Folge (Mathematik)

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Als Folge (eng. sequenz) wird in der Mathematik eine endliche oder unendliche abzählbare Menge fortlaufend nummerierter und mit einem entsprechenden Index versehener Elementen bezeichnet. Im Unterschied zu einer ungeordneten Menge kommt es also hier auf die Reihenfolge an. Eine endliche Folge von LaTeX: n Elementen wird auch LaTeX: n-Tupel genannt. Die Elemente der Folge können explizit aufgezählt oder durch ein entsprechendes - gegebenenfalls rekursives - Bildungsgesetz angegeben werden, z.B. die Folge der natürlichen Zahlen LaTeX: (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) mit dem expliziten Bildungsgesetz LaTeX: a_n = n bzw. rekursiv LaTeX: a_{n+1} = a_n + 1.

Geordnetes Paar

Ein geordnetes Paar LaTeX: (a,b) ist ein 2-Tupel, d.h. eine Folge mit genau zwei Elementen. Nach dem von Giuseppe Peano (1858-1932) formulierten Paaraxiom gelten zwei geordnete Paare genau dann als gleich, wenn sowohl ihre ersten als auch ihre zweiten Komponenten gleich sind[1], d.h.:

LaTeX: (a,b) = (c,d) \iff a=c ~\text{und}~ b=d

Konvergenz

Hauptartikel: Konvergenz

Unendliche Folgen können gegen einen endlichen Grenzwert oder Limes konvergieren, z.B.

LaTeX: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0

oder im nachstehenden Beispiel nach Kürzung durch LaTeX: n^2 unter Berücksichtigung von LaTeX: \lim_{n \to \infty} \frac1{n^2} = 0

LaTeX: \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{4n^2+3} = \frac{1 + \frac1{n^2}}{4 + \frac1{n^2}} = \frac{1+0}{4+0} = \frac14

Beispiele

Arithmetische Folge

Bei einer arithmetischen Folge, beispielsweise der Folge der ungeraden natürlichen Zahlen LaTeX: (1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11, \ldots), ist die Differenz LaTeX: d zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h.:

LaTeX: a_{i+1}=a_i +d\quad (rekursive Formel)
LaTeX:  a_i = a_0 + i\cdot d \quad (explizite Formel)

Geometrische Folge

Bei einer geometrischen Folge, beispielsweise der Folge LaTeX: (2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64, \ldots), ist der Quotient LaTeX: q zweier benachbarter Folgenglieder konstant, d.h.:

LaTeX: a_{i+1}=a_i \cdot q \quad (rekursiv)
LaTeX: a_i = a_0 \cdot \,q^{i} (explizit)

Eine geometrische Folge konvergiert genau dann, wenn LaTeX: |q|<1.

Cauchy-Folge

Bei einer Cauchy-Folge wird der Abstand der Folgenglieder im Verlauf der Folge beliebig klein.

Eine Fundamentalfolge oder Cauchy-Folge, benannt nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), ist eine Folge, bei der im Verlauf der Folge die Differenz der Folgenglieder beliebig klein wird, d. h.:

LaTeX: \forall \varepsilon>0 \quad \exists N\in\mathbb{N} \quad \forall m,n \ge N \colon \quad \left|a_m-a_n \right|<\varepsilon

Cauchy-Folgen sind grundlegend für den Aufbau der Analysis mittels der von Karl Weierstraß (1815-1897) Ende des 19. Jahrhunderts eingeführten Epsilontik.

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Giuseppe Peano: Logique Mathématique. 1897, Formel 71. In: Opere scelte, II 224