Mannigfaltigkeit

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Die Sphäre kann mit mehreren Abbildungen „plattgedrückt“ werden. Entsprechend kann die Erdoberfläche in einem Atlas dargestellt werden.

Unter einer Mannigfaltigkeit versteht man in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal dem euklidischen Raum LaTeX: \mathbb{R}^n gleicht. Global muss die Mannigfaltigkeit jedoch nicht einem euklidischen Raum gleichen (nicht zu ihm homöomorph sein). Der Begriff wurde von Bernhard Riemann in seinem Habilitationsvortrag Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, den er 1854 unter anderem vor Carl Friedrich Gauß hielt, geprägt.

Umfasst eine Mannigfaltigkeit nur differenzierbare Funktionen, so spricht man von einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Sie sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie und haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik.

Beispiel

Ein gern gewähltes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist eine Sphäre (= Kugeloberfläche), anschaulich etwa die Erdoberfläche:

Jede Region der Erde kann mit einer Karte auf eine Ebene (LaTeX: \mathbb{R}^2) abgebildet werden. Nähert man sich dem Rand der Karte, soll zu einer anderen Karte gewechselt werden, die das angrenzende Gebiet darstellt. So kann eine Mannigfaltigkeit durch einen vollständigen Satz von Karten vollständig beschrieben werden; man braucht dabei Regeln, wie sich beim Kartenwechsel die Karten überlappen. Dagegen gibt es keine einzelne Karte, auf der die gesamte Kugeloberfläche vollständig dargestellt werden kann, ohne letztere zu „zerreißen“; Weltkarten haben ebenfalls stets „Ränder“, oder sie bilden Teile der Erde zweimal ab. Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension.

Ein anderes Beispiel ist der Torus („Rettungsring“, „Donut“).

Siehe auch


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