Affine Geometrie

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Die affine Geometrie ist eine Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie, in der zwar das euklidische Parallelenaxiom gilt, aber Abstand und Winkel keine Bedeutung haben. Der Begriff „affine Geometrie“ wird für das mathematische Teilgebiet und für die dadurch beschriebenen „Räume“ aus Punkten und Geraden (und daraus abgeleitet, Ebenen etc.) verwendet.

Affiner Raum

Eine affine Geometrie als Raum wird auch als affiner Raum bzw. als lineare Mannigfaltigkeit bezeichnet. Dabei ist zu beachten, dass jeder affine Raum, wie ihn die Lineare Algebra charakterisiert, auch den Anforderungen einer affinen Geometrie genügt, aber nicht umgekehrt. Die affine Geometrie verallgemeinert den bekannteren Begriff aus der Linearen Algebra. In diesem Artikel wird der allgemeinere Begriff, mit dem sich die synthetische Geometrie befasst, daher durchgehend als „affine Geometrie“ bezeichnet.

Im Sinne des Erlanger Programms von Felix Klein kann die affine Geometrie auch als Inbegriff der unter bijektiven affinen Abbildungen invarianten geometrischen Eigenschaften eingeführt werden. Bei einer affinen Abbildung zwischen zwei affinen Räumen bleiben die Kollinearität, Parallelität und Teilverhältnisse bewahrt. Die bijektive Abbildung eines affinen Raumes auf sich selbst nennt man Affinität.

Definition

Von einer affinen Geometrie spricht man, wenn eine Menge von Punkten LaTeX:  \mathfrak{P} , eine Menge von Geraden LaTeX: \mathfrak{G}, eine Inzidenzrelation LaTeX: \mathrm{I} zwischen LaTeX: \mathfrak{P} und LaTeX: \mathfrak{G} sowie eine Parallelitätsrelation LaTeX:  \| auf LaTeX: \mathfrak{G} gegeben ist und folgende Axiome erfüllt werden:[1]

  1. Durch zwei verschiedene Punkte LaTeX: A,\,B geht genau eine Gerade LaTeX: g (d. h. LaTeX: AIg und LaTeX: BIg), die Verbindungsgerade LaTeX: g=AB (auch LaTeX: g=A\or B geschrieben).
  2. Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte.
  3. Die Parallelitätsrelation LaTeX: \parallel ist eine Äquivalenzrelation
  4. Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel ist.
  5. Wenn ein Dreieck (drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte) LaTeX: ABC gegeben ist und zwei Punkte LaTeX: A' und LaTeX: B' derart, dass die Gerade LaTeX: AB parallel zu der Geraden LaTeX: A'B' liegt, so gibt es einen Punkt LaTeX: C' so, dass auch LaTeX: AC parallel zu LaTeX: A'C' und LaTeX: BC parallel zu LaTeX: B'C' liegen.

Schreib- und Sprechweisen, Grundeigenschaften

  • Punkte werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet. LaTeX: A,B,C,...\in\mathfrak{P}
  • Geraden werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. LaTeX: a,b,c,...\in\mathfrak{G}
  • Gilt für LaTeX: A\in\mathfrak{P} und LaTeX: g\in\mathfrak{G}\ A\mathrm{I}g so sagt man, A inzidiert mit g, oder A liegt auf g oder g geht durch A.
  • Gilt für LaTeX: g,h\in\mathfrak{G}\ g\|h so sagt man, g und h sind parallel.
  • Die zu einem Paar LaTeX: (A,g)\in \mathfrak{P}\times \mathfrak{G} nach dem vierten Axiom eindeutig gegebene Parallele zu LaTeX: g durch LaTeX: A wird gelegentlich als LaTeX: (A;\parallel g) notiert.

Inzidenz mengentheoretisch

  • Die Menge der Punkte, die mit einer bestimmten Gerade LaTeX: g\in\mathfrak{G} inzidieren, heißt Trägermenge der Geraden, diese Menge wird häufig als LaTeX: g^{\circ} notiert. Formalisiert: LaTeX: g^{\circ}= \{ A\in\mathfrak{P}: AIg \}
  • Aus den ersten beiden Axiomen folgt, dass zwei Geraden genau dann übereinstimmen, wenn sie mit denselben Punkten inzidieren, das heißt, wenn ihre Trägermengen gleich sind. Aus diesem Grund wird in der neueren Literatur oft gleich davon ausgegangen, dass jede Gerade die Menge der mit ihr inzidierenden Punkte ist,[2] also LaTeX: g=g^{\circ}. Dann gilt LaTeX: AIg genau dann, wenn LaTeX: A\in g gilt und die Inzidenzrelation kann vollständig durch die mengentheoretische Enthalten-Relation ersetzt werden.

Ebenen

  • Aus dem dritten Axiom folgt, dass jede Gerade zu sich selbst parallel ist, aus dem vierten folgt dann, dass Geraden, die parallel sind und einen Punkt gemeinsam haben, identisch sind. Mit anderen Worten: Sind zwei Geraden verschieden und parallel, dann sind sie disjunkt.
  • Disjunkte Geraden müssen im Allgemeinen nicht parallel sein.
  • Das fünfte Axiom kann man mit Hilfe des vierten gleichwertig auch so formulieren:
Wenn ein Dreieck LaTeX: ABC gegeben ist und zwei Punkte LaTeX: A' und LaTeX: B' derart, dass die Gerade LaTeX: AB parallel zu der Geraden LaTeX: A'B' liegt, dann schneiden sich LaTeX: (A';\parallel AC) und LaTeX: (B';\parallel BC).
  • Insbesondere ist der Punkt LaTeX: C' aus dem fünften Axiom eindeutig bestimmt.
  • Wenn es nun ein Dreieck gibt, also drei Punkte die nicht auf der gleichen Geraden liegen, dann kann man mit dem fünften Axiom einen sinnvollen Begriff einer Ebene LaTeX: \varepsilon(ABC) definieren, die durch das Dreieck LaTeX: ABC bestimmt ist. Eine mögliche Definition lautet so: Ein Punkt LaTeX: D liegt genau dann in LaTeX: \varepsilon(ABC), wenn LaTeX: (D;\parallel BC) die Geraden LaTeX: AB und LaTeX: AC schneidet.
  • Aus dem fünften Axiom kann man nun (mit einigem technischen Aufwand und mehreren Fallunterscheidungen) nachweisen, dass für Geraden, die in LaTeX: \varepsilon(ABC) liegen, gilt: Sind zwei Geraden der Ebene disjunkt, dann sind sie parallel. Damit erfüllen diese „Ebenen“ alle Axiome einer affinen Ebene.

Zusammenfassend gilt:

  • Eine affine Geometrie, die zusätzlich das Reichhaltigkeitsaxiom
„Es gibt drei verschiedene Punkte aus LaTeX: \mathfrak{P} (ein „Dreieck“), die nicht alle auf einer Geraden aus LaTeX: \mathfrak{G} liegen.“
erfüllt, enthält eine Ebene LaTeX: \varepsilon, so dass die Punkte auf dieser Ebene mit ihren Verbindungsgeraden mit der eingeschränkten Parallelität die Axiome einer affinen Ebene erfüllen.
  • Genau dann, wenn außerdem LaTeX: \mathfrak{P}_\varepsilon = \mathfrak{P} gilt, wenn es also keine vier Punkte gibt, die nicht auf einer gemeinsamen Ebene liegen, ist die affine Geometrie eine affine Ebene.

Beispiele

  • Durch Vektorräume über einem Körper erzeugte affine Räume:
    • Der euklidische Anschauungsraum kann durch einen dreidimensionalen Vektorraum über LaTeX: \mathbb{R} erzeugt werden.
    • Die euklidische Ebene kann durch einen zweidimensionalen Vektorraum über LaTeX: \mathbb{R} erzeugt werden.
    • Triviale Beispiele sind:
      • Kein Punkt, keine Geraden (LaTeX: -1-dimensionale affine Geometrie)
      • ein einzelner Punkt und keine Geraden (nulldimensionale affine Geometrie),
      • eine Gerade, auf der alle Punkte liegen (eindimensionale affine Geometrie),
Eine höchstens nulldimensionale Geometrie kann als Vektorraum über jedem beliebigen Körper angesehen werden, ist also auch ein affiner Raum der gleichen Dimension. Aus jeder Menge M, die wenigstens zwei Elemente enthält, kann man eine eindimensionale affine Geometrie machen: LaTeX: \mathfrak{P}=M; \mathfrak{G}=\{ M \}, \parallel=\{(M,M)\}. Als eine affine Gerade über einem Körper kann diese genau dann angesehen werden, wenn der Körper sich bijektiv auf LaTeX: M abbilden lässt.
  • Die kleinste affine Geometrie, die eine Ebene enthält, ist die affine Ebene, die durch den zweidimensionalen Vektorraum über dem endlichen Körper LaTeX: \mathbf{F}_2 erzeugt werden kann. Sie besteht aus den Punkten LaTeX: \mathfrak{P}=\{A,B,C,D\} und den Geraden LaTeX: \mathfrak{G}=\{AB,AC,AD,BC,BD,CD\}, die Verbindungsgeraden bestehen hier genau aus den beiden angegebenen Punkten. Ferner gilt LaTeX: AB\parallel CD, AC\parallel BD, AD\parallel BC. → Siehe dazu auch die Abbildungen in Affine Ebene.

Desarguessche und nichtdesarguessche Geometrien

Alle durch Vektorräume über einem Körper und sogar alle auf die gleiche Weise durch Linksvektorräume über einem Schiefkörper erzeugten affinen Geometrien erfüllen den großen affinen Satz von Desargues, sie sind affine Räume im Sinne der linearen Algebra. Für mindestens dreidimensionale affine Geometrien gilt auch die Umkehrung: Sie lassen sich immer durch Linksvektorräume über einem Schiefkörper beschreiben. Es gibt aber auch ebene affine ("nichtdesarguessche") Geometrien (→ siehe Affine Ebene), die den desarguesschen Satz nicht erfüllen. Sie können mithin nicht durch einen Vektorraum erzeugt werden. Stattdessen kann man ihnen als Koordinatenbereich stets einen Ternärkörper zuordnen.

Einbettungsproblem und Koordinatenbereiche

Ein affiner Raum LaTeX: A (im Sinne der linearen Algebra) ist immer zusammen mit seinem Koordinatenbereich, einem (Schief-)Körper LaTeX: K und einem LaTeX: K-(Links-)Vektorraum LaTeX: V definiert (mit der Ausnahme des leeren affinen Raumes, der aber doch als Teilraum eines bestimmten Raumes zu einem Schiefkörper angesehen wird). In der linearen Algebra beschränkt man sich in der Regel auf Vektorräume über kommutativen Körpern, aber die wesentlichen geometrischen Tatsachen (außer dem Satz von Pappus) gelten auch allgemeiner für Linksvektorräume über Schiefkörpern.

Dadurch gilt für affine Räume:[1]

  1. Der Raum hat eine bestimmte Dimension LaTeX:  n=\mathrm{dim}(A), das ist die Dimension des Vektorraumes. Zusatzdefinition: Die leere Menge hat die Dimension LaTeX: -1.
  2. Durch die algebraische Struktur des Vektorraums ist bei jeder Dimension klar, was die strukturerhaltenden Selbstabbildungen sind: Sie lassen sich als Affinitäten im Wesentlichen durch die strukturerhaltenden Abbildungen der Vektorräume beschreiben. Berücksichtigt man allein die Inzidenzstruktur und nicht die Vektorraumstruktur, dann kommt man zur größeren Gruppe der (ebenentreuen[3]) Kollineationen, die aber für mindestens zweidimensionale affine Räume auch durch Affinitäten und Körperautomorphismen darstellbar ist.
  3. Zu jeder kleineren Dimension LaTeX: m als LaTeX: n\; (-1< m< n ) gibt es affine Teilräume LaTeX: B\subset A, denen sich ein LaTeX: m-dimensionaler LaTeX: K-Unterraum zuordnen lässt.
  4. Zu jeder größeren Dimension LaTeX: M>n lässt sich LaTeX: A als Teilraum eines affinen Raumes der Dimension LaTeX: M auffassen, dem ein LaTeX: M-dimensionaler LaTeX: K-Vektorraum zugeordnet ist (Einbettung).

Für affine Geometrien gilt nun:[4]

  • Wenn die Geometrie eine Ebene enthält, aber nicht mit ihr zusammenfällt, dann ist sie desarguesch und durch ihre Inzidenzstruktur und ihre Parallelität ist ein eindeutiger Schiefkörper LaTeX: K und eine eindeutige Dimension (mindestens 3) über LaTeX: K für den „Koordinatenvektorraum“ gegeben.
  • Wenn die Geometrie eine Ebene ist, die den Satz von Desargues erfüllt, gilt das Gleiche mit der Dimension 2.[4]

Genau in diesen Fällen werden die Begriffe affine Geometrie und affiner Raum gleichbedeutend. Man übernimmt in den Punkten 1. bis 4. einfach die Begriffe der linearen Algebra.

  • Eine nichtdesarguesche Ebene bestimmt ebenfalls eine eindeutige Koordinatenstruktur, einen Ternärkörper, der allerdings im Allgemeinen viel schwächere Eigenschaften als ein Schiefkörper hat.
  1. Die Dimension der Geometrie ist vereinbarungsgemäß 2, denn die Geometrie hat mehr als eine Gerade (daher mehr als eindimensional) und disjunkte Geraden sind immer parallel (daher weniger als dreidimensional).
  2. Die strukturerhaltenden Abbildungen sind geradentreue (und damit im ebenen Fall trivialerweise auch parallelentreue) bijektive Selbstabbildungen der Ebene, die affinen Kollineationen.
  3. Jede Gerade der Ebene ist ein Teilraum und natürlich eine eindimensionale affine Geometrie, die einpunktigen Teilmengen sind 0-dimensionale Teilräume.
  4. Eine Einbettung in eine Geometrie mit höherer Dimension ist unmöglich.[5]
  • Für null- und eindimensionale Geometrien, die nicht als Teilräume von mindestens zweidimensionalen Geometrien auftreten, ist offenbar eine Strukturuntersuchung uninteressant: Durch ihre Inzidenzstruktur ist über die reine Punktmenge hinaus nichts gegeben.

Eine Verallgemeinerung des Begriffes affine Geometrie ist der Begriff schwach affiner Raum. Jede affine Geometrie ist auch ein schwach affiner Raum. Einige nichtdesarguessche affine Ebenen sind echte Teilräume von schwach affinen Räumen, obwohl solche Ebenen niemals in umfassendere affine Geometrien eingebettet werden können.

Siehe auch

Literatur

  •  Günter Ewald: Geometrie. Eine Einführung für Studenten und Lehrer (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung; 14). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974 (Originaltitel: Geometry, an introduction, übersetzt von Anneliese Oberschelp), ISBN 3-525-40536-7 (Inhaltsverzeichnis: DNB 750005521/04).
  •  Rudolf Fritzsch: Synthetische Einbettung Desarguesscher Ebenen in Räume. Mathematisch-Physikalische Semesterberichte, Nr. 21. 1974, S. 237–249 ((noch ohne Volltext)).
  •  Jeremy Gray: Worlds out of nothing: a course of the history of geometry of the 19. Century. 1. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-0-85729-059-5.
  •  Günter Pickert: Projektive Ebenen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete.). 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-07280-2.
  •  Daniel Richard Hughes, Fred. C. Piper: Projective planes. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1973, ISBN 0-387-90044-6.

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. 1,0 1,1 Ewald (1974)
  2. Gray (2007)
  3. Man kann zeigen, dass für einen Raum mit mehr als 2 Punkten auf jeder Geraden jede geradentreue, bijektive Selbstabbildung, also jede Kollineation, zugleich ebenentreu ist. Für Räume mit genau zwei Punkten auf jeder Geraden muss die Ebenentreue zusätzlich gefordert werden. Dieser Sonderfall ist im Artikel „Kollineation“ ausführlich dargestellt.
  4. 4,0 4,1 Pickert (1975)
  5. Fritzsch (1974)


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