Reihe (Mathematik)

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Eine unendliche Reihe ist mathematisch definiert als Folge der Partialsummen LaTeX: \left(s_n\right) einer anderen Folge LaTeX: \left(a_i\right):

Für eine beliebige Folge LaTeX: \left(a_i\right) ist die LaTeX: n-te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten LaTeX: n Glieder:

LaTeX: s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n = \sum_{i=0}^n a_i

Konvergenz

Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, konvergiert, so ist ihr Grenzwert die Summe oder der Wert der Reihe:

LaTeX: \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n a_i

Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge LaTeX: \sum_{n=1}^\infty |s_n| konvergiert.

Konvergente Reihen können gliedweise addiert, subtrahiert oder mit einem konstanten Faktor multipliziert werden. Absolut konvergierende Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.

Beispiele

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe ist die Reihe einer arithmetischen Folge. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes:

LaTeX: s_n = \sum_{i=0}^n(a_0 + i \cdot d)  = n \cdot \frac{a_0 + a_n}{2}

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Für eine konvergente geometrische Reihe mit LaTeX: |q|<1 und folglich LaTeX: \lim_{n \to \infty} q^{n+1}=0 ergibt sich dann:

LaTeX: s_n = \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Wobei sich die angegebene Formel für die n-te Partialsumme wie folgt herleiten lässt:

LaTeX: s_n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0 (1 + q + q^2 + \dotsb + q^n) |\cdot q
LaTeX: q s_n = a_0 (q + q^2 + q^3 + \dotsb + q^{n+1})

Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten und nachfolgender Division durch LaTeX: (1-q) ergibt sich:

LaTeX: s_n - q s_n = a_0 (1 - q^{n+1})
LaTeX: s_n (1-q) = a_0 (1 - q^{n+1}) \  |: (1-q)
LaTeX: s_n = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Für den Grenzwert, d.h. für die Summe LaTeX: S der unendlichen Reihe folgt daraus:

LaTeX: S = \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = \frac{a_0}{1-q}
Beispiel

So hat z.B. die Reihe LaTeX: s_n = \sum_{i=0}^{n} \frac1{2^n} = (1, 1 + \frac12, 1 + \frac12 + \frac14, 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18, \dots) = (1, \frac32, \frac74, \frac{15}8, \dots) mit LaTeX: a_0=1 und LaTeX: q=\frac12 den Grenzwert LaTeX: S = \lim_{n \to \infty} s_n = \frac1{1 - \frac12} = \frac1{\frac12} = 2

Potenzreihe

Eine Potenzreihe einer beliebigen Folge LaTeX: (a_n) mit dem Entwicklungspunkt LaTeX: x_0 hat die allgemeine Form

LaTeX: P(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n

Potenzreihen werden häufig dazu verwendet, um Funktionen, die nicht durch elementare mathematische Operationen berechnet werden können (z.B. die Sinusfunktion), durch Reihenentwicklung als unendliche Summe von Potenzen darzustellen, z.B. in Form einer Taylorreihe.

Ihr Konvergenzradius LaTeX: r > |x - x_0| kann mit der Definition LaTeX: \frac{1}{0}:= +\infty und LaTeX: \frac{1}{\infty}:= 0 nach der klassischen Formel von Cauchy-Hadamard berechnet werden:

LaTeX:  r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}

Oft ist auch eine einfachere Berechnung möglich, sofern der folgende Limes existiert:

LaTeX:  r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|

Siehe auch