Komplexe Zahl

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LaTeX: \mathbb C

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung LaTeX: x^2 + 1 = 0 lösbar wird. Dies gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl LaTeX: \mathrm i mit der Eigenschaft LaTeX: \mathrm i^2 = -1. Diese Zahl LaTeX: \mathrm i wird als imaginäre Einheit bezeichnet. In der Elektrotechnik wird stattdessen der Buchstabe LaTeX: \mathrm j verwendet, um einer Verwechslung mit einer (durch LaTeX: i oder LaTeX: i(t) bezeichneten) von der Zeit LaTeX: t abhängigen Stromstärke vorzubeugen.

Komplexe Zahlen können in der Form LaTeX: a+b\cdot \mathrm i dargestellt werden, wobei LaTeX: a und LaTeX: b reelle Zahlen sind und LaTeX: \mathrm i die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei LaTeX: \mathrm i^2 stets durch LaTeX: -1 ersetzt werden kann und umgekehrt. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol LaTeX: \mathbb C (Unicode U+2102: ℂ, siehe Buchstabe mit Doppelstrich) verwendet.

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (Eulerformel), der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Ferner ist jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort auch beliebig oft differenzierbar – anders als in der Analysis der reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt.

Definition

Die komplexen Zahlen lassen sich als Zahlbereich im Sinne einer Menge von Zahlen, für die die Grundrechenarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division erklärt sind, mit den folgenden Eigenschaften definieren:

  • Die reellen Zahlen sind in den komplexen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede reelle Zahl eine komplexe Zahl ist.
  • Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
  • Das Distributivgesetz gilt.
  • Für jede komplexe Zahl LaTeX: x existiert eine komplexe Zahl LaTeX: -x, sodass LaTeX: x+(-x)=0.
  • Für jede von null verschiedene komplexe Zahl LaTeX: x existiert eine komplexe Zahl LaTeX: \tfrac{1}{x} , sodass LaTeX: x\cdot\tfrac{1}{x}=1.
  • Es existiert eine komplexe Zahl LaTeX: \mathrm i mit der Eigenschaft LaTeX: \mathrm i^2=-1.
  • Unter allen Zahlbereichen mit den zuvor genannten Eigenschaften sind die komplexen Zahlen minimal.

Die letzte Forderung ist gleichbedeutend damit, dass sich jede komplexe Zahl in der Form LaTeX: a+b\cdot\mathrm i (bzw. in verkürzter Notation LaTeX: a+b\,\mathrm i oder auch LaTeX: a+\mathrm i\,b) mit reellen Zahlen LaTeX: a und LaTeX: b darstellen lässt. Die imaginäre Einheit LaTeX: \mathrm i ist dabei keine reelle Zahl. Die Existenz eines solchen Zahlbereichs wird im Abschnitt zur Konstruktion der komplexen Zahlen nachgewiesen.

Unter Verwendung der Begriffe Körper und Isomorphie lässt sich das so formulieren: Es gibt minimale Körper, die den Körper der reellen Zahlen und ein Element LaTeX: \mathrm i mit der Eigenschaft LaTeX: \mathrm i^2=-1 enthalten. In einem solchen Körper hat jedes Element LaTeX: z eine und nur eine Darstellung als LaTeX: z=a+b\,\mathrm i mit reellen LaTeX: a, b. Die komplexen Zahlen sind isomorph zu jedem solchen Körper.

Die Koeffizienten LaTeX: a, b werden als Real- bzw. Imaginärteil von LaTeX: a + b\,\mathrm i bezeichnet. Dafür haben sich zwei Notationen etabliert:

  • LaTeX: a = \operatorname{Re}{(a + b\,\mathrm i)} und LaTeX: b = \operatorname{Im}{(a + b\,\mathrm i)}
  • LaTeX: a = \Re{(a + b\,\mathrm i)} und LaTeX: b = \Im{(a + b\,\mathrm i)}

Notation

Die Notation in der Form LaTeX: a+b\,\mathrm i\ wird auch als (nach René Descartes benannte) kartesische oder algebraische Form bezeichnet. Die Bezeichnung kartesisch erklärt sich aus der Darstellung in der komplexen bzw. gaußschen Zahlenebene (siehe weiter unten). Es findet sich auch die Darstellung LaTeX: \left( a, b\right);[1] in der Norm DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe kommt sie allerdings nicht vor.

In der Elektrotechnik wird das kleine i schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechslungen mit der imaginären Einheit LaTeX: \mathrm i führen. Daher kann in diesem Bereich gemäß DIN 1302 der Buchstabe j verwendet werden.

In der Physik wird zwischen LaTeX: i für die Stromstärke bei Wechselstrom und LaTeX: \mathrm i für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die recht klare Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechslungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewandt; handschriftlich ist diese Feinheit allerdings nicht zu halten. Siehe auch: Komplexe Wechselstromrechnung

Komplexe Zahlen können gemäß DIN 1304-1 und DIN 5483-3 unterstrichen dargestellt werden, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden.

Rechnen in der algebraischen Form

Addition

Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht

Für die Addition zweier komplexer Zahlen LaTeX: z_1=a+b\,\mathrm i mit LaTeX: a,b \in \mathbb{R} und LaTeX: z_2=c+d\,\mathrm i mit LaTeX: c,d \in \mathbb{R} gilt

LaTeX: z_1+z_2=(a+c)+(b+d)\,\mathrm i.

Subtraktion

Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen LaTeX: z_1 und LaTeX: z_2 (siehe Addition) gilt

LaTeX: z_1-z_2=(a-c)+(b-d)\,\mathrm i.

Multiplikation

Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen LaTeX: z_1 und LaTeX: z_2 (siehe Addition) gilt

LaTeX: z_1\cdot z_2=(ac+bd\,\mathrm i^2)+(ad+bc)\,\mathrm i=(ac-bd)+(ad+bc)\,\mathrm i.

Division

Für die Division der komplexen Zahl LaTeX: z_1 durch die komplexe Zahl LaTeX: z_2 (siehe Addition) mit LaTeX: z_2\neq 0 erweitert man den Bruch mit der zum Nenner LaTeX: z_2 konjugiert komplexen Zahl LaTeX: \bar z_2=c-d\,\mathrm i. Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von LaTeX: c+d\,\mathrm i):

LaTeX: \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+b\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)}{(c+d\,\mathrm i)(c-d\,\mathrm i)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\mathrm i.

Rechenbeispiele

Addition:

LaTeX: (3+2\mathrm i) + (5+5\mathrm i) = (3+5) + (2+5)\mathrm i = 8 + 7\mathrm i

Subtraktion:

LaTeX: (5+5\mathrm i) - (3+2\mathrm i) = (5-3) + (5-2)\mathrm i = 2 + 3\mathrm i

Multiplikation:

LaTeX: (3+5\mathrm i) \cdot (4+11\mathrm i) = (3\cdot 4 - 5\cdot 11)+(3\cdot 11 + 5\cdot 4)\mathrm i = -43 + 53\mathrm i

Division:

LaTeX: {\frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} = \frac{(2+5\mathrm{i})}{(3+7\mathrm{i})} \cdot \frac{(3-7\mathrm{i})}{(3-7\mathrm{i})} = \frac{(6 + 35) + (15\mathrm{i}-14\mathrm{i})}{(9 + 49) + (21\mathrm{i}-21\mathrm{i})} = \frac{41+\mathrm{i}}{58} = \frac{41}{58} + \frac{1}{58}\cdot\mathrm{i}}

Weitere Eigenschaften

  • Der Körper LaTeX: \Complex der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von LaTeX: \R, andererseits ein zweidimensionaler LaTeX: \R-Vektorraum. Der Isomorphismus LaTeX: \Complex \cong \R^2 wird auch als natürliche Identifikation bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um LaTeX: \Complex formell als LaTeX: \R^2 mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu definieren und dann LaTeX: \mathrm{i} := (0,1)^\mathrm{T} zu setzen. Dabei wird gleichzeitig festgelegt:
    1. Die Drehung der komplexen Ebene am Ursprung um den positiven Winkel LaTeX: +\tfrac{\pi}2 überführt die positive reelle LaTeX: +1 in die positiv-imaginäre Einheit LaTeX: +\mathrm{i}.
    2. Wenn die positiv-reelle Halbachse in der komplexen Ebene nach rechts geht, dann legt man die positiv-imaginäre Halbachse nach oben. Das ist in Einklang mit dem mathematisch-positiven Drehsinn.
  • Die Körpererweiterung LaTeX: \Complex:\R ist vom Grad LaTeX: [\Complex:\R]=2; genauer ist LaTeX: \Complex isomorph zum Faktorring LaTeX: \R[X]/(X^2+1), wobei LaTeX: X^2+1 das Minimalpolynom von LaTeX: \mathrm{i} über LaTeX: \R ist. Ferner bildet LaTeX: \Complex bereits den algebraischen Abschluss von LaTeX: \R.
  • Als LaTeX: \R-Vektorraum besitzt LaTeX: \Complex die Basis LaTeX: \{1, \mathrm{i}\}. Daneben ist LaTeX: \Complex wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler LaTeX: \Complex-Vektorraum mit Basis LaTeX: \{1\}.
  • LaTeX: \mathrm{i} und LaTeX: -\mathrm{i} sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung LaTeX: x^2 + 1 = 0. In diesem Sinne kann LaTeX: \mathrm{i} (aber auch LaTeX: \mathrm{-i}) als „Wurzel aus LaTeX: -1“ aufgefasst werden.[2]
  • LaTeX: \Complex ist im Gegensatz zu LaTeX: \R kein geordneter Körper, d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf LaTeX: \Complex. Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in LaTeX: \Complex) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

Betrag und Metrik

Betrag

Der Betrag LaTeX: |z| einer komplexen Zahl LaTeX: z ist die Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene und lässt sich z. B. zu

LaTeX: |z| = \sqrt{a^2 + b^2}

aus ihrem Realteil LaTeX: \operatorname{Re}{(z)}=a und Imaginärteil LaTeX: \operatorname{Im}{(z)}=b berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ.

Beispiel:

LaTeX: |239+\mathrm i| = \sqrt{239^2+1^2} = \sqrt{57121+1} = \sqrt{57122} = 169\cdot\sqrt{2}

Metrik

Die durch die Abstandsfunktion LaTeX: d_{\Complex}(z_1,z_2):=|z_1-z_2| induzierte Metrik versieht den komplexen Vektorraum LaTeX: \Complex mit seiner Standardtopologie. Sie stimmt mit der Produkttopologie von LaTeX: \R \times \R überein, wie die Einschränkung LaTeX: d_{\R} von LaTeX: d_{\Complex} auf LaTeX: \R mit der Standardmetrik auf LaTeX: \R übereinstimmt.

Beide Räume LaTeX: \Complex wie LaTeX: \R sind vollständig unter diesen Metriken. Auf beiden Räumen lässt sich der topologische Begriff der Stetigkeit zu analytischen Begriffen wie Differentiation und Integration erweitern.

Komplexe Zahlenebene

Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)

Während sich die Menge LaTeX: \mathbb R der reellen Zahlen durch Punkte auf einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge LaTeX: \Complex der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von LaTeX: \Complex als zweidimensionalem reellem Vektorraum. Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d. h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl LaTeX: z = a+b\,\mathrm{i} mit LaTeX: a,b \in \R besitzt dann die horizontale Koordinate LaTeX: a und die vertikale Koordinate LaTeX: b, wird also mit dem Zahlenpaar LaTeX: (a,b) identifiziert.

Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird.

Polarform

Die Farbdarstellung der komplexen Zahlenebene wird häufig zur Veran­schaulichung komplexer Funktionen (hier: der Identität) angewendet. Die Farbe kodiert das Argument LaTeX: \arg und die Helligkeit gibt den Betrag LaTeX: |\cdot| an.

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten LaTeX: a = \operatorname{Re}(z) und LaTeX: b = \operatorname{Im}(z) Polarkoordinaten LaTeX: r = |z| und LaTeX: \varphi = \arg(z) mit LaTeX: \arg als der Argument-Funktion, kann man die komplexe Zahl LaTeX: z=a+b\,\mathrm{i} auch in der folgenden, auf der eulerschen Relation beruhenden sogenannten Polarform (auch Polardarstellung)[3]

LaTeX: z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)

darstellen, die sich aus LaTeX: a = r \cdot \cos \varphi und LaTeX: b = r \cdot \sin \varphi ergibt. Die Darstellung mit Hilfe der komplexen e-Funktion LaTeX: r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks LaTeX: r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi) trigonometrische Darstellung (der Polarform). Aufgrund der eulerschen Relation sind beide Darstellungen gleichwertig. Des Weiteren gibt es für sie, namentlich in der Praxis, die verkürzten Schreibweisen

LaTeX: z = r \cdot\operatorname{cis}\,\varphi = r \cdot\operatorname{E}\,(\varphi) = r\,\angle\,\varphi\,,

in denen LaTeX: \operatorname{cis}\, \varphi für die Summe LaTeX: \cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi steht und die Darstellung mit dem Winkeloperator LaTeX: \angle als Versordarstellung bezeichnet wird.

In der komplexen Zahlenebene entspricht dabei LaTeX: r der euklidischen Vektorlänge (d. h. dem Abstand zum Ursprung 0) und LaTeX: \varphi dem mit der reellen Achse eingeschlossenen Winkel der Zahl LaTeX: z. Üblicherweise jedoch nennt man LaTeX: r hier den Betrag von LaTeX: z (oder auch seinen Modul) (Schreibweise LaTeX: r = |z|) und den Winkel LaTeX: \varphi das Argument (oder auch die Phase) von LaTeX: z (Schreibweise LaTeX: \varphi = \operatorname{arg}(z)).

Da LaTeX: \varphi und LaTeX: \varphi+2\pi dabei derselben Zahl LaTeX: z zugeordnet werden können, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. Deshalb schränkt man LaTeX: \varphi meist auf das Intervall LaTeX: (-\pi;\pi], also LaTeX: -\pi < \varphi \leq \pi ein, um anschließend statt vom Argument selbst von seinem Hauptwert für LaTeX: z\neq 0 zu sprechen. Der Zahl LaTeX: z = 0 indes ließe sich jedes beliebige Argument zuordnen, und zum Zweck einer eindeutigen Darstellung kann man es in diesem Fall tatsächlich auf 0 festlegen.

Das Argument von LaTeX: z ist auch der Imaginärteil des komplexen natürlichen Logarithmus

LaTeX: \ln z=\ln|z|+\mathrm i\cdot\arg (z).

Mit der Wahl eines auf ganz LaTeX: \mathbb C definierten Zweiges des Logarithmus ist also auch eine Argumentfunktion bestimmt (und umgekehrt).

Alle Werte LaTeX: \mathrm{e}^{\mathrm{i} \varphi} bilden den Einheitskreis der komplexen Zahlen mit dem Betrag LaTeX: 1, diese Zahlen werden auch unimodular genannt und bilden die Kreisgruppe.

Dass die Multiplikation von komplexen Zahlen (außer der Null) Drehstreckungen entspricht, lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken: Die multiplikative Gruppe LaTeX: \Complex^\times der komplexen Zahlen ohne die Null lässt sich als direktes Produkt der Gruppe der Drehungen, der Kreisgruppe, und der Streckungen um einen Faktor ungleich Null, der multiplikativen Gruppe LaTeX: \R^+ auffassen. Erstere Gruppe lässt sich durch das Argument LaTeX: \varphi parametrisieren, zweitere entspricht gerade den Beträgen.

Komplexe Konjugation

Konjugation (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia

Eine komplexe Zahl LaTeX: z = a+b\,\mathrm{i} und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl LaTeX: \bar z=a-b\,\mathrm{i}

Ändert man das Vorzeichen des Imaginärteils LaTeX: b einer komplexen Zahl LaTeX: z = a+b\,\mathrm{i}, so erhält man die zu LaTeX: z konjugiert komplexe Zahl LaTeX: \bar z=a-b\,\mathrm{i} (manchmal auch LaTeX: z^* geschrieben).

Die Konjugation LaTeX: \Complex\to\Complex,\,z\mapsto \bar z ist ein (involutorischer) Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h., für alle LaTeX: y,z\in\Complex gilt

LaTeX: \overline{y+z}=\bar y+\bar z,\quad \overline{y\cdot z}=\bar y\cdot \bar z.

In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl LaTeX: \bar z bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von LaTeX: z. Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.

Das Produkt aus einer komplexen Zahl LaTeX: z=a+b\,\mathrm{i} und ihrer komplex Konjugierten LaTeX: \bar z ergibt das Quadrat ihres Betrages:

LaTeX: z\cdot\bar z = (a+b\,\mathrm{i}) (a-b\,\mathrm{i}) = a^2 + b^2=|z|^2

Die komplexen Zahlen bilden damit ein triviales Beispiel einer C*-Algebra.

Die Summe aus einer komplexen Zahl LaTeX: z=a+b\,\mathrm{i} und ihrer komplex Konjugierten LaTeX: \bar z ergibt das 2-Fache ihres Realteils:

LaTeX: z + \bar z = (a+b\,\mathrm{i}) + (a-b\,\mathrm{i}) = 2a = 2\,\operatorname{Re}{(z)}

Die Differenz aus einer komplexen Zahl LaTeX: z=a+b\,\mathrm{i} und ihrer komplex Konjugierten LaTeX: \bar z ergibt das LaTeX: \mathrm {2i}-Fache ihres Imaginärteils:

LaTeX: z - \bar z = (a+b\,\mathrm{i}) - (a-b\,\mathrm{i}) = 2b\,\mathrm{i} = 2\,\mathrm{i}\,\operatorname{Im}{(z)}

Umrechnungsformeln

Von der algebraischen Form in die Polarform

Für LaTeX: z=a+b\,\mathrm{i} in algebraischer Form ist

LaTeX: r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}=\sqrt{z \cdot \overline z}.

Für LaTeX: z = 0 \quad (\Longleftrightarrow r = 0 ) ist das Argument LaTeX: \varphi beliebig, wird aber häufig auf 0 gesetzt oder undefiniert gelassen. Für LaTeX: z \neq 0 kann das Argument LaTeX: \varphi im Intervall LaTeX: (-\pi;\pi] mit Hilfe einer trigonometrischen Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des Arkuskosinus

LaTeX: \varphi=\arg(z)=
<p>\Biggl\{ \begin{matrix}
\\
\\
</p>
\end{matrix} \Biggr.     LaTeX: \arccos\frac{a}{r} für LaTeX: b \geq0 LaTeX: \Biggl. \begin{matrix}
<p>\\
\\
\end{matrix} \Biggr\} \; = \operatorname{arctan2}(a,b)

LaTeX: -\arccos\frac{a}{r} für LaTeX: b<0

ermittelt werden. Verfahren, die den Arkustangens verwenden, sind im Artikel Arkustangens und Arkuskotangens#Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in polare aufgeführt. Dazu gehört auch die in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen zur Verfügung gestellte häufig mit dem Namen arctan2, aber auch atan2, bezeichnete Variante der Arkustangensfunktion, die beide Werte übergeben bekommt und das Ergebnis je nach Vorzeichen von LaTeX: a und LaTeX: b dem passenden Quadranten zuordnet.

Die Berechnung des Winkels LaTeX: \varphi im Intervall LaTeX: [0,2\pi) kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall LaTeX: (-\pi,\pi] berechnet wird und dann um LaTeX: 2\pi vergrößert wird, falls er negativ ist:

LaTeX: \varphi' = \arg(z) = \begin{cases}\varphi + 2\pi & \text{falls}\ \varphi < 0\\\varphi & \text{sonst}\end{cases}

(siehe Polarkoordinaten).

Von der Polarform in die algebraische Form

LaTeX: a = \operatorname{Re}(z) = r \cdot \cos\varphi
LaTeX: b = \operatorname{Im}(z) = r \cdot \sin\varphi

Wie weiter oben stellt LaTeX: a den Realteil und LaTeX: b den Imaginärteil jener komplexen Zahl dar.

Arithmetische Operationen in der Polarform

Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:

LaTeX: z_1=r_1\cdot (\cos \varphi_1 + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi_1) = r_1\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_1}
LaTeX: z_2=r_2\cdot (\cos \varphi_2    + \mathrm{i}\cdot\sin \varphi_2)    = r_2\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_2}

Bei der Multiplikation werden die Beträge LaTeX: r_1 und LaTeX: r_2 miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen LaTeX: \varphi_1 bzw. LaTeX: \varphi_2 addiert. Bei der Division wird der Betrag des Dividenden durch den Betrag des Divisors geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:

Trigonometrische Form

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.
  • LaTeX: {z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot \left[ \cos (\varphi_1+\varphi_2) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi_1+\varphi_2) \right]}
Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.
  • LaTeX: \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \left[ \cos (\varphi_1-\varphi_2) + \mathrm{i} \cdot \sin (\varphi_1-\varphi_2) \right]

Exponentialform

  • LaTeX: z_1 \cdot z_2 = r_1 \cdot r_2 \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_1+\varphi_2)}
  • LaTeX: \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\varphi_1-\varphi_2)}
  • LaTeX: z_1 \pm z_2 = t \cdot \mathrm{e}^{ \mathrm{i} \chi} mit LaTeX: t und LaTeX: \chi wie oben.

Siehe auch

Literatur

  • Paul Nahin: An imaginary tale. The story of LaTeX: \sqrt {-1}. Princeton University Press, 1998.
  • Reinhold Remmert: Komplexe Zahlen. In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): Zahlen. Springer, 1983.

Weblinks

Commons-logo.png Commons: Komplexe Zahlen - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wikibooks: Imaginäre und komplexe Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien
 Wikibooks: Komplexe Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

  1.  Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1: Mit Lösungshinweisen zu 420 Übungsaufgaben. 4. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-31764-7.
  2. Bei Verwendung des Zeichens LaTeX: \mathrm{i} ist noch deutlicher gemacht, als es vielleicht bei Verwendung von LaTeX: \sqrt{-1} wäre, dass bei jedem Vorkommen dieselbe Lösung von LaTeX: \mathrm{i}^2 + 1 = 0 (dasselbe „Vorzeichen“) genommen werden muss. Dennoch bleiben alle algebraischen Aussagen gültig, wenn überall LaTeX: \mathrm{i} durch LaTeX: -\mathrm{i} ersetzt wird.
  3.  Ehrhard Behrends: Analysis. 6. Auflage. 1, Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-07122-6, doi:10.1007/978-3-658-07123-3.