Potenz (Mathematik)

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Als Potenz (von lat. potentia „Vermögen, Macht“) wird in der Mathematik das Ergebnis der Rechenoperation des Potenzierens bezeichnet, bei der eine Zahl wiederholt mit sich selbst multipliziert wird. Die zu multiplizierende Zahl nennt man Basis und wie oft sie mit sich selbst zu multiplizieren ist, wird angegeben durch den Exponenten (von lat. exponere „herausstellen, darlegen, exponieren“), auch Hochzahl genannt.

Definition

Natürliche Exponenten

Für natürliche Exponenten gilt entsprechend:

LaTeX: \begin{matrix}a^n = 1 \cdot \underbrace{{ a\cdot a\cdot a\dotsm a }}_{{n\ \mathrm{Faktoren}}}\end{matrix} \qquad a \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}

Werden Potenzen zur gleichen Basis miteinander multipliziert, müssen, wie leicht ersichtlich ist, ihre Exponenten addiert werden, d.h.

LaTeX: a^n \cdot a^m = a^{n + m}

also z.B.:

LaTeX: 10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^5 = 100 \cdot 1000 = 100.000

Die zunächst nur für natürliche Exponenten anschaulich definierte Rechenoperation wurde später auf negative ganzzahlige, rationale, reelle und komplexe Exponenten erweitert.

Ganzzahlige negative Exponenten

Für ganzzahlige negative Exponenten LaTeX: -n wird die Potenz sinnvollerweise durch die zur Multiplikation inverse Division definiert:

LaTeX: \begin{matrix}a^{-n}= 1 : \underbrace{{ a: a: a: \dotsb :a }}_{{n\ \mathrm{Divisoren}}}\end{matrix} = \frac{1}{a^n},\quad a \neq 0

also z.B.:

LaTeX: 10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001

Rationale Exponenten

Für rationale Exponenten LaTeX: q = \frac{m}{n} \quad m\in \mathbb {Z},\ n\in \mathbb {N} gilt:

LaTeX: a^q=a^{\tfrac m n} = \sqrt [n] {a^m} = (\sqrt [n] a)^m

also beispielsweise:

LaTeX: 2^{3,1}= 2^{31/10}= \sqrt [10] {2^{31}}= (\sqrt [10] 2)^{31}

Potenz- und Polynomfunktionen

Graphen einiger Potenzfunktionen

Auf dieser Grundlage lassen sich auch elementare Potenzfunktionen und Polynomfunktionen (auch ganzrationale Funktionen genannt) wie folgt definieren:

Potenzfunktion

LaTeX: f(x) = a x^r \qquad a,x,r \in \mathbb{R}

Polynomfunktion

Eine Polynomfunktion ist durch ein Polynom wie folgt definiert:

LaTeX: f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i x^i \qquad i,n \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{R}

Ein Polynom mit nur einem Glied (z.B.: LaTeX: x, 3x^2) wird als Monom, mit zwei Gliedern (z.B.: LaTeX: x + y, 3x + 4xy^3) wird als Binom bezeichnet.

Siehe auch