Stetigkeit (Mathematik)

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Die obenstehende Funktion LaTeX: f weist eine Sprungstelle auf und ist daher unstetig.

Stetigkeit (Kontinuität) bedeutet in der Mathematik anschaulich gesprochen, dass eine Funktion keine „Sprünge“ macht, also der Funktionsgraph in einer kontinuierlichen Linie gezogen werden kann. Hinreichend kleine Änderungen des Arguments ziehen nach der Definition von Augustin-Louis Cauchy und Bernard Bolzano in diesem Fall beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich.

Definition

Nach der heute gebräuchlichen Definition von Karl Weierstraß ist eine Funktion LaTeX: f stetig in LaTeX: \xi, wenn zu jedem LaTeX: \varepsilon>0 ein LaTeX: \delta > 0 existiert, so dass für alle LaTeX: x \in X mit LaTeX: |x - \xi| < \delta gilt: LaTeX: |f(x) - f(\xi)| < \varepsilon .

Anschaulich bedeutet dies, dass zu jeder Änderung LaTeX: \varepsilon des Funktionswertes, die man zu akzeptieren bereit ist, eine maximale Änderung LaTeX: \delta im Argument gefunden werden kann, die diese Vorgabe sicherstellt. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so nennt man LaTeX: f unstetig in LaTeX: \xi.

Siehe auch