Magnetische Flussdichte

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Physikalische Größe
Name Magnetische Flussdichte
Formelzeichen LaTeX: \vec{B}
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI T M·I−1·T−2
Gauß (cgs) Gs = 105·γ M½·L·T−1
esE (cgs) statT M½·L−3/2
emE (cgs) Gs = 105·γ M½·L·T−1

Die magnetische Flussdichte, auch magnetische Induktion, bisweilen umgangssprachlich einfach nur „Flussdichte“ oder „Magnetfeld“ genannt, ist eine physikalische Größe der Elektrodynamik. Sie ist die Flächendichte des magnetischen Flusses, der senkrecht durch ein bestimmtes Flächenelement hindurchtritt. Die SI-Einheit der magnetischen Flussdichte ist das nach Nikola Tesla benannte Tesla (T):

LaTeX: \mathrm{1\, T = 1\,\frac{V\, s}{m^2} = 1\,\frac{N}{A\, m} = 1\,\frac{Wb}{m^2} = 1\,\frac{kg}{A\, s^2}}

Die magnetische Flussdichte LaTeX: \vec{B} ist – ebenso wie die elektrische Flussdichte LaTeX: \vec{D} – eine gerichtete Größe, also ein Vektor, und wird aus dem Vektorpotential LaTeX: \vec{A} hergeleitet.

Definition und Berechnung

Lorentzkraft auf ein positiv geladenes Teilchen der Geschwindigkeit v (links) bzw. das vom Strom I durchflossene Leiterstück der Länge l (rechts) im dazu senkrecht verlaufenden Magnetfeld der Flussdichte B.

Wie die elektrische Feldstärke LaTeX: \vec E ist auch die magnetische Flussdichte LaTeX: \vec B historisch zunächst einmal indirekt, d. h. über ihre experimentell messbare Kraftwirkung LaTeX: \vec F auf bewegte elektrische Ladungen, definiert worden, die in der neueren Physik als magnetische Komponente der Lorentzkraft betrachtet und in vektorieller Schreibweise wie folgt notiert wird:

LaTeX: {\vec F_B} = q \cdot {\vec v}\times {\vec B} \Leftrightarrow {\vec F_B} = I \cdot {\vec s}\times {\vec B}

mit:

Die erste der beiden oben aufgeführten Gleichungen wird vorwiegend für frei im Raum bewegliche Ladungen, z. B. Elektronen innerhalb einer Braunschen Röhre, benutzt, die zweite dagegen für Ladungen, die sich innerhalb von elektrischen Leitern, z. B. Drähten oder Kabeln, bewegen. Beide Gleichungen sind gleichwertig.

In den genannten Formeln ist LaTeX: \vec B ein Vektor, der in Richtung der Feldlinien des erzeugenden Magnetfelds zeigt.

Verzichtet man auf die vektorielle Schreibweise und damit die Möglichkeit, die Richtung der Kraftwirkung LaTeX: F_B aus dem Vektorprodukt der beiden Vektoren LaTeX: \vec v und LaTeX: \vec B bzw. LaTeX: \vec s und LaTeX: \vec B zu bestimmen, kann LaTeX: F_B gemäß folgender Formel auch als skalare Größe berechnet werden:

LaTeX: F_B=|q\cdot v| \cdot B\sin \alpha \, \Leftrightarrow F_B=|I\cdot s| \cdot B\sin \alpha \,

mit:

  • LaTeX: q\, – elektrische Ladung, oder LaTeX: I\, – Stromstärke
  • LaTeX: v\, – Geschwindigkeit der Ladungsbewegung, oder LaTeX: s\, – Länge des Wegs des Stroms im Leiter
  • LaTeX: B\, – Betrag der magnetischen Flussdichte
  • LaTeX: \alpha\, – Winkel zwischen der Richtung der Ladungsbewegung und der Richtung des magnetischen Flusses, oder zwischen der Richtung des Stromflusses LaTeX: I und der Richtung des magnetischen Flusses.

Bewegt sich die elektrische Ladung LaTeX: q mit der Geschwindigkeit LaTeX: v senkrecht zur Richtung des magnetischen Flusses und/oder verläuft der untersuchte elektrische Leiter senkrecht zur magnetischen Flussrichtung, kann, da LaTeX: \textstyle \sin \alpha in diesem Fall den Wert 1 annimmt, der Zahlenwert von LaTeX: \textstyle B gemäß folgender Gleichung auch direkt aus der Kraftwirkung LaTeX: \textstyle F_B auf die Ladung bzw. den Leiter als ganzes berechnet werden:

LaTeX: {B=\frac{F_B}{|q\cdot v|}} \Leftrightarrow {B=\frac{F_B}{|I\cdot s|}}

Der Zusammenhang mit der magnetischen Feldstärke LaTeX: \vec{H} ist:

LaTeX: \vec{B} = \mu \cdot \vec{H}.

Dabei ist LaTeX: \mu die magnetische Permeabilität.

Messung

Die magnetische Flussdichte kann mit Magnetometern, Hallsensoren oder Messspulen gemessen werden.

Maßeinheit

Die SI-Einheit der magnetischen Flussdichte ist das Tesla mit dem Einheitenzeichen T:

LaTeX: \left[ B \right] = 1\,\mathrm{T} = 1\,{\mathrm{Vs} \over \mathrm{m^2}} = 1\,{\mathrm{N} \over \mathrm{Am}}= 1\,{\mathrm{kg} \over \mathrm{As^2}}

Eine veraltete Einheit für die magnetische Flussdichte ist außerdem das Gauß mit dem Einheitenzeichen G, das allerdings in der Technik immer noch häufig verwendet wird. Es gilt 1 T = 10000 G.

Spezialfälle

Im Folgenden werden der Einfachheit halber nur die Beträge der Flussdichten angegeben.

  • magnetische Flussdichte im Abstand LaTeX: r von einem geraden stromdurchflossenen Leiter:
LaTeX: B = \mu \frac {I} {2\pi r}
(Die Richtung der Flussdichte ergibt sich aus der Korkenzieherregel.)
  • im Inneren einer langen Spule:
LaTeX:  B = \mu \frac {NI}{l}
(Hierbei sind LaTeX: N die Windungszahl und LaTeX: l die Länge der Spule. Streng genommen ist dies nur eine Näherungsformel, die nur unter folgenden Voraussetzungen gilt: Die Länge der Spule ist groß verglichen mit dem Radius der Spule, die Windungen sind sehr dicht und gleichmäßig und der betrachtete Ort befindet sich im Inneren der Spule und nicht in der Nähe der Spulenenden. Die Richtung der Flussdichte verläuft parallel zur Spulenachse. Für die Orientierung siehe dort. Außerhalb der Spule ist die Flussdichte nahezu Null.)
LaTeX: B = \mu \frac {8 N I}{\sqrt{125}R}
LaTeX: \vec{B}(\vec{r})\,=\,\frac{\mu}{4 \pi r^2}\,\frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r}) - \vec{m}r^2}{r^3}\ .
(Das Dipolmoment einer kreisförmigen Leiterschleife mit der orientierten Querschnittsfläche LaTeX: \vec A ist LaTeX: \vec m = I\vec A.)

Magnetische Flussdichte und magnetischer Fluss

Die magnetische Flussdichte LaTeX: \vec B ist als Flächendichte über folgende Beziehung mit dem magnetischen Fluss LaTeX: \Phi\, verknüpft:

LaTeX: \Phi=\int{\vec B} \cdot \mathrm{d}\vec A

Dass die Flusslinien des magnetischen Flusses in sich geschlossen sind, lässt sich mathematisch dadurch zum Ausdruck bringen, dass jedes Flächenintegral von LaTeX: \vec B über eine beliebige geschlossene Oberfläche LaTeX: O den Wert 0 annimmt:

LaTeX: \oint_O{\vec B} \cdot \mathrm{d}\vec A = 0

Diese Gleichung ist mathematisch gesehen eine direkte Konsequenz der homogenen Maxwellschen Gleichung

LaTeX: {\mathrm {div}{\,\vec B} = 0}

sowie des Gaußschen Satzes

LaTeX: \oint_O{\vec j} \cdot \mathrm{d}\vec A = \int_V {\mathrm{div} \,}{\vec j}\cdot \mathrm{d}^3 r

für ein beliebiges Vektorfeld LaTeX: \vec j und das von LaTeX: O eingeschlossene Volumen LaTeX: V.

Anschaulich gesprochen: Wenn man sich ein durch eine beliebig geformte geschlossene Fläche LaTeX: O eingeschlossenes Volumen LaTeX: V in einem magnetischen Feld vorstellt, fließt stets genauso viel „Magnetismus“ aus LaTeX: V durch die Oberfläche LaTeX: O nach außen wie von außen hinein. Dies bezeichnet man als „Quellenfreiheit des magnetischen Feldes“.

Siehe auch

Literatur

  • Küpfmüller, K., Kohn, G., Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung, Springer, 16., vollst. neu bearb. u. aktualisierte Aufl., 2005, ISBN 3-540-20792-9

Weblinks


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