Kreis des Apollonios

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Der Kreis des Apollonios (auch Kreis des Apollonius oder apollonischer Kreis), benannt nach Apollonios von Perge ist definiert als die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis (d.h. der Quotient) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als Quotientenkreis bezeichnet.

Satz und Definition

Kreis des Apollonios
LaTeX: k_A = \{X | \overline{AX} : \overline{XB} = \lambda\}

ein Kreis, der als Kreis des Apollonios bezeichnet wird.

Zur Begründung der Kreiseigenschaft verwendet man den inneren und den äußeren Teilungspunkt der Strecke LaTeX: \overline{AB} im Verhältnis LaTeX: \lambda. Diese beiden Punkte (LaTeX: T_i und LaTeX: T_a) erfüllen die oben geforderte Bedingung und teilen die Strecke LaTeX: \overline{AB} harmonisch. Ist nun LaTeX: X ein beliebiger Punkt mit der Eigenschaft LaTeX: \overline{AX} : \overline{XB} = \lambda, so teilt die Gerade LaTeX: XT_i die gegebene Strecke LaTeX: \overline{AB} im Verhältnis LaTeX: \overline{XA} : \overline{XB}. LaTeX: XT_i muss daher mit der Winkelhalbierenden des Winkels LaTeX: AXB übereinstimmen. Entsprechend lässt sich zeigen, dass die Gerade LaTeX: XT_a den Nebenwinkel von LaTeX: \angle AXB halbiert. Da die Winkelhalbierenden von Nebenwinkeln zueinander senkrecht stehen, muss LaTeX: X auf dem Thaleskreis über LaTeX: \overline{T_i T_a} liegen.

Umgekehrt erfüllt jeder Punkt LaTeX: X des genannten Thaleskreises die Bedingung LaTeX: \overline{AX} : \overline{XB} = \lambda.

Im speziellen Fall LaTeX: \lambda = 1 ist die gesuchte Punktmenge die Mittelsenkrechte der Punkte A und B.

Weitere Eigenschaften

  • Der Radius des Apollonios-Kreises beträgt LaTeX: r_A = \tfrac{\lambda}{|\lambda^2-1|} \overline{AB}.
  • Der durch LaTeX: T_i gehende Apollonioskreis für die Strecke LaTeX: \overline{AB} ist der durch LaTeX:  T_i gehende Inversionskreis, bezogen auf den die Endpunkte LaTeX: A,B zueinander invers sind.
  • Wenn A und B bei Inversion am Apollonioskreis ineinander übergehen, wird jeder durch A und B gehende Kreis ebenfalls in sich selbst invertiert und schneidet den Apollonioskreis deshalb rechtwinklig. Dies gilt insbesondere auch für den über LaTeX: \overline{AB} geschlagenen Kreis. Wegen der Reziprozität der harmonischen Teilung – teilt ein Punktpaar ein anderes harmonisch, so ist es selbst von diesem harmonisch geteilt (im Verhältnis LaTeX: \tfrac {\lambda + 1} {\lambda - 1} statt LaTeX: \lambda ) – ist der Kreis über LaTeX: \overline{AB} Apollonioskreis für die Strecke LaTeX: \overline{T_i T_a}.
  • Die drei Kreise des Apollonios eines Dreiecks schneiden sich im isodynamischen Punkt des entsprechenden Dreiecks.

Literatur

  • Franz Lemmermeyer: Mathematik à la Carte: Quadratische Gleichungen mit Schnitten von Kegeln. Springer, 2016, ISBN 9783662503416, S. 98
  • Joachim Engel, Andreas Fest: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. Walter de Gruyter, 2016, ISBN 9783110406887, S. 40
  • Nathan Altshiller: On the Circles of Apollonius. The American Mathematical Monthly, Band 22, Nr. 8 (Okt., 1915), S. 261–263 (JSTOR 2691113)
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 40, 294–297 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).

Weblinks

Commons-logo.png Commons: Aplolloniuskreise - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema


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