Beschreibung

BeschreibungSquaring the circle-Ramanujan-1914.svg	Deutsch: Quadratur des Kreises, Näherungskonstruktion nach Ramanujan von 1914, mit Weiterführung der Konstruktrion English: Squaring the circle, approximitiy construction according Ramanujan of 1914, with continuation of the construction
Datum	20. November 2016
Quelle	Eigenes Werk
Urheber	Petrus3743
Andere Versionen
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Im Jahr 1914 ermittelte Ramanujan für eine noch genauere Quadratur als die von 1913, den folgenden Näherungswert für die Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi \approx {\sqrt[{4}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}=3{,}141592652\dots }$^[1]

in dem acht Nachkommastellen mit denen von ${\displaystyle \pi }$ gleich sind.

Ramanujan konstruierte in dieser Quadratur nicht die Seitenlänge des gesuchten Quadrates, es genügte ihm die Strecke OS darzustellen.^[2] In der obigen Weiterführung der Konstruktion, wird die Strecke OS zusammen mit der Strecke OB zur Darstellung der mittleren Proportionalen (rote Strecke OG) herangezogen.^[3]

Fehler

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

• Konstruierte Seite des Quadrates a = 1,77245385062141... [LE]
• Soll-Seite des Quadrates a_s = ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ = 1,772453850905516... [LE]
• Absoluter Fehler = a - a_s = -0,00000000028411... = -2,841...E-10 [LE]
• Fläche des konstruierten Quadrates A = a² = 3,14159265258265... [FE]
• Soll-Fläche des Quadrates A_s = ${\displaystyle {\pi }}$ = 3,141592653589793... [FE]
• Absoluter Fehler = A - A_s = -0,000000001007143... = -1,007...E-9 [FE]

Beispiele zur Veranschaulichung der Fehlers

• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10.000 km wäre der Fehler der Seite a ≈ -2,8 mm
• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche A ≈ -0,1 mm²

Error

In a circle of radius r = 1 [unit length, ul]:

• Constructed side of the square a = 1.77245385062141... [ul]
• Target side of the square a_s = ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ = 1.772453850905516... [ul]
• Absolute error = a - a_s = -0.00000000028411... = -2.841...E-10 [ul]
• Surface of the constructed square A = a² = 3.14159265258265... [unit area, ua]
• Target area of the square A_s = ${\displaystyle {\pi }}$ = 3.141592653589793... [ua]
• Absolute error = A - A_s = -0,000000001007143... = -1.007...E-9 [ua]

Examples to illustrate the errors:

• In a circle of radius r = 10,000 km would be the fault of the side length a ≈ -2.8 mm
• In the case of a circle with the radius r = 10 m would be the error of the surface A ≈ -0.1 mm²

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1. ↑ S. A. Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π In: Quarterly Journal of Mathematics. 12. Another curious approximation to π is, 43, (1914), S. 350–372. Aufgelistet in: Published works of Srinivasa Ramanujan Abgerufen am 21. November 2016
2. ↑ Modular Equations and Approximations to π In: Quarterly Journal of Mathematics. 12. Another curious approximation to π is ... Fig. 2, 44, (1914), S. 350–372. Aufgelistet in: Published works of Srinivasa Ramanujan Abgerufen am 21. November 2016
3. ↑ Universität Magdeburg A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale (PDF-Datei) Abgerufen am 21. November 2016