Algebraische Struktur

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Der Begriff der algebraischen Struktur (oder universelle Algebra, allgemeine Algebra oder nur Algebra) ist ein Grundbegriff und zentraler Untersuchungsgegenstand des mathematischen Teilgebietes der universellen Algebra. Eine algebraische Struktur ist gewöhnlich eine Menge versehen mit Verknüpfungen auf dieser Menge. Eine Vielzahl der in der abstrakten Algebra untersuchten Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper sind spezielle algebraische Strukturen.

Algebraische Strukturen können auch aus mehreren Mengen zusammen mit Verknüpfungen auf und zwischen diesen Mengen bestehen. Sie werden dann heterogene Algebren genannt, prominentestes Beispiel sind Vektorräume (mit Vektoren und Skalaren).

Verallgemeinerungen algebraischer Strukturen sind die partiellen Algebren und die relationalen Strukturen.

Wichtige algebraische Strukturen
Algebraische Axiome der Gruppe Ring kommutativer
Ring
Schiefkörper
(Divisionsring)
Körper
Kommutativgesetz bzgl. der Addition
(additiv-kommutative Gruppe)
Ja Ja Ja Ja
Distributivgesetz Ja Ja Ja Ja
Kommutativgesetz bzgl. der Multiplikation
(multiplikativ-kommutative Gruppe)
Nein Ja Nein Ja
Multiplikativ Inverses existiert
für jedes Element außer 0.
Nein Nein Ja Ja

Definition der algebraischen Struktur

Eine algebraische Struktur oder allgemeine Algebra ist ein geordnetes Paar

LaTeX: \bigl(A, (f_i)_{i \in I}\bigr),

bestehend aus einer nichtleeren Menge LaTeX: A, der Grundmenge oder Trägermenge der Algebra, und einer Familie LaTeX: (f_i)_{i \in I} von inneren (endlichstelligen) Verknüpfungen, auch Grundoperationen oder fundamentale Operationen genannt, auf LaTeX: A.

Eine innere LaTeX: n-stellige Verknüpfung auf LaTeX: A ist eine Funktion LaTeX: f\colon\, A^n \to A, die LaTeX: n Elemente LaTeX: a_1, \dotsc, a_n aus LaTeX: A immer auf ein Element LaTeX: f(a_1, \dotsc, a_n) aus LaTeX: A abbildet. Eine nullstellige Verknüpfung auf LaTeX: A kann als ein eindeutig bestimmtes, ausgezeichnetes Element in LaTeX: A, eine Konstante, interpretiert werden. Konstanten werden meist mit einem speziellen Symbol (z. B. einem Buchstaben oder einem Zahlzeichen wie LaTeX: e, 0, 1) bezeichnet. Eine innere einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von LaTeX: A nach LaTeX: A, die oft durch ein Symbol bezeichnet wird, das unmittelbar (d. h. ohne zusätzliche Klammern oder Trennzeichen) vor, hinter, über etc. das Element (Argument) geschrieben wird.

Beispiele: LaTeX: -a, \, a!, \, \overline a, \, a^{-1}

Beim Bild einer zweistelligen Verknüpfung wird in der Regel das Verknüpfungssymbol zur Vereinfachung zwischen die beiden Argumente geschrieben.

Beispiele: LaTeX: a + b, a \cdot b, f \circ g an Stelle von LaTeX: +(a, b), \cdot(a, b), \circ(f, g)

Meistens hat eine Algebra nur endlich viele fundamentale Operationen LaTeX: f_1, \dotsc, f_m, man schreibt dann für die Algebra einfach nur LaTeX: (A, f_1, \dotsc, f_m).

Der (Ähnlichkeits-) Typ (auch Signatur) einer Algebra LaTeX: \bigl(A, (f_i)_{i \in I}\bigr) ordnet jedem Index LaTeX: i \in I die jeweilige Stelligkeit LaTeX: n_i der fundamentalen Operation LaTeX: f_i zu, d. h., er ist eine Funktion LaTeX: \sigma\colon I \to \N_0,\, i \mapsto \sigma(i) := n_i für LaTeX: f_i\colon\, A^{n_i} \to A. Der Typ kann ebenso als Familie geschrieben werden: LaTeX: \sigma = (n_i)_{i \in I}.[1]

So wird zum Beispiel eine Gruppe meist als Struktur LaTeX: (G, \cdot, 1, {}^{-1}) aufgefasst, wobei LaTeX: G die Trägermenge ist, LaTeX: \cdot eine zweistellige Verknüpfung von LaTeX: G \times G nach LaTeX: G, 1 eine Konstante in LaTeX: G und LaTeX: {}^{-1} eine einstellige Verknüpfung von LaTeX: G nach LaTeX: G. Eine Gruppe ist damit eine Algebra vom Typ LaTeX: (2,0,1).

Bemerkungen

  • Manchmal erweist es sich auch als zweckmäßig, die leere Menge LaTeX: A = \emptyset als Trägermenge einer Algebra zuzulassen, etwa damit sichergestellt ist, dass die Menge aller Unteralgebren (siehe unten) einer Algebra einen algebraischen Verband bildet.
  • Jede nichtleere Menge LaTeX: A lässt sich zu einer trivialen Algebra LaTeX: (A,\operatorname{id}) machen mit der identischen Abbildung LaTeX: \operatorname{id}\colon A \to A, a \mapsto a. Ebenso kann LaTeX: A als eine Algebra LaTeX: (A,()) mit einer leeren Familie LaTeX: () = \emptyset von Verknüpfungen aufgefasst werden.
  • Man könnte sogar „unendlichstellige Algebren“ mit unendlichstelligen Verknüpfungen zulassen (z. B. σ-Algebren), dies würde jedoch dem üblichen Verständnis von „algebraisch“ widersprechen.[2]
  • Eine Verallgemeinerung allgemeiner (vollständiger) Algebren sind partielle Algebren, bei denen nicht nur totale Funktionen, sondern auch partielle Funktionen als Verknüpfung zugelassen sind.[3] Z. B. sind Körper LaTeX: (K,+,0,-,\cdot,1,{}^{-1}) streng genommen keine vollständigen Algebren, weil LaTeX: {}^{-1} nur auf LaTeX: K\setminus\{0\} definiert ist.

Arten algebraischer Strukturen

Die jeweiligen Verknüpfungen von Algebren des gleichen Typs besitzen oft noch gemeinsame Eigenschaften, sodass man Algebren nach ihrem Typ und nach den Eigenschaften ihrer Verknüpfungen in verschiedene Klassen einteilen kann. Die Eigenschaften der konkret gegebenen Verknüpfungen einer Algebra spezifiziert man näher durch Axiome, die in der abstrakten Algebra (Teilgebiet der Mathematik) meist in Form von Gleichungen geschrieben werden und die Art der Algebra festlegen.

Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz für eine innere zweistellige Verknüpfung LaTeX: * auf einer Menge LaTeX: A\colon

LaTeX: a * (b * c) = (a * b) * c für alle Elemente LaTeX: a, b, c aus LaTeX: A.

Erfüllt nun die zweistellige Operation LaTeX: \star einer Algebra LaTeX: (S, \star) dieses Axiom (ersetze LaTeX: * durch LaTeX: \star und LaTeX: A durch LaTeX: S), dann gehört die Algebra LaTeX: (S, \star) zur Art der Halbgruppe bzw. sie ist eine Halbgruppe.

Unterstrukturen (Unteralgebren)

Ist LaTeX: A die Grundmenge einer algebraischen Struktur, so kann man mit Hilfe der Verknüpfungen von LaTeX: A auf einer Teilmenge LaTeX: B \subseteq A von A eine neue algebraische Struktur des gleichen Typs definieren, falls die Menge LaTeX: B so gewählt ist, dass die Verknüpfungen der ursprünglichen Struktur nicht aus der Menge LaTeX: B herausführen. Das bedeutet, wenn man die Verknüpfungen der ursprünglichen algebraischen Struktur auf die Elemente von LaTeX: B anwendet, dürfen keine Elemente entstehen, die nicht in LaTeX: B sind – insbesondere müssen die Konstanten bereits in LaTeX: B enthalten sein. In der konkreten Anwendung sind z. B. Untergruppen die Unterstrukturen einer Gruppe. Je nachdem, wie man die Gleichungen zur Definition der algebraischen Struktur gewählt hat, können die Unterstrukturen aber ganz verschieden aussehen. So lassen sich z. B. Gruppen so definieren, dass die Unterstrukturen Normalteiler sind.

Homomorphismen

Strukturtreue Abbildungen, sogenannte Homomorphismen, zwischen je zwei algebraischen Strukturen LaTeX: A und LaTeX: B von derselben Art (sie haben also Verknüpfungen von jeweils gleichen Stelligkeiten und gleichen gegebenen spezifischen Eigenschaften) sind mit den Verknüpfungen der beiden algebraischen Strukturen verträglich. Jede algebraische Struktur hat deshalb ihren eigenen Homomorphismus-Begriff und definiert daher eine Kategorie.

Einander entsprechende Verknüpfungen in LaTeX: A und LaTeX: B werden meist mit dem gleichen Symbol bezeichnet. So wird etwa in jeder betrachteten Gruppe die Gruppenoperation einheitlich z. B. LaTeX: \cdot geschrieben. Müssen im Einzelfall die beiden Verknüpfungen auseinandergehalten werden, werden in der Regel die Symbole ihrer Grundmengen oder ähnliches als Indizes beigefügt, also z. B. LaTeX: \cdot_A und LaTeX: \cdot_B. Ein Homomorphismus LaTeX: \varphi\colon A\to B ist eine Funktion, die für jede Verknüpfung LaTeX: f (mit der Stelligkeit LaTeX: n) die folgende Bedingung erfüllt:

LaTeX: \varphi(f_A(x_1, \dotsc, x_n)) = f_B(\varphi(x_1), \dotsc, \varphi(x_n))

Die besonderen Schreibweisen der null-, ein- und zweistelligen Verknüpfungen werden berücksichtigt:

  • Sind LaTeX: k_A, k_B jeweils die Konstanten nullstelliger Verknüpfungen, dann ist LaTeX: \varphi(k_A) = k_B.
  • Ist LaTeX: - jeweils eine einstellige Verknüpfung, dann ist LaTeX: \varphi(-(x)) = -(\varphi(x)). Eine einstellige Verknüpfung kann auch als Exponent, Index usw. geschrieben werden, so ergibt sich z. B. mit LaTeX: x^{-1} := {}^{-1}(x)\,\! und mit LaTeX: \varphi(x)^{-1} := {}^{-1}(\varphi(x))\,\! dann LaTeX: \varphi(x^{-1}) = \varphi(x)^{-1}.
  • Für zweistellige Verknüpfungen LaTeX: + ist LaTeX: \varphi(x_1 + x_2) = \varphi(x_1) + \varphi(x_2).

Ein surjektiver Homomorphismus wird Epimorphismus genannt, ein injektiver Monomorphismus. Ein Homomorphismus von LaTeX: A in sich (also falls LaTeX: B = A gilt) heißt Endomorphismus. Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ebenfalls ein Homomorphismus ist, heißt Isomorphismus. Ist der Isomorphismus zugleich Endomorphismus, so heißt er Automorphismus.

Siehe auch: Homomorphiesatz.

Kongruenzrelationen

Auf algebraischen Strukturen lassen sich spezielle Typen von Äquivalenzrelationen finden, die mit den Verknüpfungen einer algebraischen Struktur verträglich sind. Diese werden dann Kongruenzrelationen genannt. Mit Hilfe von Kongruenzrelationen lassen sich Faktoralgebren bilden, d. h., es wird aus der ursprünglichen algebraischen Struktur eine Struktur gleichen Typs erzeugt, deren Elemente allerdings dann die Äquivalenzklassen bezüglich der Kongruenzrelation sind. Die Verknüpfungen sind aufgrund der speziellen Eigenschaften der Kongruenzrelation wohldefiniert. In vielen konkreten Anwendungen entsprechen die Äquivalenzklassen den Neben- bzw. Kongruenzklassen bestimmter Unterstrukturen z. B. Normalteilern bei Gruppen oder Idealen bei Ringen usw.

Produkte

Bildet man das mengentheoretische direkte Produkt der Grundmengen mehrerer allgemeiner Algebren des gleichen Typs, so kann man wiederum eine neue Algebra gleichen Typs auf dieser Produktmenge erhalten, indem man die neuen Verknüpfungen dieser Algebra komponentenweise durch die Verknüpfungen der ursprünglichen Algebren definiert. Diese kann allerdings andere Eigenschaften haben, als die ursprüngliche Algebra; z. B. muss das Produkt von Körpern nicht mehr ein Körper sein.

Für eine Verallgemeinerung des direkten Produktes von Algebren siehe: Subdirektes Produkt. Dort wird auch der Darstellungssatz von Birkhoff vorgestellt, nach dem jede Algebra subdirektes Produkt subdirekt irreduzibler Algebren ist.

„Zoo“ der algebraischen Strukturen

Beispiel: Gruppen

Als Beispiel für die Definition einer algebraischen Struktur betrachten wir eine Gruppe. Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als ein Paar LaTeX: (G,*), bestehend aus einer Menge LaTeX: G und einer zweistelligen Verknüpfung LaTeX: *, sodass für alle LaTeX: x, y, z in LaTeX: G die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

Manchmal findet man noch die Forderung der „Abgeschlossenheit“, dass LaTeX: x * y wieder in LaTeX: G liegen soll, aber aus der Sicht eines Algebraikers beinhaltet der Begriff der „zweistelligen Verknüpfung“ diese Eigenschaft bereits.

Diese Definition hat aber die Eigenschaft, dass die Axiome nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt werden, sondern auch den Existenzquantor „es gibt … sodass“ enthalten; in der allgemeinen Algebra versucht man deshalb solche Axiome zu vermeiden (Quantorenelimination). Die Vereinfachung der Axiome auf eine reine Gleichungsform ist hier nicht schwierig: Wir fügen eine nullstellige Verknüpfung LaTeX: e und eine einstellige Verknüpfung LaTeX: {}^{-1} hinzu und definieren eine Gruppe als ein Quadrupel LaTeX: (G,*,e,^{-1}) mit einer Menge LaTeX: G, einer zweistelligen Verknüpfung LaTeX: *, einer Konstanten LaTeX: e und einer einstelligen Verknüpfung LaTeX: {}^{-1}, die den folgenden Axiomen genügen:

  • LaTeX: x * (y * z) = (x * y) * z
  • LaTeX: e * x = x = x * e
  • LaTeX: x * x^{-1} = e = x^{-1} * x

Es ist nun wichtig zu prüfen, ob damit tatsächlich die Definition einer Gruppe erreicht wurde. Es könnte ja sein, dass dadurch noch nicht alle Eigenschaften einer Gruppe gegeben sind oder gar zu viele. Tatsächlich stimmen die beiden Definitionen einer Gruppe überein.

Beispiele von algebraischen Strukturen

In der folgenden Liste werden alle (zweistelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= nullstellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= einstellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben.

Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die mehrstelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen.

Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen:

Siehe auch: Mathematische Struktur

Versehen mit weiterer Struktur, Internalisierung

Algebraische Strukturen können mit Zusatzstrukturen ausgestattet werden, z. B. mit einer Topologie. Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer Gruppenstruktur, sodass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl eine topologische, als auch eine algebraische Struktur. Andere häufige Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen. Abstrakt gesprochen sind die Verknüpfungen in solchen Strukturen nun Morphismen in einer bestimmten Kategorie, etwa der der topologischen Räume im Fall topologischer Gruppen. Man spricht von einer Internalisierung in diese Kategorie. Im Spezialfall gewöhnlicher algebraischer Strukturen sind die Verknüpfungen Morphismen in der Kategorie der Mengen, also Funktionen.[4]

Partielle Algebren

Ersetzt man in der obigen Definition den Begriff Verknüpfungen durch partielle Verknüpfungen, dann spricht man von einer partiellen Algebra. Die Verknüpfungen müssen hier nicht für alle Kombinationen von Parametern (LaTeX: n-Tupel-Kombinationen) definiert sein.

Siehe auch

Literatur

  •  Garrett Birkhoff: Lattice Theory. Nr. 3rd ed., AMS, Providence RI 1973, ISBN 0-8218-1025-1.
  •  Stanley Burris, H. P. Sankappanavar: A Course in Universal Algebra. Millennium Edition. Nr. 2012 Update, ISBN 978-0-9880552-0-9 (math.uwaterloo.ca).
  •  Paul M. Cohn: Universal Algebra. Harper & Row, New York 1965.
  •  H. Ehrig, B. Mahr, F. Cornelius, M. Grosse-Rhode, P. Zeitz: Mathematisch-strukturelle Grundlagen der Informatik. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-41923-3.
  •  Roger Godement: Algebra. Hermann, Paris 1968.
  •  George Grätzer: Universal Algebra. Van Nostrant, Princeton NJ u. a. 1968.
  •  Pierre Antoine Grillet: Abstract Algebra. Nr. 2nd ed., Springer, New York 2007, ISBN 978-0-387-71567-4.
  •  Thomas Ihringer: Allgemeine Algebra. Mit einem Anhang über Universelle Coalgebra von H. P. Gumm (= Berliner Studienreihe zur Mathematik). Heldermann, Lemgo 2003, ISBN 3-88538-110-9.
  •  Nathan Jacobson: Basic Algebra. Vol. I/II, Nr. 2nd ed. 1985/1989, Freeman, San Francisco.
  •  K. Meyberg: Algebra. Teil 1/2, 1975/1976, Hanser, München.
  •  B. L. van der Waerden: Algebra I/II. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. 9./6. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 1993.
  •  Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978, ISBN 3-411-00120-8.
  •  Jorge Martinez: Ordered Algebraic Structures. Springer, 2002, ISBN 1-4020-0752-3.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Man kann die Indexmenge LaTeX: I verstehen als ein Alphabet von Bezeichnern der Funktionen. Als Signatur wird dann gelegentlich das Paar LaTeX: (I, \sigma) bezeichnet.
  2. G. Birkhoff: Lattice Theory.
  3. G. Grätzer: Universal Algebra.
  4. Matt Noonan: The Bianchi Identity in Path Space. 2007-01-15, S. 6. Abgerufen am 2013-08-11. (PDF; 161 kB)


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