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Kettenbruch

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In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch (fortgesetzter Bruch) ein Ausdruck der Form

Ein Kettenbruch (eng. continued fraction) ist also ein gemischter Bruch der Form , bei dem der Nenner wieder die Form eines gemischten Bruchs besitzt, wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt.

Allgemeines

Jede reelle Zahl kann als ein Kettenbruch mit ganzen Zahlen ausgedrückt werden. Kettenbrüche können daher als Zahlensystem bezeichnet werden, wie das Dezimalsystem. Sie dienen jedoch in erster Linie nicht zum Rechnen, sondern werden dazu verwendet, Approximationsaufgaben zu lösen: So liefern sie in der Zahlentheorie Näherungen für reelle Zahlen, indem diese durch einen Bruch aus ganzen Zahlen ausgedrückt werden, und in der numerischen Mathematik approximiert man durch sie Funktionen, ähnlich wie dies auch mittels Potenzreihen erreicht wird.

Von besonderer Bedeutung sind regelmäßige Kettenbrüche, auch reguläre oder einfache Kettenbrüche genannt. Ein solch regelmäßiger (regulärer/einfacher) Kettenbruch (eng. regular/simple continued fraction) zeichnet sich dadurch aus, dass alle Zähler den Wert haben. Ein regulärer Kettenbruch ist also durch die Folge bestimmt, und man schreibt ihn platzsparend als .[1]

Daneben spielen die mit den regulären Kettenbrüchen eng verwandten negativ-regelmäßigen Kettenbrüche eine Rolle. Bei ihnen sind alle Zähler auch alle gleich, jedoch gleich .[2]

Kettenbrüche spielen zudem eine große Rolle in der Zahlentheorie. So zeigte zum Beispiel Joseph Liouville 1844 mit ihrer Hilfe, dass transzendente Zahlen existieren. Außer in der Zahlentheorie kommen Kettenbrüche in der Kryptographie, algebraischen Geometrie, Topologie, Funktionentheorie, numerischen Mathematik und bei der Analyse chaotischer Systeme zur Anwendung.[3]

Joseph-Louis Lagrange gilt zusammen mit Leonhard Euler als der Begründer der Kettenbruchtheorie.

Geschichte

Regulärer Kettenbruch[4]
Lamberts Kettenbruch für
Lamberts Kettenbruch für den Tangens[5]

Kettenbrüche werden seit dem 16. Jahrhundert dazu verwendet, „gute Näherungsbrüche“ für irrationale Zahlen zu finden. Das bekannteste Beispiel ist die Näherung für .

Deliciae physico-mathematicae, 1636

Rafael Bombelli verwendete Kettenbrüche bereits 1579, um damit Quadratwurzeln zu berechnen. Im Jahr 1613 veröffentlichte Pietro Cataldi ein Buch, in dem unter anderem auch Kettenbrüche auftauchen. 1636 finden sich Kettenbrüche im Buch „Deliciae Physico-Mathematicae“ von Daniel Schwenter und ab 1655 in mehreren Büchern von John Wallis. Aus dem Bedürfnis, Brüche mit großen Nennern sowie natürliche Konstanten zu approximieren, beschäftigte sich zunächst Christiaan Huygens im 17. Jahrhundert mit Kettenbrüchen. Er berechnete damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens ermittelte für die Umlaufzeit um die Sonne das Verhältnis zwischen Saturn und Erde als

Der reguläre Kettenbruch hierfür beginnt mit . Approximiert man dieses Verhältnis mit dem Näherungsbruch, der entsteht, wenn man nur die ersten vier Einträge verwendet, dann beträgt der Fehler[6] nur , da

In Leonhard Eulers Korrespondenz[7] treten Kettenbrüche hingegen zuerst in einem ganz anderen Zusammenhang auf, nämlich in Verbindung mit der Riccatischen Differentialgleichung. Bald jedoch interessierte sich Euler für Kettenbrüche um ihrer selbst willen. Er entdeckte nämlich die folgenden drei wichtigen Eigenschaften:

  1. Jede rationale Zahl kann durch einen endlichen regulären Kettenbruch dargestellt werden (der mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden kann).
  2. Periodische reguläre Kettenbrüche stellen quadratische Irrationalzahlen dar; diese Aussage bewies Euler als Erster.
  3. Die Entwicklung jeder reellen Zahl in einen regulären Kettenbruch liefert die besten rationalen Approximationen für diese Zahl.

Einige dieser Erkenntnisse hatte bereits Huygens gewonnen, dessen Arbeit Euler aber unbekannt war.[8] Eulers Arbeiten – und darauf aufbauend die von Joseph-Louis Lagrange[9] – begründeten die Theorie der Kettenbrüche.

Zur rationalen Approximation existiert neben dem Algorithmus von Euler auch ein Algorithmus von Lord William Brouncker. Euler zeigte um 1759, dass die beiden Algorithmen identisch sind. Johann Heinrich Lambert benutzte Kettenbrüche in seiner Arbeit von 1766 dazu, die Irrationalität von zu zeigen. Seine Kettenbruchentwicklung der Tangensfunktion ist in der Abbildung rechts dargestellt.

Moritz Abraham Stern schuf 1832 die erste systematische Zusammenfassung der Theorie der Kettenbrüche.[10] Im 19. Jahrhundert entwickelte sich die Theorie rasch weiter und so veröffentlichte Oskar Perron im Jahre 1913 eine Zusammenfassung des Wissensstandes, die bis heute als ein Standardwerk gilt (Neuauflage 1954/57).

Weitere wichtige Anwendungen waren und sind: Beweise für die Irrationalität oder die Transzendenz spezieller Zahlen und die Ermittlung von Schaltjahren (da ein Jahr mit 365,24219 Tagen etwas kürzer als 365¼ Tage ist, bedarf es zusätzlich zum Schalttag alle vier Jahre einer weiteren Korrektur; die beste Wahl dafür lässt sich mit Kettenbrüchen begründen).

Zu vielen weiteren Theman siehe auch

Siehe auch

Literatur

  • Claude Brezinski: History of Continued Fractions and Padé Approximants. Springer, Berlin 1991.
  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.
  • Alexander Jakowlewitsch Chintschin: Kettenbrüche. Teubner, Leipzig 1956, oder Continued Fractions. Dover Publications, 1997 (russ. Original 1935).
  • Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. Oxford University Press, 2005 (1. Auflage 1938).
  • William B. Jones, W. J. Thron: Continued Fractions. Analytic Theory and Applications. Cambridge University Press, 2009.
  •  Oleg Karpenkov: Geometry of Continued Fractions (= Algorithms and Computation in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2013, ISBN 978-3-642-39367-9, doi:10.1007/978-3-642-39368-6.
  • Ivan M. Niven, Herbert S. Zuckerman: Einführung in die Zahlentheorie. 2 Bände, Bibliographisches Institut, Mannheim 1976 (engl. Original: Wiley, 1960).
  • Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen.1. Auflage in einem Band. Teubner, 1913, archive.org. 2. Auflage 1929, 3. Auflage in zwei Bänden, Band 1: Elementare Kettenbrüche. 1954, Band 2: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche. 1957.
  • Oskar Perron: Irrationalzahlen. Göschens Lehrbücherei, Band 1. Walter de Gruyter, Berlin/Leipzig 1921, archive.org. 2. Auflage 1939, 3. Auflage 1947.
  • Andrew M. Rockett, Peter Szüsz: Continued fractions. World Scientific, 1992.
  • Joachim Stiller: Endliche und unendliche Algorithmen und Kettenbrüche PDF

Weblinks

Commons: Kettenbruch - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wikibooks: Formelsammlung Mathematik: Kettenbrüche – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

  1. ↑ Oskar Perron spricht von „regelmäßigen Kettenbrüchen“. Die Bezeichnung der regelmäßigen Kettenbrüche als „einfache Kettenbrüche“ (eng. simple continued fractions) findet man zum Beispiel schon in Carl Douglas Old: „Continued fractions“, Mathematical Association of America, 1963. Siehe auch Jörg Arndt, Christoph Haenel: „Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik.“ 2. Auflage. Springer Verlag, 2000, S. 65.
  2. ↑ Bei Oskar Perron werden noch weitere Klassen von Kettenbrüchen systematisch behandelt.
  3. ↑ Zur Anwendung in der Kryptographie siehe z. B. das Buch „Solving the Pell Equation“ von M. Jacobson und Hugh C. Williams und zur algebraischen Geometrie den Artikel The geometry of continued fractions and the topology of surface singularities von Patrick Popescu-Pampu, math.univ-lille1.fr (PDF; 676 kB), in dem auch die geometrische Darstellung von H. J. S. Smith (1876) und Felix Klein (1895) und die Hirzebruch-Jung-Kettenbrüche erläutert werden (diese ähneln regulären Kettenbrüchen, wobei hier statt Addition die Subtraktion verwendet wird. Der Bruch wird so beispielsweise als geschrieben.) Für die Anwendung in der Funktionentheorie siehe das Buch von H. S. Wall und bei chaotischen Systemen die Webseite von John D. Barrow, Chaos in Numberland.
  4. ↑ Dass dieser Kettenbruch gleich der Quadratwurzel von 2 ist, wird im Abschnitt Periodische Kettenbrüche gezeigt.
  5. ↑ Lamberts Kettenbruchdarstellung der Tangensfunktion, siehe dafür Ebbinghaus u. a.: Zahlen. 3. Auflage, Springer, 1992, S. 122.
  6. ↑ Die Angabe des relativen Fehlers ist hier nicht sinnvoll, da sich die Approximationseigenschaften einer Zahl nicht durch Addition von ganzen Zahlen ändern.
  7. ↑ Leonhard Euler und Chr. Goldbach, Briefwechsel.
  8. ↑  André Weil: Number Theory. Birkhäuser Verlag, Boston 1984, ISBN 0-8176-4565-9.
  9. ↑  Winfried Scharlau, Hans Opolka: Von Fermat bis Minkowski. Springer, 1980, ISBN 3-540-10086-5.
  10. ↑  Moritz Abraham Stern: Theorie der Kettenbrüche und ihre Anwendung. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Volume 1833, Issue 10, 1833, S. 1–22, doi:10.1515/crll.1833.10.1. Es gibt auch eine Zusammenfassung mehrerer Artikel dieser Zeitschrift in Buchform aus dem Jahr 1834.
Dieser Artikel wurde am 13. April 2010 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.
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