangentialebenen immer nur einen Punkt gemeinsam und ist deshalb geometrisch mehr mit einer Kugel verwandt.

Siehe auch

Literatur

  •  Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen (= Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik). 2., durchgesehene und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X (online).
  •  Burkhard Polster: A geometrical picture book. 1. Auflage. Springer, New York/ Berlin/ Heidelberg 1998, ISBN 0-387-98437-2.
  •  Hermann Schaal: Lineare Algebra und analytische Geometrie. III, Vieweg, 1980, ISBN 3-528-13057-1.
  •  Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0.
  •  Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. 2., überarb. und erw. Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, 1999, ISBN 3-411-14101-8.

Weblinks

Commons: Hyperboloid - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

Einzelnachweise

  1. ↑ W. Steinhilper (Herausg.): Konstruktionselemente des Maschinenbaus 2. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-29629-8, S. 374.
  2. ↑ Modellsammlung d. Uni Göttingen: Hyperboloidgetriebe


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