Drehung

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Drehungen sind identisch, wenn sie sich um ein Vielfaches von 360° unterscheiden.

Als Drehung bezeichnet man in der Geometrie eine Kongruenzabbildung eines n-dimensionalen euklidischen Raumes, die mindestens einen Fixpunkt hat und alle Abstände und die Orientierung bewahrt.

Im zwei- und dreidimensionalen Raum gehört zu jeder Drehung ein bestimmter Drehwinkel LaTeX: \alpha. Drehungen, deren Drehwinkel sich um 360° oder ein Vielfaches davon unterscheiden, sind identische Abbildungen. Im dreidimensionalen Raum lässt jede echte Drehung genau eine Gerade fest, die Drehachse. Jede zur Drehachse senkrechte Ebene wird durch die Drehung um denselben Drehwinkel gedreht, wobei ihr Schnittpunkt mit der Achse der Fixpunkt ist.

Im engeren Sinn liegt eine Rotationssymmetrie bzw. Drehsymmetrie vor, wenn eine geometrische Figur durch die Drehung um jeden beliebigen Winkel um eine Drehachse bzw. Rotationsachse stets auf sich selbst abgebildet wird.

Drehmatrix

Mathematisch lässt sich die Drehung durch eine Drehmatrix oder Rotationsmatrix LaTeX: R_{\alpha} beschreiben. Die Drehmatrix ist eine reelle orthogonale Matrix mit der Determinante +1.

Wählt man beispielsweise in der der euklidischen Ebene LaTeX: \R^2 die Standardbasis, so sind die Bilder der beiden Basisvektoren LaTeX: e_1 und LaTeX: e_2 gerade die Spaltenvektoren der zugehörigen Drehmatrix:

LaTeX: 
e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{pmatrix}
\qquad\text{und}\qquad
e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} -\sin\alpha \\ \cos\alpha \end{pmatrix}

Damit lässt sich die Drehmatrix anschreiben:

LaTeX: R_\alpha = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix}

Für die Drehung eines Vektors LaTeX: \vec v = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, die diesen in den Vektor LaTeX: \vec v' = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} überführt, ergibt sich:

LaTeX: \vec v' = R_\alpha \cdot \vec v


LaTeX: \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}

Das Ergebnis dieser Matrizenmultiplikation lautet:

LaTeX: x' = x \cdot \cos \alpha - y \cdot \sin \alpha
LaTeX: y' = x \cdot \sin \alpha + y \cdot \cos \alpha

Siehe auch


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