Abelsche Gruppe

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Abelsche Gruppe

Dieser Artikel setzt folgende mathematischen Begriffe voraus:

ist Spezialfall von

Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.

Der mathematische Begriff abelsche Gruppe, auch kommutative Gruppe genannt, verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen. Addition rationaler Zahlen und die Multiplikation rationaler Zahlen LaTeX:  \neq 0 erfüllen eine Reihe gemeinsamer Gesetze. Diese Regeln kommen oft in Geometrie und Algebra vor. So zum Beispiel bei Verschiebungen, Drehungen der Ebene um einen Punkt, Addition von Funktionen. Ornamente in Kunst und Natur zeichnen die Spuren abelscher Gruppen. Deswegen wird von der speziellen Bedeutung des Additionszeichens LaTeX:  + und des Multiplikationszeichens LaTeX:  \cdot abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel gewählt worden.

Definition

Sei LaTeX: G eine Menge. Jedem Paar LaTeX: (a, b) \in G\times G sei genau ein Element LaTeX: a * b \in G zugeordnet. Das Paar LaTeX: (G, *) heißt abelsche Gruppe, wenn die Verknüpfung LaTeX: *\colon\, G\times G \to G, (a, b) \mapsto a * b die folgenden Gesetze erfüllt:

  1. Assoziativgesetz:     Für alle LaTeX: a, b, c \in G gilt: LaTeX: a * (b * c) = (a * b) *c.
  2. Kommutativgesetz:  Für alle LaTeX: a, b \in G gilt: LaTeX: a * b = b * a.
  3. Neutrales Element:  Es gibt ein Element LaTeX: e \in G, so dass für alle LaTeX: a \in G gilt: LaTeX: a * e = a.
  4. Inverses Element:    Zu jedem LaTeX: a \in G gibt es ein LaTeX: a^{-1} \in G mit LaTeX: a * a^{-1} = e.[1]

Eine Gruppe LaTeX: (G, *) heißt nichtabelsch, wenn in ihr mindestens ein Paar LaTeX: (a, b) existiert mit LaTeX: a * b \ne b * a.

Erläuterungen

  • Wird bei den Axiomen das Kommutativgesetz weggelassen, so ergibt sich eine Gruppe. Eine abelsche Gruppe ist daher nichts anderes als eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.
  • Das neutrale Element und das inverse Element eines jeden Gruppenelementes sind eindeutig bestimmt, wie sich aus den Axiomen zeigen lässt.
  • Meist wird eine abelsche Gruppe additiv mit dem Verknüpfungszeichen LaTeX: + geschrieben und dann ein Modul genannt. In diesem Falle heißen LaTeX: a + b die Summe von LaTeX: a und LaTeX: b, das neutrale Element Nullelement oder einfach Null und wird LaTeX: 0 geschrieben. Das Inverse von LaTeX: a wird dann als dessen Entgegengesetztes mit LaTeX: -a bezeichnet.
  • Eine kommutative Gruppe kann auch multiplikativ mit dem Verknüpfungszeichen LaTeX: \cdot geschrieben werden. Dann heißt LaTeX: a \cdot b oder einfach LaTeX: ab das Produkt von LaTeX: a und LaTeX: b. In diesem Falle heißt das neutrale Element Einselement oder einfach Eins und wird LaTeX: 1 geschrieben. Das Inverse von LaTeX: a bezeichnet man nun mit LaTeX: a^{-1}.
  • In einem Modul wird die Differenz zweier Elemente erklärt als LaTeX: a - b := a + (-b). Es gelten dann die Regeln: LaTeX: -(a + b) = (-a) + (-b), -(a - b) = (-a) + b. Wird die abelsche Gruppe multiplikativ geschrieben, so definiert man entsprechend den Quotienten LaTeX: a/b := a \cdot b^{-1}.

Beispiele

  1. LaTeX:  (\Z,+) ist die wichtigste abelsche Gruppe. Dabei ist LaTeX:  \Z die Menge der ganzen Zahlen und LaTeX:  + die gewöhnliche Addition.
  2. LaTeX:  (\Q^{*},\cdot) ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist LaTeX:  \Q^{*} die Menge der rationalen Zahlen ohne die LaTeX:  0 und LaTeX:  \cdot ist die gewöhnliche Multiplikation.
  3. Die Menge der endlichen Dezimalzahlen sind bezüglich der Multiplikation keine abelsche Gruppe. Zum Beispiel hat die Zahl LaTeX:  3 kein Inverses bezüglich der Multiplikation. LaTeX:  \frac{1}{3} lässt sich nicht als endlicher Dezimalbruch schreiben. Bezüglich der normalen Addition bilden die endlichen Dezimalbrüche eine abelsche Gruppe.
  4. Die Menge der Verschiebungen in der euklidischen Ebene bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen.
    Ein Dreieck wird um den Verschiebungsvektor LaTeX:  \vec{v} verschoben
  5. Die Menge der Drehungen in einer Ebene um einen Punkt bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Drehungen.
  6. Die Menge der Drehstreckungen in einer Ebene bilden eine abelsche Gruppe.
  7. Von genügend kleinen Gruppen lässt sich die Verknüpfungstafel aufschreiben.

LaTeX:  \begin{matrix}*| & e| & a| &b| \\ \hline\hline
e | &e | &a|& b|\\\hline
a | &a | &b| &e| \\\hline
b | &b | &e| & a|\\\hline \end{matrix} .

Ist es die Tafel einer abelschen Gruppe, so ist die Tafel symmetrisch zur Hauptdiagonale. Diese Tafel ergibt sich beispielsweise, wenn man die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um den Schwerpunkt betrachtet, die das Dreieck in sich überführen. LaTeX:  e ist die Drehung um LaTeX:  0^\circ , LaTeX:  a ist die Drehung um LaTeX:  120^\circ und LaTeX:  b ist die Drehung um LaTeX:  240^\circ .

  1. Sind LaTeX:  A,B abelsche Gruppen, so wird LaTeX:  A \times B = \{ (a,b) | a\in A, \ b \in B \} zu einer abelschen Gruppe durch LaTeX:  (a,b) + (a',b'):= (a+a',b+b') .
  2. Ist LaTeX:  I eine Menge und LaTeX:  A eine abelsche Gruppe, so ist LaTeX:  A^I:= \{f| f\colon I \to A \} eine Gruppe, wenn definiert wird: LaTeX:  (f+g)(i):= f(i) + g(i) . Es heißt LaTeX:  f(i) die LaTeX: ite Komponente von LaTeX: f. Oft wird LaTeX:  f als Vektor geschrieben der Form LaTeX:  (a_i) . Dabei ist LaTeX:  a_i=f(i) . Ist LaTeX:  I= \N , so ist LaTeX:  A^{\N} die Menge der Folgen, wobei die Folgenglieder Elemente aus LaTeX:  A sind. Ist LaTeX:  I= \{1,\dots ,n\} , so ist LaTeX:  \Z^n= \{(a_1,\dots,a_n)| \text{ mit } a_i \in \Z \} .
  3. Die reellen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe; ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
  4. Allgemeiner liefert jeder Körper LaTeX: (K, +, \cdot) in derselben Weise zwei abelsche Gruppen LaTeX: \left(K, +\right) und LaTeX: (K\setminus\{0\}, \cdot).
  5. Hingegen ist die Gruppe LaTeX: (\mathrm{GL}_n(K), \cdot) der invertierbaren LaTeX:  (n\times n)-Matrizen über einem Körper LaTeX: K für LaTeX: n > 1 ein Beispiel für eine nichtabelsche Gruppe. Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist übrigens die symmetrische Gruppe S3 mit sechs Elementen.

Untergruppen

Eine nicht leere Teilmenge LaTeX:  U der abelschen Gruppe LaTeX:  A heißt Untergruppe, wenn sie bezüglich der Gruppenoperation selber eine Gruppe ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle LaTeX:  a,b \in  U gilt: LaTeX:  a-b \in U .[2] In diesem Artikel wird die folgende Bezeichnung gewählt:LaTeX:  U \hookrightarrow A .

  1. LaTeX:  \Z ist Untergruppe von LaTeX:  \Q .
  2. Der Durchschnitt von Untergruppen ist eine Untergruppe.
  3. Jede Teilmenge LaTeX:  U \subset A ist enthalten in einer kleinsten Untergruppe, die LaTeX:  U enthält. Diese Untergruppe heißt die von LaTeX:  U erzeugte Untergruppe von LaTeX:  A . Sie wird mit LaTeX:  \left \langle U \right \rangle bezeichnet.
  4. Sind LaTeX:  U, V Untergruppen von LaTeX:  A , so ist die Menge LaTeX:  U+V:= \{u+v\vert u\in U, v\in V \} eine Untergruppe von LaTeX:  A . Allgemeiner: Ist LaTeX:  (U_i |i \in I) eine Familie von Untergruppen, so ist LaTeX:  \sum\limits_{i \in I} U_i:=\{\sum_{i\in I}u_i\vert u_i\in U_i \} eine Untergruppe von LaTeX:  A . Sie heißt die Summe der Untergruppen .
  5. Ist LaTeX:  U \subset A , so ist die von LaTeX:  U erzeugte Untergruppe LaTeX:  \left \langle U \right \rangle= \sum_{u\in U} \left \langle u \right \rangle . Ist LaTeX:  \left \langle U \right \rangle = A so heißt LaTeX:  U ein Erzeugendensystem von LaTeX:  A .
  6. Eine abelsche Gruppe LaTeX:  A heißt endlich erzeugt , wenn es eine endliche Teilmenge LaTeX:  U \subset A gibt, so dass LaTeX:  \left \langle U \right \rangle = A gilt. Ist LaTeX:  A von einem Element LaTeX:  a \in A erzeugt, so heißt LaTeX:  A zyklisch. Es wird LaTeX:  A= a\cdot \Z geschrieben.
    1. Jede Untergruppe von LaTeX:  \Z ist zyklisch.
    2. Das heißt beispielsweise: Die Summe zweier zyklischer Untergruppen von LaTeX:  \Z ist wieder zyklisch. Es gilt LaTeX:  a\cdot \Z + b\cdot \Z = \operatorname{ggT}(a,b) \cdot \Z . Dabei ist LaTeX:  \operatorname{ggT}(a,b) der größte gemeinsamer Teiler von LaTeX:  a,b . z. B. LaTeX:  6\cdot \Z + 9\cdot \Z = 3\cdot \Z .
    3. Sind LaTeX:  a\cdot \Z, b\cdot \Z Untergruppen von LaTeX:  \Z , dann ist LaTeX:  a\cdot \Z \cap b\cdot \Z =\operatorname{kgV}(a,b) \cdot \Z . Dabei ist LaTeX:  \operatorname{kgV}(a,b) das kleinste gemeinsame Vielfache von LaTeX:  a,b . Zum Beispiel LaTeX:  3\Z \cap 5\Z = 15\Z.
    4. LaTeX:  (\Q,+) ist nicht endlich erzeugt. Genauer: Ist LaTeX:  U ein Erzeugendensystem von LaTeX:  (\Q,+) und ist LaTeX:  u \in U , so ist auch noch LaTeX:  U\setminus \{u\} ein Erzeugendensystem.

Faktorgruppen

Ist LaTeX:  U \hookrightarrow A eine Untergruppe, so definiert LaTeX:  a\sim a' \iff a-a'\in U eine Äquivalenzrelation. Sind LaTeX:  a,a',b,b' \in A und sind LaTeX:  a\sim a', b \sim b' so ist LaTeX:  a+b \sim a' + b' . Die Äquivalenzrelation heißt verträglich mit der Addition. Sei LaTeX:  A/U: = \{ a+U | a\in A\}= Menge der Äquivalenzklassen. Auf LaTeX:  A/U wird eine Addition erklärt.

LaTeX:  (a+U)+ (b+U)\colon= (a+b)+U .[3]

Wollen wir tatsächlich in LaTeX:  A/U rechnen, so genügt es sich auf ein Repräsentantensystem von LaTeX:  A/U zu beschränken. Denn jede Äquivalenzklasse ist durch ein Element aus der Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt. Es ist LaTeX:  a\sim a' \iff a+U = a'+U .

  • Ist LaTeX:  U \hookrightarrow \Z  eine Untergruppe von LaTeX:  \Z , so ist LaTeX:  U zyklisch. Das heißt es gibt ein LaTeX:  n\in \N mit LaTeX:  U= n\cdot \Z. Ist LaTeX:  a\in U , so gibt es einen positiven Repräsentanten in der Äquivalenzklasse von LaTeX:  a . Es ist daher keine Einschränkung, wenn wir LaTeX:  a\in \N voraussetzen. Wir erhalten einen Repräsentanten von LaTeX:  a+U durch Teilen mit Rest. Es ist für zwei positive LaTeX:  a \sim a' genau dann, wenn sie beim Teilen durch LaTeX:  n den gleichen Rest lassen. Es ist dann LaTeX:  \{0, \dots, n-1 \} ein Repräsentantensystem von LaTeX:  \Z/n\cdot \Z . Bezeichnet LaTeX:  a \mod n  der Rest, der beim Teilen von LaTeX:  a durch LaTeX:  n sich ergibt, so entspricht dem Rechnen in LaTeX:  \Z/n\cdot \Z folgende 'Addition': LaTeX:  a+_n b:= (a+b) \mod n für LaTeX:  a,b \in \{0,\dots ,n-1\} . Den Index LaTeX:  n beim LaTeX:  + Zeichen lässt man weg. So ergibt in LaTeX:  \Z/11\cdot \Z zum Beispiel LaTeX:   7+ 5 = 1\bmod 11 .[4]
  • LaTeX:  \Z ist eine Untergruppe von LaTeX:  \R . Ein Repräsentantensystem von LaTeX:  \R/\Z ist das rechts offene Einheitsintervall LaTeX:  [0,1[ . In diesem Repräsentantesystem rechnet man folgendermaßen: LaTeX:  (a+b)\bmod 1= (a+b) - [a+b] . Dabei ist LaTeX:  [x]:= größte ganze Zahl LaTeX:  \le x . Es ist daher für

LaTeX:  a,b\in [0,1[ : LaTeX:  (a+b) \bmod 1 = \begin{cases} a+b \text{ falls } a+b<1\\ a+b -1 \text{ falls } a+b\ge 1 \end{cases}

  • Die besonderen Eigenschaften der Untergruppe LaTeX: \Q/\Z von LaTeX:  \R/ \Z kommen etwas weiter unten zur Sprache.

Homomorphismen

Definition

Sind LaTeX:  A,B abelsche Gruppen, so heißt eine Abbildung LaTeX:  f\colon A \rightarrow B Homomorphismus , wenn für alle LaTeX:  a,b \in A gilt: LaTeX:  f(a+b) = f(a) + f(b) .[5]

Beispiele für Homomorphismen

  • Die Identität und die Nullabbildung LaTeX:  A\ni a \mapsto 0 \in B sind stets Homomorphismen. Zu jeder abelschen Gruppe LaTeX:  A gibt es genau einen Morphismus LaTeX:  0 \to A . Genauso gibt es genau einen Homomorphismus LaTeX:  A \to 0 .
  • Ist LaTeX:  U \hookrightarrow A eine Untergruppe von LaTeX:  A , so ist die Inklusionsabbildung ein Homomorphismus.
  • Die Abbildung LaTeX:  2*\colon \Z \ni x \mapsto 2\cdot x \in \Z ist ein Homomorphismus. Allgemein: Ist LaTeX:  a\in \Z so ist die Multiplikation mit LaTeX:  a , also die Abbildung LaTeX:  a*\colon \Z \ni x \mapsto a\cdot x \in \Z , ein Homomorphismus. Dies ist äquivalent zum Distributivgesetz, welches besagt: Für alle LaTeX:  a,b,c\in \Z gilt: LaTeX:  a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c . Die Multiplikationen sind auch die einzigen Homomorphismen LaTeX:  \Z \to \Z das heißt: Ist LaTeX:  f\colon \Z \to \Z ein Homomorphismus, so gibt es ein LaTeX:  a\in \Z mit LaTeX:  f(z)= a\cdot z für alle LaTeX:  z \in \Z .
  • Ist LaTeX:  a\in \Q^{*}, so ist die Abbildung LaTeX:  \Z \ni x \mapsto a^{x}\in \Q ein Homomorphismus, von der additiven Gruppe LaTeX: \Z in die multiplikative Gruppe LaTeX:  \Q^{*} .
  • Die natürliche Exponentialfunktion: LaTeX:  \exp\colon \R \ni x \mapsto \exp(x)= e^x \in \R^+ ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen. Sie bildet die additive Gruppe LaTeX:  \R bijektiv in die multiplikative Gruppe LaTeX:  \R^+ ab. Die Umkehrabbildung ist der natürliche natürlicher Logarithmus.
  • Die Verkettung von Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Klasse der abelschen Gruppen, zusammen mit den Homomorphismen bilden eine Kategorie (Mathematik) LaTeX: \mathcal{A}. Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie.

Universelle Eigenschaft der ganzen Zahlen

  • Zu jeder Gruppe LaTeX: A und jedem LaTeX: a \in A gibt es genau einen Homomorphismus LaTeX: \Phi_a\colon\, \Z \to A mit LaTeX: \Phi_a(1) = a.

Es ist dann LaTeX: \Phi_a(2)= a * a, und

LaTeX: \Phi_a(-1) = a^{-1}.

Allgemein ist

LaTeX: \Phi_a(z) = \left\{\begin{matrix} \underbrace{a+a+\ldots+a}_{z\ \mathrm{ mal }}&\text{falls }  &z \ge 0,\\ -(\Phi_a(|z|)) &\text{ falls } &z < 0.\\ \end{matrix}\right..

Es ist LaTeX: (\Z,+) eine freie abelsche Gruppe mit Basis LaTeX: \{1\}.

  • Es liegt nahe für LaTeX: z \in \Z und LaTeX: a \in A zu definieren: LaTeX: a \cdot z := \Phi_a(z). Es gilt dann:
  1. LaTeX:  a\cdot 0 = 0 . (Achtung! Es kann verwirren, dass auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Zeichen LaTeX: 0 verwendet wird. Auf der linken Seite der Gleichung steht das neutrale Element in LaTeX: \Z. Auf der rechten Seite der Gleichung steht das neutrale Element in LaTeX: A. Beide Male sind die verschiedenen neutralen Elemente mit LaTeX: 0 geschrieben.)
  2. Für alle LaTeX: a \in A ist LaTeX: a \cdot 1 = a.
  3. Für alle LaTeX: z_1, z_2 \in \Z und alle LaTeX: a \in A ist LaTeX: a\cdot (z_1 \cdot z_2) = (a \cdot z_1) \cdot z_2.
  4. Für alle LaTeX: a \in A und alle LaTeX: z_1, z_2 \in \Z ist LaTeX: a\cdot (z_1 + z_2) = a \cdot z_1 + a \cdot z_2.
  5. Für alle LaTeX: a_1, a_2 \in A und alle LaTeX: z \in \Z ist LaTeX: (a_1 + a_2) \cdot z = a_1 \cdot z + a_2 \cdot z.
  • Jeder Modul wird auf diese Weise zu einem LaTeX: \Z-Modul. Ist LaTeX: f\colon\, A \to B ein Homomorphismus, so ist für alle LaTeX: a \in A, z \in Z: LaTeX: f(a\cdot z) = f(a) \cdot z.
  • Es lohnt sich die vorletzte Aussage für eine Gruppe LaTeX: (Q, \cdot) zu übersetzen, die multiplikativ geschrieben wird. In diesem Falle ist das Neutralelement in LaTeX: Q die LaTeX: 1. Zu jedem beliebigen LaTeX: q \in Q gibt es genau einen Homomorphismus LaTeX: \Phi_q\colon\, \Z \to Q mit LaTeX: \Phi_q(1) = q. Es ist LaTeX: \Phi_q(2) = q \cdot q = q^2, \Phi_q(-1) = q^{-1}. Allgemein ist LaTeX: \Phi_q(z) = q^z. Die obigen Gesetze besagen dann:
  1. Für alle LaTeX: q\in Q ist LaTeX:  q^{0}=1 .
  2. Für alle LaTeX: q\in Q, z_1, z_2 \in Z ist LaTeX: q^{(z_1 \cdot z_2)} = (q^{z_1})^{z_2}.
  3. Für alle LaTeX: q\in Q, z_1, z_2 \in Z ist LaTeX: q^{z_1 + z_2} = q^{z_1} \cdot q^{z_2}.
  4. Für alle LaTeX: q_1, q_2 \in Q, z\in Z ist LaTeX: (q_1 \cdot q_2)^z = q_1^{z} \cdot q_2^{z}. Wird für LaTeX: Q die Menge der rationalen oder reellen Zahlen LaTeX: \neq 0 eingesetzt, so ergeben sich die aus der Schule bekannten Gesetze für das Rechnen mit Exponenten.

Eigenschaften von Homomorphismen

Ist LaTeX:  \alpha\colon A \to B ein Homomorphismus, und sind LaTeX:  U\hookrightarrow A beziehungsweise LaTeX:  V \hookrightarrow B Untergruppen, so sind LaTeX:  \alpha^{-1}(V) \hookrightarrow A und LaTeX:  \alpha(U)\hookrightarrow B Untergruppen. Insbesondere sind LaTeX:  \operatorname{Kern}(\alpha):=\{a|a\in A, \alpha(a)=0\} und LaTeX:  \alpha(A):= \operatorname{Bild}(\alpha)=\{\alpha(a)|a\in A\} Untergruppen. Hieraus folgt:

  • Ist LaTeX:  A eine Gruppe und LaTeX:  n eine natürliche Zahl, so ist LaTeX:  A\cdot n:=\{a\cdot n| a\in A\} und LaTeX:  A[n]:=\{a|a\cdot n =0 \} Untergruppen von LaTeX:  A . Dies gilt, da die Multiplikation mit LaTeX:  n ein Homomorphismus ist.
  • LaTeX:  T(A): = \sum\limits_{n \in \N} A[n] = \{a| a\in A \text{ es gibt } n \in \N \text{ mit } a\cdot n=0 \} ist Untergruppe von LaTeX:  A . Dies ist die Torsionsuntergruppe von LaTeX:  A . Ist LaTeX:  T(A) = 0 , so heißt LaTeX:  A torsionsfrei. Für jede Gruppe ist LaTeX:  A/T(A) torsionsfrei. Die Torsionsuntergruppe von LaTeX:  \R/\Z ist LaTeX:  \Q/\Z .
  • Ist LaTeX:  f\colon A \to B ein Homomorphismus und ist LaTeX:  \operatorname{Kern}(f) von LaTeX:  n Elementen erzeugt und ist LaTeX:  \operatorname{Bild}(f) von LaTeX:  m Elementen erzeugt, so ist LaTeX:  A von LaTeX:  n+m Elementen erzeugt.
  • Jede Untergruppe von LaTeX:  \Z^n ist von maximal LaTeX:  n Elementen erzeugt.

Injektive Homomorphismen

  • Ist LaTeX: \alpha\colon A \to B ein bijektiver Homomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung LaTeX:  \alpha^{-1}\colon B \to A ein Homomorphismus. In diesem Fall heißt LaTeX:  \alpha Isomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen LaTeX:  A und LaTeX:  B so heißen LaTeX:  A,B isomorph.
  • Ist LaTeX:  \alpha\colon A\to B ein Homomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent. In diesem Fall heißt LaTeX:  \alpha Monomorphismus.
  1. LaTeX:  \alpha ist als Abbildung injektiv.
  2. LaTeX:  \operatorname{Kern}(\alpha)=0 .
  3. Für alle abelschen Gruppen LaTeX:  C und alle Homomorphismen LaTeX:  f,g\colon C\to A mit LaTeX:  \alpha \circ f= \alpha \circ g ist LaTeX:  f=g . Es ist LaTeX:  \alpha links kürzbar.
  • Die Verkettung von Monomorphismen ist ein Monomorphismus. Das heißt genauer: Sind LaTeX:  \alpha\colon A \to B, \beta\colon B \to C Monomorphismen, so ist LaTeX:  \beta \circ \alpha\colon A\to C ein Monomorphismus.

Surjektive Homomorphismen

Ist LaTeX:  \alpha\colon A \to B ein Homomorphismus, so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Dann heißt LaTeX:  \alpha Epimorphismus.

  1. LaTeX: \alpha ist als Abbildung surjektiv.
  2. LaTeX:  B/\alpha(A) =0 .
  3. Für alle Gruppen LaTeX:  C und alle LaTeX:  f,g\colon B \to C gilt: Ist LaTeX:  f\alpha = g\alpha , so ist LaTeX:  f=g . Es ist LaTeX:  \alpha auf der rechten Seite kürzbar.
  • Ist LaTeX:  U \hookrightarrow A eine Untergruppe, so ist die Abbildung LaTeX:  \pi_{U} \colon A\ni a\mapsto a+U \in A/U ein Epimorphismus.
  • Die Verkettung von Epimorphsmen ist ein Epimorphismus. Das heißt genauer: Sind LaTeX:  f\colon A\to B und LaTeX:  g\colon B \to C Epimorphismen, so ist LaTeX:  g\circ f ein Epimorphismus. Er heißt kanonischer Epimorphismus.
  • Sind LaTeX:  f\colon A\to B und LaTeX:  g\colon B \to C Homomorphismen und ist LaTeX:  g\circ f ein Epimorphismus, so ist LaTeX:  g ein Epimorphismus.

Isomorphismus, Isomorphiesätze

Ein bijektiver Homomorphismus LaTeX:  f\colon A \rightarrow B heißt Isomorphismus. Dies ist genau dann der Fall, wenn er monomorph und epimorph ist. Es gelten die folgenden Sätze.

  • Homomorphiesatz: Sei LaTeX:  \alpha\colon A \rightarrow B ein Homomorphismus. LaTeX:  \pi\colon A\rightarrow A/\operatorname{Kern}(\alpha) der kanonische Epimorphismus. Dann ist LaTeX:  \alpha^*\colon A/\operatorname{Kern}(\alpha) \ni \pi(a) \mapsto \alpha(a) \in B ein Monomorphismus mit LaTeX:  \alpha^{*} \circ  \pi = \alpha . Insbesondere ist LaTeX:  A/\operatorname{Kern}(\alpha)\cong \alpha(A) .[6] Es ist folgendes Diagramm kommutativ.

Der Homomorphiesatz gilt allgemein für Gruppen.

  • Erster Isomorphiesatz: Seien LaTeX:  B,C Untergruppen von LaTeX:  A. Dann gilt: LaTeX:  B+C/C \cong B/B\cap C .[7]
  • Zweiter Isomorphiesatz: Seien LaTeX:  C\hookrightarrow B \hookrightarrow A Untergruppen. Dann gilt : LaTeX:  A/B \cong (A/C)/(B/C) .[8]

Der Funktor Hom(A, –)

  • Sind LaTeX:  A,B Gruppen, so ist die Menge LaTeX:  \operatorname{Hom}(A,B) = \{f|f\colon A\to B,\  f \text{ ist Homomorphismus }\} eine Gruppe. Die Addition ist erklärt durch: LaTeX:  (f+g)(a): = f(a) + g(a) .
    • Es ist LaTeX:  \operatorname{Hom}(\Q, A)= 0 für jede endlich erzeugte Gruppe LaTeX:  A .
    • Ist der größte gemeinsame Teiler zwei Zahlen LaTeX:  a,b gleich LaTeX:  1 , so ist LaTeX:  \operatorname{Hom}(\Z/a\Z,\Z/b\Z) =0 .
    • Für alle abelschen Gruppen LaTeX:  A ist LaTeX:  A\cong \operatorname{Hom}(\Z,A) . Diese Isomorphie ist ein funktorieller Isomorphismus. Genauer wird dies weiter unten ausgeführt.
  • Ist LaTeX:  f\colon B \to C ein Homomorphismus, so ist die Zuordnung LaTeX:  \operatorname{Hom}(A,f)\colon \operatorname{Hom}(A,B) \ni \alpha \mapsto f\circ \alpha \in \operatorname{Hom}(A,C) ein Homomorphismus. Für LaTeX:  f\colon B\to C, g\colon C\to D gilt: LaTeX:  \operatorname{Hom}(A,g\circ f) = \operatorname{Hom}(A,g) \circ \operatorname{Hom}(A,f). Ist LaTeX:  1_B die Identität auf LaTeX:  B , so ist LaTeX:  \operatorname{Hom}(A,1_B) die Identität auf LaTeX:  \operatorname{Hom}(A,B) . Ist LaTeX:  f\colon B\to C ein Isomorphismus, so ist LaTeX:  \operatorname{Hom}(A,f)\colon \operatorname{Hom}(A,B) \to \operatorname{Hom}(A,C) ein Isomorphismus. Wird
    • Jeder abelschen Gruppe LaTeX:  B die abelsche Gruppe LaTeX:  \operatorname{Hom}(A,B) und
    • jedem Homomorphismus LaTeX:  f\colon A\to B der Homomorphismus LaTeX:  \operatorname{Hom}(A,f) zugeordnet, so erhält man den Funktor LaTeX:  \operatorname{Hom}(A,-) von der Kategorie der abelschen Gruppen LaTeX:  \cal{A} in die Kategorie LaTeX:  \cal{A} .
  • Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von LaTeX:  \Z . Da es zu jedem LaTeX:  a\in A einen eindeutig bestimmten Homomorphismus LaTeX:  \Phi_a\colon \Z \to A mit LaTeX:  \Phi_a(1)= a gibt, ist die Zuordnung LaTeX:  \Phi(A)\colon A\ni a\mapsto \Phi_a\in \operatorname{Hom}(\Z,A) eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen: LaTeX:  \{ \Phi(A)| A \text{ abelsche Gruppe } \} hat die folgende Eigenschaft: Für alle LaTeX:  A,B\in \cal{A} und alle Homomorphismen LaTeX:  f\colon A \to B ist LaTeX:  \Phi(B) \circ f = \operatorname{Hom}(\Z,f)\circ \Phi(A) . Außerdem ist für alle LaTeX:  A\in \cal{A} die Abbildung LaTeX:  \Phi(A) ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist: LaTeX:  \Psi(A)\colon \operatorname{Hom}(\Z,A) \ni \alpha \to \alpha(1) \in A . Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ für alle LaTeX:  A,B\in \cal{A} und alle LaTeX:  f\colon A\to B mit Isomorphismen LaTeX:  \Phi(A), \Phi(B) .
    Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A)
    Das heißt unter anderem LaTeX:  f\colon A \to B ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn LaTeX:  \operatorname{Hom}(\Z,f) dies ist.
  • Hom(G,-) und exakte Folgen: Ist LaTeX:  0 \to A \overset{\alpha}{\longrightarrow} B \overset{\beta}{\longrightarrow} C eine exakte Folge exakte Folge abelscher Gruppen, so ist für jede Gruppe LaTeX:  G die induzierte Folge LaTeX:  0 \to \operatorname{Hom}(G,A) \overset{\alpha^*}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(G,B) \overset{\beta^*}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(G,C) exakt.[9] Dabei ist LaTeX:  \alpha^*=\operatorname{Hom}(G,\alpha). Der Funktor LaTeX:  \operatorname{Hom}(G,-) heißt links exakt. Ist LaTeX:  \beta ein Epimorphismus, so ist normalerweise LaTeX:  \operatorname{Hom}(G,\beta) kein Epimorphismus.
  • Für LaTeX:  \operatorname{End}(A):= \operatorname{Hom}(A,A) gelten die folgenden Gesetze.
    • Für alle LaTeX:  f,g,h \in \operatorname{End}(A) ist LaTeX:  f\circ(g+h) = f\circ g + f\circ h und LaTeX:  (f+g)\circ h= f\circ h+ g\circ h .
    • Für alle LaTeX:  f\in \operatorname{End}(A) ist LaTeX:  1_A\circ f = f und LaTeX:  f\circ 1_A = f .
    • Für alle LaTeX:  f,g,h\in \operatorname{End}(A) ist LaTeX:  f\circ (g\circ h) = (f\circ g) \circ h . LaTeX:  \operatorname{End}(A) ist ein unitärer Ring.

Verallgemeinerungen, Weiterführendes

Die Theorie der abelschen Gruppen ist reichhaltig. Hier sei auf einige grundlegende Begriffe hingewiesen. Manchmal gibt es zu einem Teilaspekt einen Eintrag in der Wikipedia. Meist nicht.

  • Jeder Modul ist ein Modul über dem Ring LaTeX: \Z (siehe oben). Wird LaTeX: \Z durch einen beliebigen Ring LaTeX: R ersetzt, erhalten wir einen LaTeX: R-Modul. Sätze über abelsche Gruppen können so oft auf Moduln über Hauptidealbereichen übertragen werden. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).
  • Torsionsgruppen: Ein LaTeX: a \in A heißt Torsionselement, wenn es eine natürliche Zahl gibt, so dass LaTeX: a \cdot n = 0. Die Menge aller Torsionselemente in einer Gruppe LaTeX: A bilden eine Untergruppe. Beispielsweise ist LaTeX: \Q/\Z die Torsionsuntergruppe von LaTeX: \R/\Z.
  • Direkte Summen abelscher Gruppen: Für den Fall zweier Untergruppen LaTeX: U, V\hookrightarrow A sei der Begriff hier erklärt. Ist LaTeX: A = U + V und LaTeX: U \cap V = 0, so heißt LaTeX: A direkte Summe von LaTeX: U, V.
  • Direktes Produkt.
  • freie abelsche Gruppe: Manche abelschen Gruppen haben so etwas wie eine Basis in einem Vektorraum. In der Theorie der LaTeX: R-Moduln spielen die freien Moduln eine große Rolle.
  • Teilbare abelsche Gruppe
  • endlich erzeugte abelsche Gruppe. Ihre Struktur ist so ziemlich geklärt. Sie sind direkte Summe von unzerlegbaren zyklischen Gruppen.
  • Für beliebige abelsche Gruppen kann man analog zum Begriff der Dimension eines Vektorraums jeder abelschen Gruppe ihren Rang zuordnen. Er ist definiert als die größte Mächtigkeit einer LaTeX: \mathbb{Z}-linear unabhängigen Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen LaTeX: \mathbb{Q} haben Rang 1, so wie jede Untergruppe von LaTeX: \mathbb{Q}. Die abelschen Gruppen vom Rang 1 sind gut verstanden, dagegen sind für höhere Ränge noch viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem Rang können extrem komplex sein und ihre offenen Fragen sind oft eng verbunden mit Fragen der Mengenlehre.

Siehe auch

Literatur

  • Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9.
  • László Fuchs: Abelian Groups. (= Springer Monographs in Mathematics). Springer International, 2016, ISBN 978-3-319-19421-9.
  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
  • Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 211). 3., überarb. Auflage. Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X.
  • Stephan Rosebrock: Anschauliche Gruppentheorie – eine computerorientierte geometrische Einführung. 3. überarbeitete Auflage, Springer Spektrum, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-60786-2.

Einzelnachweise

  1. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 1.
  2. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 2.
  3. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 3.
  4. Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: "Zahlentheorie für Einsteiger" Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, ISBN 978-3-8348-1213-1, Seite 44ff
  5. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 6.
  6. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 55, ISBN 3-519-02211-7
  7. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57, ISBN 3-519-02211-7
  8. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58, ISBN 3-519-02211-7
  9. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 217.

Weblinks

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