Spiegelung (Geometrie)

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Die Punktspiegelung entspricht einer Drehung um 180° umd das Zentrum Z.
Achsenspiegelung
Gleitspiegelung

Als Spiegelung werden in der Geometrie bestimmte Kongruenzabbildungen bezeichnet, zu denen Punktspiegelungen, Achsenspiegelungen und im Raum auch Ebenenspiegelungen gehören. In einem n-dimensionalen Raum sind ganz allgemein n Arten von Spiegelungen möglich, deren Fixelemente (Spiegelemente) 0,1, ... (n-1)-dimensionale Teilräume dieses Raumes sind.

Eine Gleitspiegelung oder Schubspiegelung entsteht durch Hintereinanderausführung einer Spiegelung und einer Parallelverschiebung. Eine Drehspiegelung setzt sich zusammen aus der Spiegelung an einer Ebene und einer Drehung um eine Drehachse, die diese Ebene im rechten Winkel schneidet.

Schrägspiegelungen, deren rechtwinkeliger Sonderfall die Achsenspiegelung ist, und Kreisspiegelungen sind hingegen keine Kongruenzabbildungen und zählen daher nicht zu den Spiegelungen im engeren Sinn.

Punktspiegelung

Eine Punktspiegelung oder Zentralspiegelung ist eine Spiegelung an einem Fixpunkt LaTeX: Z, der als 0-dimensionaler Teilraum des zu spiegelnden Raumes das Zentrum der Spiegelung bildet. Sie ordnet jedem Punkt LaTeX: P des Raumes bzw. der Ebene einen Bildpunkt LaTeX: P' zu, der auf der Verbindungsgeraden LaTeX: PZ liegt, wobei LaTeX: Z die Verbindungsstrecke LaTeX: \overline{PP'} genau halbiert. Eine geometrische Figur, die durch Spiegelung an einem Symmetriepunkt bzw. Symmetriezentrum auf sich selbst abgebildet wird, ist punktsymmetrisch, d.h. es liegt eine Punktsymmetrie bzw. Zentralsymmetrie vor.

Die Punktspiegelung entspricht einer zentrischen Streckung mit dem Streckungsfaktor m = -1 bzw. einer Drehung von 180° um das Drehzentrum LaTeX: Z. Weiters lässt sich jede Punktspiegelung durch zwei Achsenspiegelungen ersetzen, deren Achsen durch LaTeX: Z gehen und senkrecht zueinander stehen. Der Umlaufsinn des Dreiecks, also dessen Orientierung, bleibt bei der Zentralspiegelung (im Gegensatz zur Achsenspiegelung) erhalten.

Achsenspiegelung

Bei einer Achsenspiegelung oder Geradenspiegelung erfolgt die Spieglung an einer Fixpunktgeraden LaTeX: a, die die Spiegelachse bildet. Dabei wird jedem Punkt LaTeX: P des Raumes bzw. der Ebene ein Bildpunkt LaTeX: P' so zugeordnet, dass die Verbindungsgerade LaTeX: PP' im rechten Winkel zur Spiegelachse steht und von dieser genau halbiert wird. Alle Geraden, die im rechten Winkel zur Spiegelachse stehen, sind Fixgerade dieser Abbildung (aber keine Fixpunktgerade). Wie aus der Zeichnung rechts ersichtlich ist, wird durch die Achsenspiegelung die Orientierung des Dreiecks umgekehrt. Eine geometrische Figur, die durch eine Achsenspiegelung (bzw. durch eine Ebenenspiegelung) auf sich selbst abgebildet werden kann, ist spiegelsymmetrisch bzw. achsensymmetrisch, d.h. es liegt eine Spiegelsymmetrie bzw. Achsensymmetrie vor.

Jede Kongruenzabbildung kann durch die Hintereinanderausführung von maximal drei Achsenspiegelungen dargestellt werden[1][2] Bei einer ungeraden Anzahl von Achsenspiegelungen wird die Orientierung umgekehrt, bei einer geraden Anzahl bleibt sie erhalten.

Ebenenspiegelung

Im dreidimensionalen und höherdimensionalen Räumen ist auch eine Ebenenspiegelung möglich, deren Fixelement eine Ebene LaTeX: \alpha ist, die alle Fixpunkte dieser Abbildung enthält und daher eine Fixpunktebene ist. Gerade, die im rechten Winkel zur Spiegelebene stehen, sind Fixgerade, und Ebenen, die rechtwinkelig zur Spiegelebene stehen, entsprechend Fixebenen.

Siehe auch

Literatur

  • H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2
  • Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8
  • Louis Locher-Ernst: Urphänomene der Geometrie, Verlag am Goetheanum, Dornach 1980, ISBN 978-3723502334
  • Renatus Ziegler: Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner, Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455

Einzelnachweise

  1.  H. S. M. Coxeter: Unvergängliche Geometrie. Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1963, S. 60–61 (Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt).
  2. Friedrich Bachmann: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. 2. Auflage, Berlin; Göttingen; Heidelberg 1973 (Zusammenfassung: Zur Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. Mathematische Annalen, Bd. 123, 1951, S. 341ff)