Reihe (Mathematik) und Scutoid: Unterschied zwischen den Seiten

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Eine unendliche '''Reihe''' ist [[Mathematik|mathematisch]] definiert als [[Folge (Mathematik)|Folge]] der '''Partialsummen''' <math>\left(s_n\right)</math> einer anderen Folge <math>\left(a_i\right)</math>:
[[Datei:Prism, frustum, prismatoid and scutoid.svg|mini|Ein Skutoid im Vergleich zu einem Prisma, Pyramidenstumpf und Prismatoid.]]
[[Datei:Scutoide1.jpg|mini|left|2 Scutoide mit gekrümmten Seitenkanten]]
[[Datei:Scutoide2.jpg|mini|left|2 dicht gepackte Scutoide]]
Ein '''Scutoid''' ist ein erstmals 2018 beschriebener geometrischer Körper zwischen zwei parallelen polygonen Flächen mit unterschiedlicher Eckenanzahl (z.B. [[Fünfeck]] und [[Sechseck]]). Die Eckpunkte sind entweder durch eine [[Kurve]] oder Y-förmig verbunden. Scutoide sind daher nicht notwendigerweise konvex und die Seitenflächen auch nicht notwendigerweise planar, wodurch die Scutoide sehr dicht zusammengepackt werden können<ref>[https://derstandard.at/2000085538296/Forscher-finden-neue-geometrische-Form-das-Scutoid Forscher finden neue geometrische Form: das Scutoid], [https://derstandard.at derStandard.at], 18. August 2018</ref><ref>{{Literatur |Autor=Pedro Gómez-Gálvez, Pablo Vicente-Munuera, Antonio Tagua, Cristina Forja, Ana M. Castro |Titel=Scutoids are a geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia |Sammelwerk=Nature Communications |Band=9 |Nummer=1 |Datum=2018-07-27 |ISSN=2041-1723 |DOI=10.1038/s41467-018-05376-1 |Online=https://www.nature.com/articles/s41467-018-05376-1.epdf |Abruf=2018-08-03}}</ref><ref>{{Literatur |Titel=We Are All Scutoids: A Brand-New Shape, Explained |Sammelwerk=The New Yorker |Online=https://www.newyorker.com/elements/lab-notes/we-are-all-scutoids-a-brand-new-shape-explained |Abruf=2018-08-03}}</ref>.


Für eine beliebige Folge <math>\left(a_i\right)</math> ist die <math>n</math>-te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten <math>n</math> Glieder:
== Entdeckung ==
[[Datei:Heteroptera morphology-d.svg|mini|26: [[Wikipedia:Scutellum (Insekten)|Scutellum]] auf Heteroptera]]
Das Objekt wurde erstmals in Nature Communications beschrieben und am 27. Juli 2018 veröffentlicht.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.eurekalert.org/pub_releases/2018-07/uos-eca072618.php |titel=Epithelial cells adopt a new geometric shape so that tissue can curve |zugriff=2018-08-03 |sprache=en}}</ref> Der Name Scutoid wurde wegen seiner Ähnlichkeit mit der Form von Scutum und Scutellum bei einigen Insekten, wie z.&nbsp;B. Käfern in der Unterfamilie [[Wikipedia:Cetoniidae|Cetoniidae]], geprägt.


:<math>s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n = \sum_{i=0}^n a_i</math>
Die Entdeckung von Luis Escudero an der [[Wikipedia:Universität Sevilla|Universität Sevilla]] kam nicht völlig überraschend, da man von der konkreten biologischen Frage nach der Form von [[Epithel]]zellen ausgegangen war und wie sich diese möglichst dicht zu gekrümmten Flächen zusammenpacken lassen. Naheliegend war es an einen sich vergüngenden [[Pyramide]]nstupf zu denken, doch Computersimulationen zeigten, dass in manchen Fällen eine komplexere Form zielführender ist. Besonders dichte gekrümmte Zellschichten lassen sich erzielen, wenn die eine Deckfläche des Körperes ein Sechseck ist und die andere ein Fünfeck. Möglich wird das durch eine eingesetzte [[dreieck]]ige Fläche an einer der Verbindungskanten. Trotz der Computermodelle bekam Escudero erst eine rechte [[Vorstellung]] von diesem neuen geometrischen Körper, nachdem er sie in [[Ton (Bodenart)|Ton]] modelliert hatte.


== Konvergenz ==
Clara Grima erklärte, dass die Form während der Arbeit an dem Projekt provisorisch nach dem Biologiegruppenleiter Luis M. Escudero als Escutoid bezeichnet wurde.<ref>{{Internetquelle |autor=standupmaths |url=https://www.youtube.com/watch?v=2_NZ1ql8B8Y |titel=THE SCUTOID: did scientists discover a new shape? |datum=2018-08-03 |zugriff=2018-08-03}}</ref>
Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, [[Konvergenz|konvergiert]], so ist ihr [[Grenzwert]] die ''Summe'' oder der ''Wert'' der Reihe:


:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n a_i</math>
== Einzelnachweise ==
<references />


Eine Reihe ist genau dann '''absolut konvergent''', wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge <math>\sum_{n=1}^\infty |s_n|</math> konvergiert.
[[Kategorie:Geometrie]]
 
''Konvergente'' Reihen können gliedweise [[Addition|addiert]], [[Subtraktion|subtrahiert]] oder mit einem [[konstante]]n Faktor [[Multiplikation|multipliziert]] werden. ''Absolut konvergierende'' Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.
 
== Beispiele ==
 
=== Arithmetische Reihe ===
 
Eine '''arithmetische Reihe''' ist die Reihe einer [[Arithmetische Folge|arithmetischen Folge]]. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] des ersten und des letzten Gliedes:
 
:<math>s_n = \sum_{i=0}^n(a_0 + i \cdot d)  = n \cdot \frac{a_0 + a_n}{2}</math>
 
=== Geometrische Reihe ===
 
Eine '''geometrische Reihe''' ist die Reihe einer [[Geometrische Folge|geometrischen Folge]]. Für eine [[Konvergenz|konvergente]] geometrische Reihe mit <math>|q|<1</math> und folglich <math>\lim_{n \to \infty} q^{n+1}=0</math> ergibt sich dann:
 
:<math>s_n = \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>
 
Die Formel für die n-te Partialsumme lässt sich wie folgt herleiten:
 
:<math>s_n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0 (1 + q + q^2 + \dotsb + q^n) |\cdot q</math>
 
:<math>q s_n = a_0 (q + q^2 + q^3 + \dotsb + q^{n+1})</math>
 
Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten und nachfolgender Division durch <math>(1-q)</math> ergibt sich:
 
:<math>s_n - q s_n = a_0 (1 - q^{n+1})</math>
 
:<math>s_n (1-q) = a_0 (1 - q^{n+1}) \  |: (1-q) </math>
 
:<math>s_n = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>
 
Für den Grenzwert der Reihe folgt daraus:
 
:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = \frac{a_0}{1-q}</math>
 
So hat z.B. die Reihe <math>s_n = \sum_{i=0}^{n} \frac1{2^n} = (1, 1 + \frac12, 1 + \frac12 + \frac14, 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18, \dots) = (1, \frac32, \frac74, \frac{15}8, \dots) =</math> mit <math>a_0=1</math> und <math>q=\frac12</math> den Grenzwert <math>\lim_{n \to \infty} s_n = \frac1{1 - \frac12} = \frac1{\frac12} = 2</math>
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Reihe (Mathematik)}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 18. August 2018, 19:44 Uhr

Ein Skutoid im Vergleich zu einem Prisma, Pyramidenstumpf und Prismatoid.
2 Scutoide mit gekrümmten Seitenkanten
2 dicht gepackte Scutoide

Ein Scutoid ist ein erstmals 2018 beschriebener geometrischer Körper zwischen zwei parallelen polygonen Flächen mit unterschiedlicher Eckenanzahl (z.B. Fünfeck und Sechseck). Die Eckpunkte sind entweder durch eine Kurve oder Y-förmig verbunden. Scutoide sind daher nicht notwendigerweise konvex und die Seitenflächen auch nicht notwendigerweise planar, wodurch die Scutoide sehr dicht zusammengepackt werden können[1][2][3].

Entdeckung

26: Scutellum auf Heteroptera

Das Objekt wurde erstmals in Nature Communications beschrieben und am 27. Juli 2018 veröffentlicht.[4] Der Name Scutoid wurde wegen seiner Ähnlichkeit mit der Form von Scutum und Scutellum bei einigen Insekten, wie z. B. Käfern in der Unterfamilie Cetoniidae, geprägt.

Die Entdeckung von Luis Escudero an der Universität Sevilla kam nicht völlig überraschend, da man von der konkreten biologischen Frage nach der Form von Epithelzellen ausgegangen war und wie sich diese möglichst dicht zu gekrümmten Flächen zusammenpacken lassen. Naheliegend war es an einen sich vergüngenden Pyramidenstupf zu denken, doch Computersimulationen zeigten, dass in manchen Fällen eine komplexere Form zielführender ist. Besonders dichte gekrümmte Zellschichten lassen sich erzielen, wenn die eine Deckfläche des Körperes ein Sechseck ist und die andere ein Fünfeck. Möglich wird das durch eine eingesetzte dreieckige Fläche an einer der Verbindungskanten. Trotz der Computermodelle bekam Escudero erst eine rechte Vorstellung von diesem neuen geometrischen Körper, nachdem er sie in Ton modelliert hatte.

Clara Grima erklärte, dass die Form während der Arbeit an dem Projekt provisorisch nach dem Biologiegruppenleiter Luis M. Escudero als Escutoid bezeichnet wurde.[5]

Einzelnachweise

  1. Forscher finden neue geometrische Form: das Scutoid, derStandard.at, 18. August 2018
  2.  Pedro Gómez-Gálvez, Pablo Vicente-Munuera, Antonio Tagua, Cristina Forja, Ana M. Castro: Scutoids are a geometrical solution to three-dimensional packing of epithelia. In: Nature Communications. 9, Nr. 1, 27. Juli 2018, ISSN 2041-1723, doi:10.1038/s41467-018-05376-1 (https://www.nature.com/articles/s41467-018-05376-1.epdf).
  3.  We Are All Scutoids: A Brand-New Shape, Explained. In: The New Yorker. (https://www.newyorker.com/elements/lab-notes/we-are-all-scutoids-a-brand-new-shape-explained).
  4. Epithelial cells adopt a new geometric shape so that tissue can curve. Abgerufen am 3. August 2018 (english).
  5. standupmaths: THE SCUTOID: did scientists discover a new shape? 3. August 2018, abgerufen am 3. August 2018.