Ring (Algebra)

Aus AnthroWiki
Wechseln zu: Navigation, Suche

Ein Ring ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge und zwei zweistelligen Verknüpfungen LaTeX: + und LaTeX: \cdot („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt:

  1. LaTeX: (R, +) ist eine abelsche Gruppe,
  2. LaTeX: (R, \cdot) ist eine Halbgruppe,
  3. die Distributivgesetze LaTeX:  a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c und LaTeX: (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c für alle LaTeX: a, b, c \in R sind erfüllt.

Das neutrale Element LaTeX: 0 von LaTeX: \left(R,+\right) heißt Nullelement des Rings LaTeX: R.

Verfügt die Halbgruppe LaTeX: (R,\cdot) über ein (beidseitiges) neutrales Element LaTeX: 1 (Einselement), spricht man von einem Ring mit Eins bzw. von einem unitären Ring

Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, d.h. LaTeX: a \cdot b = b \cdot a, andernfalls handelt es sich um einen nicht-kommutativen Ring. So ist etwa der Ring LaTeX: \mathbb Z der ganzen Zahlen ein kommutativer Ring. LaTeX: \mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C sind ebenfalls Ringe, darüber hinaus aber auch Körper.

Siehe auch