Projektive Geometrie

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Die projektive Geometrie ist aus der perspektivischen geometrischen Darstellung dreidimensionaler Objekte in der zweidimensionalen Ebene entstanden. Anders als in der Euklidischen Geometrie gilt hier das Parallelenpostulat nicht. Die projektive Geometrie trägt damit der unmittelbaren Wahrnehmung Rechnung, wonach sich parallele Linien in „unendlicher Ferne“, im sog. Fernpunkt zu treffen scheinen. Alle Fernpunkte einer Ebene bilden eine Ferngerade und im Raum bilden alle Ferngeraden zusammen eine Fernebene.

Rudolf Steiner hat auf die Bedeutung der projektiven bzw. synthetischen Geometrie als Vorschulung für die imaginative Wahrnehmung hingewiesen, da man sich hier im Gegensatz zur analytischen Geometrie nicht von der unmittelbaren geometrischen Anschauung entferne.

"Sehen Sie, eine gewisse Hilfe kann vielleicht wenigstens ein Teil von Ihnen haben, wenn er versucht, sich eine genaue Vorstellung von dem zu machen, wie sich verhält die gewöhnliche analytische Geometrie zu der sogenannten synthetischen Geometrie. Nur ein paar Worte möchte ich über dieses sagen. Wir tun innerhalb der analytischen Geometrie eigentlich das Folgende. Wir diskutieren irgendeine Gleichung y = f (x) oder eine andere Gleichung, und wenn wir innerhalb des gewöhnlichen Koordinatensystems bleiben, so sagen wir uns, jedem x entspricht dann ein y, und wir suchen die Endpunkte der Ordinaten als diejenigen Punkte auf, die sich aus unserer Gleichung ergeben. Was tritt da eigentlich ein? Da müssen wir uns sagen: Wenn wir die Gleichung behandeln, so behandeln wir sie eigentlich so, daß wir innerhalb desjenigen, was wir in der Gleichung handhaben, immer im Auge etwas haben, was außerhalb desselben liegt, was wir zuletzt suchen. Wir suchen zuletzt die Kurve. Aber in der Gleichung liegt ja nicht die Kurve. In der Gleichung liegen die Ordinaten und die Abszissen. Wir bewegen uns eigentlich so, daß wir außerhalb der Kurve konstruieren, und daß wir dasjenige, was wir an den Enden der Ordinaten haben, dann als die Punkte betrachten, die der Kurve angehören. Wir kommen mit unserer Gleichung in der analytischen Geometrie gar nicht hinein in die Kurve selber, in das geometrische Gebilde. Das ist etwas ungeheuer Bedeutsames, wenn es im erkenntnismäßigen Sinne begriffen wird, daß, wenn wir analytische Geometrie treiben, wir Operationen ausführen, die wir dann im Räume wieder aufsuchen, daß wir aber mit alldem, was wir da rechnen, eigentlich außerhalb der Betrachtung geometrischer Gebilde bleiben. Es ist das etwas, was man auffassen muß aus dem Grunde, weil man dann zu einer ganz anderen Vorstellung kommt, wenn man übergeht von der analytischen Geometrie zur projektiven oder synthetischen Geometrie. Da arbeitet man, wie die meisten von Ihnen wissen werden, nicht mehr mit der Rechnung, sondern da arbeitet man im Grunde genommen nur mit dem Schneiden von Linien und mit dem Projizieren von Gebilden und kommt dadurch wenigstens zunächst annäherungsweise dazu, aus dem bloßen Herumrechnen um die geometrischen Gebilde etwas hineinzutreten in diese geometrischen Gebilde selber. Das zeigt sich, wenn Sie sich anschauen, wie man in der synthetischen Geometrie zum Beispiel nachweist, daß eine gerade Linie nicht zwei unendlich ferne Punkte hat, sondern nur einen unendlich fernen Punkt, so daß man, wenn man nach dieser Richtung fortgeht, ich möchte sagen, «von hinten herum» - das kann man geometrisch ganz gut begreifen - wiederum zurückkommt, so daß man nur einen unendlich fernen Punkt bei einer Geraden hat. Man hat dann bei einer Ebene nur eine unendlich ferne Grenzlinie. Man hat beim ganzen Raum nur eine unendlich ferne Grenzebene.

Zu diesen Vorstellungen, ich will das nur erwähnen, kommt man nicht auf analytische Weise. Das läßt sich gar nicht machen. Man bildet sich, wenn man schon synthetisch-geometrische Vorstellungen hat, vielleicht ein, man könne dazu kommen. Man kann aber nicht dazu kommen, nur die synthetische Geometrie liefert einem das. Die synthetische Geometrie zeigt einem, daß man in der Tat hinein kann in die geometrischen Gebilde, was die analytische Geometrie nicht kann. Und da erwirbt man sich, wenn man sich allmählich so herausringt aus der bloßen analytischen Geometrie in die projektive oder synthetische Geometrie hinein, eine Empfindung dafür, wie die Kurve selber in sich die Elemente des Sich-Biegens, des Sich-Rundens und so weiter hat, was ja nur äußerlich gegeben ist in der analytischen Geometrie. Man dringt also aus der Umgebung der Linie, aus der Umgebung auch des Raumgebildes in das innere Gefüge des Raumgebildes hinein, und man hat dadurch eine Möglichkeit, sich eine erste Stufe zu bilden für den Übergang des rein mathematischen Vorstellens, das ja im eminentesten Sinne in der analytischen Geometrie gegeben ist, zum imaginativen Vorstellen. Man hat das imaginative Vorstellen natürlich noch nicht in der synthetischen, projektiven Geometrie, aber man nähert sich ihm, und das ist, wenn man es innerlich durchmacht, ein außerordentlich bedeutsames Erlebnis, ein Erlebnis, welches geradezu entscheidend werden kann für die Anerkennung des imaginativen Elementes und auch dafür, daß man sich dann den Weg der Geistesforschung bestätigt in der Richtung, daß man wirklich eine Vorstellung von diesem imaginativen Element bekommt." (Lit.: GA 324, S. 85f)

Mittels der projektiven Geometrie lassen sich insbesondere die ätherischen Universalkräfte erfassen, die gestaltend im Lebendigen wirken.

"Man hat es wirklich zu tun, so lange man, sagen wir, hier die Erde hat und die Wurzel der Pflanze ins Auge faßt, man hat es zu tun mit einer besonderen Ausbildung der Schwerkraft. Da steht man drinnen in der gewöhnlichen Raumes-Dimensionalität. Will man aber die Form der Blüte erklären, dann kommt man damit nicht aus. Dann muß man, statt den Koordinatenanfangspunkt zu nehmen, den unendlichen

Zeichnung aus GA 82, S 230

Raum nehmen, der ja nur die andere Form ist für den Punkt. Und dann kommt man dazu, statt hinauszugehen zentrifugal, zentripetal hineinzugehen. Man kommt zu dieser Wellenfläche. Statt daß die Sache versprüht, drückt es von außen herein, und man bekommt dann jene Bewegungen, die gleitende oder schabende Bewegungen sind oder Druckbewegungen, bei denen man falsch gehen würde, wenn man Koordinatenachsen vom Koordinatenmittelpunkt aus nehmen würde, sondern man muß die unendliche Sphäre als Koordinatenmittelpunkt nehmen und dann lauter nach dem Zentrum hingehende Koordinaten. Also, man bekommt das auch qualitativ gegensätzliche Koordinatenachsensystem, sobald man ins Ätherische kommt. Daß man das nicht berücksichtigt, das ist der Fehler bei der gewöhnlichen Äthertheorie. Hierin liegt die Schwierigkeit der Definition des Äthers. Bald sieht man ihn als flüssig, bald als Gas an. Da liegt der Fehler vor, daß man ausgeht von dem Koordinatensystem, das vom Mittelpunkt aus gesehen ist. Sobald man aber in den Äther kommt, muß man die Sphäre nehmen, und das gesamte System statt von innen nach außen, umgekehrt konstruieren.

Die Dinge werden, wenn sie mathematisch verfolgt werden und ins Physikalische hinüberkommen, interessant, und manches würde gerade zur Lösung von Grenzproblemen auch noch beigetragen werden können, wenn man einmal diese Theorien, die hier anfangen sehr real zu werden, ausbilden würde. Allein, dafür ist noch furchtbar wenig Verständnis vorhanden. Ich habe zum Beispiel einmal in einer mathematischen Universitätsgesellschaft einen Vortrag gehalten, wo ich versuchte, an diese Dinge heranzuführen. Ich habe ausgeführt, daß,

Zeichnung aus GA 82, S 231

wenn man hier die Asymptoten einer Hyperbel hat und hier die Hyperbeläste, man sich dasjenige, was man sich hier rechts vorzustellen hat, und zwar auseinandersprühend, hier links vorzustellen hat zusammensprühend, so daß eine völlige Umkehr stattfindet. Diese Dinge führen allmählich hinaus in eine konkretere Behandlung des Raumes. Aber man findet dafür heute wenig Verständnis. Man findet vielfach sogar bei reinen Analytikern eine gewisse Abneigung gegen die synthetische Geometrie. Und diese neuere synthetische Geometrie ist einmal der Weg, aus dem rein formalen Mathematischen herauszukommen zu dem Problem, wo man das Empirische fassen muß. Solange man mit der bloßen analytischen Geometrie rechnet, kommt man nicht an die Gebiete der Wirklichkeit heran. Da hat man nur die Endpunkte der Koordinaten ausgebildet, den geometrischen Ort der Koordinaten und so weiter. Bleibt man beim Konstruieren beim Linearen und bei Kreisen, dann steht man in Linien darinnen, ist aber genötigt, eine gewisse Anschaulichkeit zu Hilfe zu nehmen. Das ist das, was synthetische Geometrie so wohltätig macht, um herauszukommen aus dem Formalen und zu zeigen, wie man das Mathematische in der Natur darinnen zu denken hat." (Lit.: GA 082, S. 229f)

Siehe auch

Literatur

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Literaturangaben zum Werk Rudolf Steiners folgen, wenn nicht anders angegeben, der Rudolf Steiner Gesamtausgabe (GA), Rudolf Steiner Verlag, Dornach/Schweiz
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