Operator (Mathematik): Unterschied zwischen den Versionen

Aus AnthroWiki
imported>Joachim Stiller
Keine Bearbeitungszusammenfassung
imported>Odyssee
 
(13 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
Ein '''Operator''' (von [[lat.]] ''operatio'' „Arbeit, Verrichtung, Betätigung“) ist eine [[Kalkül|mathematische Vorschrift]], d.h. eine exakt [[Definition|definierte]] [[Handlung]]sanweisung, die auf ein oder mehrere [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]], die '''Operanden''', angewendet wird und durch diese mathematische [[Operation (Mathematik)|Operation]] ein neues mathematisches Objekt erzeugt. Am bekanntesten sind die Operatoren für die vier [[Grundrechenarten]] zusammen mit dem '''Gleichheitsoperator''':
Ein '''Operator''' (von [[lat.]] ''operatio'' „Arbeit, Verrichtung, Betätigung“) ist eine [[Kalkül|mathematische Vorschrift]] für eine '''Rechenoperation''', d.h. eine exakt [[Definition|definierte]] [[Handlung]]sanweisung, die auf ein oder mehrere [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]], die '''Operanden''', angewendet wird und durch diese mathematische [[Operation (Mathematik)|Operation]] ein neues mathematisches Objekt erzeugt. Am bekanntesten sind die Operatoren für die vier [[Grundrechenarten]] zusammen mit dem '''Gleichheitsoperator''':


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
Zeile 9: Zeile 9:
| <math>-</math> || Subtraktion || <math>5 - 3 = 5 + (-1 \cdot 3) = 2</math>
| <math>-</math> || Subtraktion || <math>5 - 3 = 5 + (-1 \cdot 3) = 2</math>
|-
|-
| <math>\cdot \quad \times</math> || Multiplikation || <math>2 \cdot 3 = 2 \times 3 = 6</math>
| <math>\cdot \quad \times</math> || Multiplikation || <math>2 \cdot 3 = 2 \times 3 = 6 </math>
|-
|-
| <math>: \quad \div</math> || Division || <math>6 : 3 = 6 \div 3 = 2</math>
| <math>: \quad \div</math> || Division || <math>6 : 3 = 6 \div 3 = 2</math>
Zeile 15: Zeile 15:
| <math>=</math> || Gleichheit || <math>6 = 8 - 2</math>
| <math>=</math> || Gleichheit || <math>6 = 8 - 2</math>
|}
|}
== Linearer Operator ==
Ein '''linearer Operator''' ist eine homogene und additive [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] <math>T</math>, die einen reellen oder komplexen [[Vektorraum]] <math>X</math> derart auf einen Vektorraum <math>Y</math> abbildet, sodass für alle <math>x, y \in X </math> und <math>\lambda \in \mathbb R</math> (bzw. <math>\lambda \in \mathbb C</math>) gilt:
{| width="300px" style="margin-left:20px;"
|-
| <math>T (\lambda x) = \lambda T(x)</math> || Homogenität
|-
| <math>T (x + y) = T(x) + T(y)</math> || Additivität
|}
== Differentialoperator ==
Ein '''Differentialoperator''' ordnet einer gegebenen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] eine Funktion zu, die deren [[Ableitungsfunktion|Ableitung]] nach einer oder mehreren [[Variable]]n enthält. Handelt es sich dabei um einen linearen Operator, so liegt ein '''linearer Differentialoperator''' vor. Im Fall einer [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitung]] spricht man von einem '''partiellen Differentialoperator'''.
Das einfachste und wichtigste Beispiel ist die gewöhnliche Ableitung nach einer Variablen:
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\colon f \mapsto \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f= \frac{\mathrm d f}{\mathrm d x} = f'</math>
Weitere, für die [[Vektoranalysis]] wichtige Beispiele sind die Operatoren [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] (grad), [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] (div) und [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] (rot), die mittels des '''Nabla-Operators''' <math>\nabla</math> (auch <math>\vec{\nabla}</math>, um den vektoriellen Charakter zu betonen) formuliert werden. Formal handelt es sich dabei um einen [[Vektor]], dessen Komponenten die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungsoperatoren]] <math>\textstyle\frac\partial{\partial x_i}</math> sind:
:<math>\vec{\nabla} = \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x_1} \\ \frac{\partial}{\partial x_2} \\ \frac{\partial}{\partial x_3}\end{pmatrix} </math>
== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Operator (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Operator (Mathematik)}}


[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]
[[Kategorie:Mathematik]]

Aktuelle Version vom 17. Februar 2020, 14:29 Uhr

Ein Operator (von lat. operatio „Arbeit, Verrichtung, Betätigung“) ist eine mathematische Vorschrift für eine Rechenoperation, d.h. eine exakt definierte Handlungsanweisung, die auf ein oder mehrere mathematische Objekte, die Operanden, angewendet wird und durch diese mathematische Operation ein neues mathematisches Objekt erzeugt. Am bekanntesten sind die Operatoren für die vier Grundrechenarten zusammen mit dem Gleichheitsoperator:

Operator Funktion Beispiel
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Gleichheit

Linearer Operator

Ein linearer Operator ist eine homogene und additive Abbildung , die einen reellen oder komplexen Vektorraum derart auf einen Vektorraum abbildet, sodass für alle und (bzw. ) gilt:

Homogenität
Additivität

Differentialoperator

Ein Differentialoperator ordnet einer gegebenen Funktion eine Funktion zu, die deren Ableitung nach einer oder mehreren Variablen enthält. Handelt es sich dabei um einen linearen Operator, so liegt ein linearer Differentialoperator vor. Im Fall einer partiellen Ableitung spricht man von einem partiellen Differentialoperator.

Das einfachste und wichtigste Beispiel ist die gewöhnliche Ableitung nach einer Variablen:

Weitere, für die Vektoranalysis wichtige Beispiele sind die Operatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot), die mittels des Nabla-Operators (auch , um den vektoriellen Charakter zu betonen) formuliert werden. Formal handelt es sich dabei um einen Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren sind:

Siehe auch