Taylorreihe

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Eine Taylorreihe, benannt nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor (1685-1731), ist eine Potenzreihe, die verwendet wird, um eine glatte Funktion , die nicht durch elementare mathematische Operationen (→ Grundrechenarten) berechnet werden kann (z.B. Exponentialfunktionen, Logarithmen, Trigonometrische Funktionen), als unendliche Summe von Potenzen darzustellen. Die Reihenentwicklung an der Entwicklungsstelle bezeichnet man als Taylor-Entwicklung der Funktion. Für den Spezialfall wird die Taylorreihe auch Maclaurinsche Reihe oder Maclaurin-Reihe genannt.

Definition

Innerhalb eines offenen Intervalls sei eine Funktion und eine Entwicklungsstelle gegeben. Die Funktion kann dann an der Entwicklungsstelle wie folgt in eine Taylorreihe entwickelt werden:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle f^{(n)} bedeutet dabei die -te Ableitung der Funktion und die Fakultät von .