Schwan

Astronomie

Entfernungseinheiten

Astronomische Einheit................1 au..........= 149,6 * 10^6 km

Lichtjahr......................................1 Ly...........= 63240 au = 9,46 * 10^12 km

Parsec........................................1 pc...........= 3,26 Ly

Kiloparsec...................................1 kpc.........= 1000 pc = 3260 Ly

Megaparsec................................1 Mpc........= 1000 kpc = 3,26 * 10^6 Ly

Konstanten

Lichtgeschwindigkeit....................c...............= 2,99798 * 10^6 km / s

Gravitationskonstante.................G...............= 6,670 * 10^-11 m³ / (kg * s²)

Bolzmannkonstante.....................k................= 1,38 * 10^-23 Nm / K

Sonnenmasse.............................Ms.............= 1,989 * 10^30 Kg

Sonnenradius..............................Rs.............= 6,960 * 10^8 m

Erstes Keplersches Gesetz

Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Zweites Keplersches Gesetz

Die Verbindungslinie Sonne - Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).

Drites Keplersches Gesetz

Dei Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritte Potenz der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen.

Gegeben seien zwei Planeten mit den Umlaufzeiten und . Dann gilt:

A

wobei a die große Halbachse der Ellipse ist.

Es gilt:

B

Schreibt man die erste Gleichung in der Form:

C

und beachtet, dass die Ziffern 1 und 2 für beliebige Planeten stehen, so sieht man, dass für jeden einzelnen Planeten gilt:

D

wobei C demnach eine für das gesamte Planetensystem gültige Konstante sein muss.

Dabei ist

E

Drittes Keplersches Gesetz für das Sonnensystem

Eine Näheurngsformel für das 3. Keplersche Gesetz für das Sonnensystem lautet:

$C={\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G\cdot (M_{S}+M_{P})}{4\cdot \pi ^{2}}}$

$M_{S}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r^{3}}{G\cdot T^{2}}}$

$C=3,31\cdot 10^{18}\,{\frac {m^{3}}{s^{2}}}$

Gravitation

Gravitationsgesetz

Das Gravitationsgesetz lautet:

${\vec {F}}=G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}}$

Hubarbeit

Für die Hubarbeit im Gravitationsfeld ergibt sich:

$W_{H}=F_{G}\cdot h.$

Daraus folgt:

$W_{H}=G\cdot {\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\cdot h$

oder:

$W_{H}=m\cdot {\frac {G\cdot M}{r^{2}}}\cdot h$

oder:

$W_{H}=m\cdot g\cdot h.$

Potentielle Energie

Für die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld gilt:

$E_{\mathrm {pot} }=-G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{r}}$

mit:

• Gravitationskraft $F$
• Massen der sich anziehenden Körper: $m_{1}$ und $m_{2}$
• Abstand der sich anziehenden Körper: $r$
• Richtung zwischen den sich anziehenden Körpern: ${\vec {e}}_{r}$
• Gravitationskonstante: $G=(6{,}6742\pm 0{,}0010)\cdot 10^{-11}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}}$

Auf der Erde gilt:

Kraft = Masse · Erdbeschleunigung

$F=m\cdot g$

Die Erdbeschleunigung g hängt von der geografischen Breite und der Höhe über Meeresniveau ab und ist am Äquator ca. g = 9,780 m/s² und an den Polen ca. g = 9,832 m/s².

Erdbeschleunigung:

$g={\frac {G\cdot M}{r^{2}}}$

mit

• Erdmasse: $M=5{,}972\cdot 10^{24}\,\mathrm {kg}$
• Erdradius: $r=6371\,\mathrm {km}$
• Gravitationskonstante: $G=6{,}674\cdot 10^{-11}\,{\frac {\mathrm {m^{3}} }{\mathrm {kg\,s^{2}} }}$

Diese Formel liefert etwa 9,82 m/s².

Kosmische Geschwindigkeiten

1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit)

Die 1. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

$v_{K}={\sqrt {\frac {G\cdot M}{r}}}$

• $M$ = Masse des Zentralkörpers (Erde)
• $r$ = Bahnradius des Zentralkörpers (Erde)

$v_{K,Erde}=7,9\ {\frac {km}{s}}$

Herleitung:

Bei einer Kreisbewegung eines Probekörpers $m$ um eine Zentralmasse $M$ ist die Zentrifugalkraft $F_{Zf}$ gerade gleich der Gravitationskraft $F_{G}$.

Zentrifugalkraft $F_{Zf}$ = Gravitationskraft $F_{G}$.

Daraus folgt:

${\frac {v^{2}\cdot m}{r}}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}$.

Umstellen nach $v$ ergibt:

$v={\sqrt {\frac {G\cdot M}{r}}}$.

2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit)

Die 2. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

$v_{F}={\sqrt {\frac {\,2\cdot G\cdot M}{r}}}$

$v_{F,Erde}=11,2\ {\frac {km}{s}}$

Herleitung:

Bei der minimalen Fluchtgeschwindigkeit ist die kinetische Energie eines Probekörpers gerade gleich der Gravitationsenergie.

Kinetische Energie $E_{kin}$ = Gravitationsenergie $E_{G}$.

Daraus folgt:

${\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}=G\cdot {\frac {M\cdot m}{r}}$.

Umstellen nach $v$ ergibt:

$v={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M}{r}}}.$

Verschiedene Interpretationen des Newtonschen Gravitations-Bewegungs-Gesetzes (1. Kosmische Geschwindigkeit)

Verschiedene Interpretationen des Newtonschen Gravitations-Bewegungs-Gesetzes

Hier noch einmal das nach v umgeformte Gesetz:

$v={\sqrt {\frac {G\cdot M}{r}}}$.

Wovon hängt die Virialgeschwindigkeit nun ab? Die Virialgeschwindigkeit v hängt von zwei Variablen ab, nämlich M und r.

Beim Sonnensystem

Beim Sonnensystem ist die Masse M konstant und hängt nicht vom Radius ab. Die Virialgeschwindigkeit v hängt dann nur vom Radius r ab. Die Virialgeschwindigkeit ist proportional .

proportional .

Bei der Milchstraße

Bei der Milchstraße hingegen ist die Masse M "nicht" konstant; sie hängt sowohl von der Virialgeschwindigkeit v ab, als auch vom Radius r. Da die Virialgeschwindigkeit in Spiralgalaxien aber konstant ist (v = konstant) ist die Virialmasse M(r) proportional r.

M(r) proportional r.

M(r) proportional r.

Masse der Sonne berechnen

Die Virialmasse (M) der Sonne berechnet sich mit dem Newtonschen Gravitations-Bewegungs-Gesetz, und zwar wie folgt:

mit:

und für den Kreisumfang:

Daraus folgt:

oder:

Erkennt Ihr das 3. Keplersche Gesetz darin? Wir scheinen es also richtig gemacht zu haben. Wenn wir nun r durch die große Halbachse der Ellipse ersetzen, erhalten wir:

Das 3. Keplersche Gesetz (Näherung)

Und nun erhalten wir eine Näherung für das 3. Keplersche Gesetz:

Das 3. Keplersche Gesetz für das Sonnensystem

Das 3. Keplersche Gesetz sieht dann für das Sonnensystem ganz genau "so" aus:

Vielleicht wäre es besser gewesen, Kepler hätte den (mittleren) Bahnradius wie folgt bestimmt: die große Halbachse a und die kleine Halbachse b addieren und die Summe durch 2 teilen. Man müsste sich mal überlegen, ob man das nicht korrigiert... Also, mittlerer Bahnradius r(mittel) = (a + b) / 2 = (a + ae) / 2

Dabei ist:

Größter Radius: a + b = a + ae

Kleinster Radius: a - b = a - ae

Literaturhinweis:

- H.R. Henkel: Astronomie - Ein Grundkurs für Schulen, Volkshochschulen und zum Selbststudium

Diese Gleichung soll nun auf zwei Massen M1 und M2 angewendet werden. Es gelten:

und:

Diese beiden Gleichungen lassen sich nun "so" umformen:

Diese Gleichung gestattet es, die Masse eines der beteiligten Körper zu bestimmen, falls die übrigen Daten bekannt sind.

Hubarbeit

Bestimmen wir die Hubarbeit, wenn ein Gewicht von 2 kg 15 m angehoben wird.

Außerdem gilt:

oder:

Daraus folgt:

Exkurs: Zur Geometrie der Ellipse

Man sehe sich zunächst das angehängte Schaubild an...

Astronomisch messen wir genau zwei Werte, den Aphel und den Perihel... Diese werden rein empirisch bestimmt, als durch genaue Messung. folgende Überlegung:

Aphel = a + ae

Perihel = e (so will ich diese Strecke einmal nennen.... Bisher wurde ae immer e genannt... Ich halte das für ungünstig)

These: Der mittlere Radius ist nun gleich der großen Halbachse a.

Beweis 1:

Der Mittlere Radius = (Aphel + Perihel) / 2 = (a + ae + e) / 2 = a, denn ae + e = a... q.e.d.

Beweis 2:

r + r' = konstant, denn so ist die Ellipse definiert...

r + r' = a + ae + e für den Fall, dass gerade der Aphel oder der Perihel erreicht ist...

Daraus folgt, dass = a, denn ae + e = a... q.e.d.

Wir haben also nun drei Parameter genau bestimmt, den Aphel, den Perihel und den mittleren Radius . Letzterer entspricht genau der großen Halbachse a. Wir sind also insgesamt ganz ohne die kleine Halbachse b ausgekommen, und können trotzdem alle Berechnungen durchführen...

Der Fehler, der oft gemacht wird, ist anzunehmen, dass die große Halbachse a der Aphel sei... Das ist aber nicht der Fall... Ich selbst habe diesen Fehler auch lange gemacht...

Die Bahngeschwindigkeit v(r) auf der Ellipse

Für die jeweilige Bahngeschwindigkeit v(r) von Masse M2 auf einer elliptischen Bahn um die Masse M1 ergibt sich:

Noch genauer:

Die Gesamtenergie eines Planeten

Die Gesamtenergie eines Planeten bestimmt sich als:

mit:

und:

Ohne dass wir dies beweisen, sei folgender wichtige Satz genannt:

In jedem Punkt der Bahn eines Planeten ist die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant:

Und ohne dass wir es jetzt ausführlich herleiten, denn die Herleitungen ist doch recht kompliziert, erhalten wir:

Außerdem:

Es ergibt sich:

Durch Auflösen nach der Bahngeschwindigkeit des Planeten der Masse . die die Zentralmasse auf einer elliptischen Bahn umläuft, erhalten wir:

Eine noch allgemeinere Herleitung führt auf:

Und eben das war das gesuchte Ergebnis aus Beitrag 12...

Druck und Temperatur im Inneren der Sonne

Bezeichnen wir mit die Zahl der Teilchen pro Kilomol , mit die Temperatur, mit das Volumen und mit den Druck, so gilt für ideale Gase:

wobei k die Bolzmannkonstante ist:

Für einen stabilen Zustand im Stern muss an jeder Stelle gelten:

bzw.

Zur Abschätzung des Drucks im Sonneninneren zerlegen wir die Sonne in zwei Habkugeln. Beide Halbkugeln üben Gravitationskräfte aufeinander aus. Zur Vereinfachung nehmen wir an, die Dichte der Sonne von gelte überall, d.h. die Sonne würde eine homogene Dichte besitzen. Der Masseschwerpunkt jeder Halbkugel hat vom Sonnenzentrum eine Entfernung von . Nun können wir die gegenseitige Gravitationskraft der beiden Halbkugeln berechnen:

Diese Kraft übt nun auf jede der beiden Schnittflächen einen Druck aus, der sich auch als mittlerer Druck im Sonneninneren interpretieren lässt:

Nachdem wir den mittleren Druck im Inneren der Sonne zu rund abgeschätzt haben, können wir die mittlere Sonnentemperatur bestimmen:

oder:

mit:

oder:

Nach Einsetzen erhalten wir:

mit:

Dann ergibt sich:

Flächendichten von Spiralgalaxien

Für die Gesamtmasse von Spiralgalaxien ergibt sich bekanntlich:

Dabei ist das gemessene ... hängt also nur vom Radius ab...

Für die Kreisfläche ergibt sich:

Damit sollten wir das Problem lösen können:

Ich kann es spaßeshalber auch geometrisch herleiten, und nicht nur differentialrechnerisch:

Die Masse der Sonne berechnen

$M_{S}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r^{3}}{G\cdot T^{2}}}$

Die Bahngeschwindigkeit v(r) auf der Ellipse

Für die jeweilige Bahngeschwindigketi $v(r)$ einer Masse $M_{2}$ auf einer elliptischen Bahn um die Masse $M_{1}$ ergibt sich:

$v(r)={\sqrt {\,2\cdot G\cdot M_{1}\cdot \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2\cdot a}}\right)}}$

oder noch etwas genauer:

$v(r)={\sqrt {\,2\cdot G\cdot (M_{1}+M_{2})\cdot \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2\cdot a}}\right)}}$

Die Gesamtenergie

$v(r)={\sqrt {2\cdot G\cdot M_{1}\cdot \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2\cdot a}}\right)}}$

oder noch etwas genauer:

$v(r)={\sqrt {2\cdot G\cdot (M_{1}+M_{2})\cdot \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2\cdot a}}\right)}}$

Radius R eines Himmelskörpers

Der Radius $R$ eines Himmelskörpers lässt sich wie folgt bestimmen:

$R=r\cdot sin\ 0,5\ d'$

Mittlere Dichte eines kugelförmigen Himmelskörpers

Die mittlere Dichte ${\overline {\rho }}$ eines Himmelskörpers bestimmt sich wie folgt:

${\overline {\rho }}={\frac {m}{v}}={\frac {6\cdot m}{\pi \cdot D^{3}}}$

Leuchtkraft L der Sonne

Die Leuchtkraft $L$ der Sonne bestimmt sich wie folgt:

$L=4\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot S$

Leuchtkraft L eines Sterns

Die Leuchtkraft $L$ eines Sterns bestimmt sich wie folgt:

$L={\frac {E}{t}}$

Scheinbare Helligkeit eines Sterns

Für die Lichtstärke $I_{v}$ gilt:

Die scheinbare Helligkeit eines Sterns bestimmt sich wei folgt:

$m_{1}-m_{2}=-2,5\ lg\cdot {\frac {\Phi _{V,1}}{\Phi _{V,2}}}$

$I_{v}={\frac {d\Phi _{v}}{d\Omega }}$

oder vereinfacht:

• $\Phi _{V}$ = Lichtstrom

• $m_{2}$ = Bezugshelligkeit

$I_{v}={\frac {\Phi _{v}}{\Omega }}$

oder:

Zwei Sterne mögen die "scheinbare Helligkeit" $m_{1}$ und $m_{2}$ besitzen und ihre Strahlung im Empfänger die Beleuchtungsstärken $B_{1}$ und $B_{2}$ erzeugen. Dann gilt für das Verhältnis de rBeleuchtungsstärken:

${\frac {B_{1}}{B_{2}}}=2,512^{m_{2}-m_{1}}.$

$I_{v}\cdot \Omega =\Phi _{v}$

mit:

Somit entspricht der physikalsichem Größe "Beleuchtungsstärke" im astronomischen Sprachgebrauch die "scheinbare Helligkeit"

• $I_{v}$ = Lichtstärke in Candela (cd)

Entfernungsmodul

Das Entfernungsmodul bestimmt sich wie folgt:

$m-M=5\ lgr-5$

$m-M=5\cdot lg\cdot r-5$

• $M$ = absolute Helligkeit

• $m$ = scheinbare Helligkeit

• $r$ = entfernung des Sterns

Kosmologie

Der Hubble-Parameter

für den Hubble-Parameter ergibt sich:

$H={\frac {v}{r}}$

Für H wird heute zumeist 70 km / (s Mpc) angenommen. Es handelt sich bei der Größe H allerdings nur um einen Parameter, der von v und von r abhängt... Außerdem muss berücksichtigt werden, dass das Weltall in der Vergangenheit noch nicht so weit ausgebreitet war... Dadurch werden die Radien aber kleiner, so dass der Hubbelparameter für große Entfernungen, also in der Vergangenheit, eigentlich größer werden müsste... Tut er aber nicht... H bleibt bei ziemlich einheitlichen 70 km / (s Mpc)... Das könnte den Effekt der Beschleunigung der Expansion um ein Vielfaches vergrößern...

Berechnung des Weltradius

Der tatsächliche Weltradius ergibt sich wie folgt:

$R={\frac {c}{H}}$

Berechnung des Weltalters

Das Weltalter erhalten wir durch Umkehrung des Hubble-Parameters:

$T={\frac {1}{H}}$

Rotverschiebung z

Die Rotverschiebung $z$ bestimmt sich wie folgt:

$z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}$

• $\lambda _{0}$ = Bezugswellenlänge

Zusammenhang zwischen Rotverschiebung z und Fluchtgeschwindigkeit v

Es besteht der folgende Zusammenhang zwischen der Rotverschiebung $z$ und der Fluchtgeschwindigkeit $v$

$z={\frac {c+v}{c-v}}$

• $c$ = Lichtgeschwindigkeit

Absolute Helligkeit und Entfernungsmodul

Das Entfernungsmodul bestimmt sich wie folgt:

• $\lambda _{0}$ = Bezugswellenlänge

Linienverschiebung durch Dopplereffekt (nicht-relativistisch):

$z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}={\frac {v}{c}}$

Linienverschiebung durch Dopplereffekt (relativistisch):

$z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}={\frac {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}{1+v/c}}-1$

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

$\alpha \approx {\frac {4\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}=2\cdot {\frac {r_{S}}{r}}$

Ereignishorizont

→ Hauptartikel: Ereignishorizont

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

$r_{S}={\frac {2\cdot G\cdot M}{c^{2}}}$

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

$r_{G}={\frac {r_{S}}{2}}={\frac {G\cdot M}{c^{2}}}$

Friedmanngleichungen

Die erste Friedmann-Gleichung lautet mit kosmologischer Konstante:

$H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\ +{\frac {\Lambda c^{2}}{3}},$

Die zweite Friedmann-Gleichung (Beschleunigungsgleichung) lautet: oder:

${\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}\left(\rho c^{2}+3p\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}\,.$

Für H wird heute zumeist 70 km / (s Mpc) angenommen. Es handelt sich bei der Größe H allerdings nur um einen Parameter, der von v und von r abhängt... Außerdem muss berücksichtigt werden, dass das Weltall in der Vergangenheit noch nicht so weit ausgebreitet war... Dadurch werden die Radien aber kleiner, so dass der Hubbelparameter für große Entfernungen, also in der Vergangenheit, eigentlich größer werden müsste... Tut er aber nicht... H bleibt bei ziemlich einheitlichen 70 km / (s Mpc)... Das könnte den Effekt der Beschleunigung der Expansion um ein Vielfaches vergrößern...

Anhang

Literaturhinweise

Astronomie und Kosmologie 1

Hier einmall eine Liste von Werken, die sich für ein mehr oder weniger intensives Studium der Astronomie anbieten:

• Baker/Hardy: Der Kosmos-Sternführer - Planeten, Sterne, Galaxien (Das Werk ist für den allerersten Einstig gedacht und für Kinder und Jugendliche bestens geeignet)

• Joachim Ekrutt: Sterne und Planeten - Bestimmen, Kennenlernen, Erleben

• H.R. Henkel: Astronomie - Ein Grundkurs für Schulen, Volkshochschulen und zum Selbststudium (Ein tolles Buch. Leider nicht merh erhältlich. Man besorge es sich in der Fernleihe. Das gilt auch für das folgende Werk)

• James Cornwell (Hrsg.): Die neue Kosmologie - Von Dunkelmateire, GUT's und Superhaufen (Das Werk stand ganz auf der Höhe dessen, was ich einmal die Nahrstelle zur neuen Kosmologie nennen möchte. Es vereinigt tatsächliche Vorträge der damals führenden Wissenschaftler im Bereich der Kosmologie, wie Vera Rubin und Alan Guth u.a.)

• Steven Weinberg: Die ersten drei Minuten - Der Ursprung des Universums (Das war einmal "das" Standardwerk schlechthin. Es enthält einen auch heute noch lesenswerten historischen Abriss zur Entwicklung der Kosmologie im 20. Jahrhundert)

• Rudolf Kippenhahn: Licht vom Rande der Welt - Das Universum und sein Anfang (Eine wirklich erbauliche Lektüre)

• Hans Joachim Störig: Knaurs moderne Astronomie (Störig hat sich nicht nur für Philosophie interessiert, sondern auch für Astronomie)

• Humboldt-Astronomie-Lexikon

• Helmut Zimmermann, Alfred Weigert: Lexikon der Astronomie

• Joachim Herrmann: dtv-Atlas Astronomie

• Timothy Ferris: Galaxien (Eine Photosammlung der ersten Bilder des Weltraumteleskops Hubble. Das waren damals nie gesehne Aufnahmen von unglaublicher Qualität. Ein Muss für jeden am Thema nteressierte, und ein "Traum" dazu)

• Alan Guth: Die Geburt des Kosmos aus dem Nichts - Die Theorie des inflationären Universums (Das ist einfach das Standard-Werk zum inflationären Weltall. Es ist allerdinga auch nicht ganz leicht zu verstehen, auch wenn es ohne Formeln auskommt)

• Adalbert W. A. Pauldrach: Dunkle kosmische Energie - Das Rätsel der beschleunigten Expansion des Univerums (Ein gutes Buch)

Astronomie und Kosmologie 2

Hier einmal die vier Standardwerke zum Thema Astronomie und Kosmologie, wie sie auch im Studium verwendet werden:

• De Boer, Fürst: Astronomie (Das Werk ist zwar schon etwas älter)

• Alfred Weigert, Heinrich J. Wendker: Astronomie und Astrophysik - Ein Grundkurs

• Albrecht Unsöld, Bodo Baschek: Der neue Kosmos

• Peter Schneiter: Einführung in die Extragalaktische Astronomie und Kosmologie

Weblinks

• Formelsammlung Astronomie - Wikibooks Weblink
• Formelsammlung Astronomie - Formel-Sammlung.de Weblink
• Formelsammlung Astronomie - Formel-Sammlung.de Weblink
• Formelsammlung Astronomie - von Joachim Stiller PDF

Quelle

Diese Formelsammlung basiert einzig auf den Arbeiten von Joachim Stiller und ist uhrheberrechtsfrei.