Bijektive Funktion

Aus AnthroWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
Eine bijektive Funktion

Eine bijektive Funktion, kurz auch Bijektion genannt, ist eine bijektive, d.h. umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen zwei Mengen.

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge stattfindet. Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge stets dieselbe Mächtigkeit. Im Falle, dass eine Bijektion zwischen zwei endlichen Mengen vorliegt, ist diese gemeinsame Mächtigkeit eine natürliche Zahl, nämlich genau die Anzahl der Elemente jeder der beiden Mengen.

Definition

Seien LaTeX: X und LaTeX: Y Mengen und sei LaTeX: f eine Funktion, die von LaTeX: X nach LaTeX: Y abbildet, also LaTeX: f \colon X \to Y. Dann heißt LaTeX: f bijektiv, wenn für alle LaTeX: y \in Y genau ein LaTeX: x \in X mit LaTeX: f\left(x\right) = y existiert.

Das bedeutet: LaTeX:  f ist bijektiv dann und nur dann, wenn LaTeX: f sowohl

(1) injektiv ist:
Kein Wert der Zielmenge LaTeX: Y wird mehrfach angenommen. Mit anderen Worten: Das Urbild jedes Elements der Zielmenge LaTeX: Y besteht aus höchstens einem Element von LaTeX: X. Aus LaTeX:  f(x_1)=f(x_2) folgt daher immer LaTeX:  x_1=x_2 .

als auch

(2) surjektiv ist:
Jedes Element der Zielmenge LaTeX: Y wird angenommen. Mit anderen Worten: Die Zielmenge LaTeX: Y und die Bildmenge LaTeX: f(X) stimmen überein, also LaTeX: f\left(X\right) = Y. Für jedes LaTeX:  y aus LaTeX:  Y existiert daher (mindestens) ein LaTeX:  x aus LaTeX:  X mit LaTeX:  f(x) = y.

Literatur

  •  Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg [u. a.] 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
  •  Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4.
  •  Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0.

Weblinks

 Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Bijektive Funktion aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.