Exzentrizität (Mathematik)

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Ellipse mit Bezeichnungen
Hyperbel mit Bezeichnungen

Der Ausdruck Exzentrizität hat in der Mathematik zwei verwandte Bedeutungen im Zusammenhang mit nicht ausgearteten Kegelschnitten (Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln):

Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel mit numerischer Exzentrizität und gleichem Halbparameter (= Radius des Kreises)
  • Die lineare Exzentrizität ist bei einer Ellipse bzw. Hyperbel der Abstand eines Brennpunkts zum Mittelpunkt und wird mit LaTeX: e bezeichnet (s. Bild). Sie hat die Dimension einer Länge. Da ein Kreis eine Ellipse mit zusammenfallenden Brennpunkten ist LaTeX: (F_1=F_2=M), gilt für den Kreis LaTeX: e=0.
  • Die numerische Exzentrizität LaTeX: \varepsilon ist für Ellipsen und Hyperbeln das Verhältnis LaTeX: e/a der linearen Exzentrizität zur großen Halbachse und damit eine dimensionslose Zahl.
Für eine Ellipse gilt LaTeX: 0\le \varepsilon <1. Im Fall LaTeX: \varepsilon=0 ist die Ellipse ein Kreis.
Die numerische Exzentrizität beschreibt hier die mit wachsendem LaTeX: \varepsilon zunehmende Abweichung einer Ellipse von der Kreisform.
Für eine Hyperbel gilt LaTeX: 1< \varepsilon. Mit wachsendem LaTeX: \varepsilon wird die Hyperbel immer offener, d. h., der Winkel zwischen den Asymptoten wächst. Gleichseitige Hyperbeln, also solche mit rechtwinkligen Asymptoten, ergeben sich für LaTeX: \varepsilon=\sqrt{2}.
Für eine Parabel definiert man LaTeX: \varepsilon=1 (zur Motivation s. unten).
Die Bedeutung der numerischen Exzentrizität ergibt sich aus dem Umstand, dass je zwei Ellipsen bzw. Hyperbeln genau dann ähnlich sind, wenn sie dieselbe numerische Exzentrizität aufweisen. Zwei Parabeln (LaTeX: \varepsilon \equiv 1) sind immer ähnlich.

Bei Ellipsen und Hyperbeln wird der Abstand LaTeX: e der Brennpunkte vom Mittelpunkt auch Brennweite genannt. Bei einer Parabel hingegen wird der Abstand des Brennpunkts vom Scheitel als Brennweite bezeichnet.

Astronomie

Rot: Elliptische Keplerbahn mit (numerischer) Exzentrizität 0,7
Grün: Parabolische Keplerbahn mit Exzentrizität 1
Blau: hyperbolische Keplerbahn mit Exzentrizität 1,3

In der Astronomie wird meist nur die numerische Exzentrizität verwendet und einfach Exzentrizität genannt, dabei aber abweichend von der Notation in der Mathematik oft mit LaTeX: e bezeichnet.

Von den Planeten unseres Sonnensystems hat die Umlaufbahn der Venus die geringste Exzentrizität von 0,0068. Die Bahn der Erde hat eine Exzentrizität von 0,0167. Die größte Exzentrizität von 0,2056 hat die Merkurbahn.

Siehe auch

Literatur

  • Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 192, 195, 328, 330.
  • Ayoub B. Ayoub: The Eccentricity of a Conic Section. In: The College Mathematics Journal, Vol. 34, No. 2 (März 2003), S. 116–121 (JSTOR).
  • Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementary Geometry. AMS, 2008, ISBN 978-0-8218-9067-7, S. 63–70 (Auszug (Google)).
  • Hans-Jochen Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Hanser, 2014, ISBN 978-3-446-43735-7, S. 287–289 (Auszug (Google)).


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