Arithmetik

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Die Arithmetik (griech. ἀριθμητική [τέχνη] arithmetiké [téchne], wörtlich „die Zahlenmäßige [Kunst]“) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dass sich mit dem Rechnen mit Zahlen und den zugehörigen Rechengesetzen beschäftigt. Eine besondere Bedeutung kommt dabei den natürlichen Zahlen (1,2,3,4,5 ...) zu, die nach der Lehre des Pythagoras das Wesen aller Dinge sind. Als beweisführende Wissenschaft wurde die Arithmetik in der Antike von den Griechen begründet. Der indischen Mathematik ist die Einführung der Zahl 0 zu danken, die von den Arabern übernommen wurde und von da weiter nach Europa kam.

Inhalte

1. Natürliche Zahlen und ihre Schreibweise.

Stichworte: Kardinalzahl, Ordinalzahl, 0 oder 1 als kleinste natürliche Zahl, natürliche Zahl, Peano-Axiome, Dezimalsystem, Stellenwertsystem, Zahlschriften, Zahlzeichen. Die Frage nach der Grundlegung der natürlichen Zahlen führt in die Grundlagen der Mathematik, insbesondere die Mengenlehre.

2. Die vier Grundrechenarten und Vergleiche von Zahlen.

Stichworte: Abgeschlossenheit bezüglich der jeweiligen Grundrechenart, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, neutrales Element, inverses Element, Umkehroperation, Distributivgesetz, Vergleich. Verallgemeinerung und Abstraktion führen in die Algebra.

3. Zahlbereichserweiterungen.

Stichworte: Die Zahl Null (0) (falls nicht schon als kleinste natürliche Zahl eingeführt), ganze Zahlen, Gegenzahl, Betrag einer Zahl, Vorzeichen einer Zahl, Bruchzahl, Kehrwert, rationale Zahl, Mächtigkeit der Zahlenmengen. Verallgemeinerung und Abstraktion führen in die Algebra. Zahlenmengen wie zum Beispiel die reellen Zahlen, die komplexen Zahlen oder die Quaternionen gehören nicht mehr zur Arithmetik.

4. Teiler und Teilbarkeit.

Stichworte: Teiler, Teilbarkeit, Teilbarkeitssätze, größter gemeinsamer Teiler (ggT), kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV), Euklidischer Algorithmus, Primzahl, Sieb des Eratosthenes, Primzahlsieb von Sundaram, Primfaktorzerlegung, Fundamentalsatz der Arithmetik, Mächtigkeit der Menge der Primzahlen. Verallgemeinerung und Abstraktion führen in die Zahlentheorie.


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