Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen und Kategorie:Anthroposophischer Unternehmer: Unterschied zwischen den Seiten

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Diese '''Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen''' ([[Integraltafel]]) gibt eine Übersicht über [[Differentialrechnung|Ableitung]]sfunktionen und [[Stammfunktion]]en, die in der [[Differentialrechnung|Differential-]] und [[Integralrechnung]] benötigt werden.
{{Vorlage:Seitenkategorien}}
 
[[Kategorie:Anthroposophischer Unternehmer|!]]
==Tabelle einfacher Ableitungs- und Stammfunktionen (Grundintegrale)==
[[Kategorie:Anthroposoph]]
 
[[Kategorie:Unternehmer]]
Diese Tabelle ist zweispaltig aufgebaut. In der linken Spalte steht eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], in der rechten Spalte eine Stammfunktion dieser Funktion. Die Funktion in der linken Spalte ist somit die [[Differentialrechnung|Ableitung]] der Funktion in der rechten Spalte.
 
''Hinweise'':
* Wenn <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist und <math>C</math> eine beliebige reelle Zahl (Konstante), dann ist auch <math>F(x) + C</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>. Zum Beispiel ist auch <math>F(x) = \tfrac12 x^2+5</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)=x</math>. Ist der Definitionsbereich von <math>f</math> ein Intervall, so erhält man auf diese Art alle Stammfunktionen. Besteht der Definitionsbereich von <math>f</math> aus mehreren Intervallen, so kann die additive Konstante auf jedem der Intervalle getrennt gewählt werden. Die additive Konstante <math>C</math> wird aus Gründen der Übersichtlichkeit in der Tabelle nicht aufgeführt.
* Weiterhin gilt: Falls <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, so ist aufgrund der [[Linearität]] des Integrals <math>a\cdot F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>a\cdot f(x)</math>.
* Ebenso gilt: Sind <math>F(x)</math> und <math>G(x)</math> Stammfunktionen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math>, so ist <math>F(x) + G(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x) + g(x)</math>.
 
=== Potenz- und Wurzelfunktionen ===
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
|-- class="hintergrundfarbe6"
!Funktion <math>f(x)</math>
!Stammfunktion <math>F(x)</math>
|-
| <math>0\;</math>
| <math>0\;</math> <!-- siehe die obigen Hinweise -->
|-
| <math>k\;(k\in\R)</math>
| <math>kx\;</math>
|-
| <math>x^n\;</math>
| <math>\left\{\begin{matrix} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & \mbox{wenn }n\neq-1 \\ \ln \left| x \right| & \mbox{wenn } n=-1 \end{matrix}\right.</math>
|-
| <math>nx^{n-1} \;</math>
| <math>x^n\;</math>
|-
| <math>x\;</math>
| <math>\tfrac12 x^2\;</math>
|-
| <math>2x\;</math>
| <math>x^2\;</math>
|-
| <math>x^2\;</math>
| <math>\tfrac13 x^3\;</math>
|-
| <math>\sqrt x\;</math>
| <math>\tfrac23 x^\tfrac32\;</math>
|-
| <math>\sqrt[n]{x}\;</math>
| <math>\frac{n}{n+1}(\sqrt[n]{x})^{n+1} \mbox{ wenn } n\neq-1\;</math>
|-
| <math>3x^2\;</math>
| <math>x^3\;</math>
|-
| <math>\frac1{\sqrt{x}}\;</math>
| <math>2\sqrt{x}\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{n (\sqrt[n]{x^{n-1}})}\;</math>
| <math>\sqrt[n]{x}\;</math>
|-
| <math>-\frac{2}{x^3}\;</math>
| <math>\frac{1}{x^2}\;</math>
|-
| <math>-\frac{1}{x^2}\;</math>
| <math>\frac{1}{x}\;</math>
|-
|}
 
=== Exponential- und Logarithmusfunktionen ===
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
|-- class="hintergrundfarbe6"
!Funktion <math>f(x)</math>
!Stammfunktion <math>F(x)</math>
|-
| <math>e^x\;</math>
| <math>e^x\;</math>
|-
| <math>e^{kx}\;</math>
| <math>\frac{1}{k}e^{kx}\;</math>
|-
| <math>a^x\ln a\;(a>0)</math>
| <math>a^x\;</math>
|-
| <math>a^x\;</math>
| <math>\frac{a^x}{\ln a}\;</math>
|-
| <math>x^x(1+\ln(x))\;</math>
| <math>x^x\;</math> <math>(x >0)\;</math>
|-
| <math>e^{x \ln \left| x \right|}(\ln \left| x \right| + 1)\;</math>
| <math>\left| x \right|^x = </math>  <math> e^{x \ln \left| x \right|} \; (x\neq 0)</math>
|-
| <math>\frac{1}{x}\;</math>
| <math>\ln \left| x \right| \;</math>
|-
| <math>x^n\ln x\;</math>
| <math>\frac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln x - \frac{1}{n+1}\right)\,,\quad n\geq0</math>
|-
| <math>u'(x) \ln u(x)\;</math>
| <math>u(x) \ln u(x) - u(x)\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{x}\ln^{n}x \;\;(n\neq-1)\;</math>
| <math>\frac{1}{n+1}\ln^{n+1}x\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{x}\ln{x^n} \;\; (n\neq0)\;</math>
| <math>\frac{1}{2n}\ln^2{x^n} = \frac{n}2\ln^2 x\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}\;</math>
| <math>\log_a x\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{x\ln x}\;</math>
| <math>\ln\left| \ln x \right| \;</math> <math> (x > 0, x \ne 1)\;</math>
|-
| <math>\log_a x\;</math>
| <math>\frac{1}{\ln a}(x\ln x -x)\;</math>
|-
| <math>\sqrt{a^2 - x^2}</math>
| <math>\frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a} \right) + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} \; </math>
|-
| <math>\sqrt{a^2 + x^2}</math>
| <math>\frac{a^2}{2} \operatorname{arsinh} \left(\frac{x}{a} \right)  + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2}  \;</math>
|}
 
=== Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen ===
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
|-- class="hintergrundfarbe6"
!Funktion <math>f(x)</math>
!Stammfunktion <math>F(x)</math>
|-
| <math> \sin x\;</math>
| <math>-\cos x\;</math>
|-
| <math> \cos x\;</math>
| <math> \sin x\;</math>
|-
| <math> \sin^2 x\;</math>
| <math>\tfrac12 (x-\sin x\cdot\cos x)\;</math>
|-
| <math>\cos^2 x\;</math>
| <math>\tfrac12 (x+\sin x\cdot\cos x)\;</math>
|-
| <math>\sin(k x)\,\cos(k x)\;</math>
| <math> -\frac{1}{4k}\cos (2kx) \,\!</math>
|-
| <math>\sin(k x)\,\cos(k x)\;</math>
| <math>\frac{1}{2k} \sin^{2}(k x)</math>
|-
| <math> \tan x\;</math>
| <math>-\ln|\cos x|\;</math>
|-
| <math>\cot x\;</math>
| <math>\ln|\sin x|\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\;</math>
| <math>\tan x\;</math>
|-
| <math>\frac{-1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)\;</math>
| <math>\cot x\;</math>
|-
| <math>\arcsin x\;</math>
| <math>x\arcsin x +\sqrt {1-x^2}\;</math>
|-
| <math>\arccos x\;</math>
| <math>x\arccos x -\sqrt {1-x^2}\;</math>
|-
| <math>\arctan x\;</math>
| <math>x \arctan x -\tfrac12 \ln \left(1+x^2 \right)\;</math>
|-
| <math>\arccot x\;</math>
| <math>x \arccot x +\tfrac12 \ln \left(1+x^2 \right)\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;</math>
| <math>\arcsin x\;</math>
|-
| <math>\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\;</math>
| <math>\arccos x\;</math>
|-
| <math>\frac {1} {x^2+1}\;</math>
| <math>\arctan x\;</math>
|-
| <math>\frac {x^2} {x^2+1}\;</math>
| <math>x - \arctan x\;</math>
|-
| <math>\frac {1} {(x^2+1)^2}\;</math>
| <math>\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan x\right)\;</math>
|-
| <math>\sinh x\;</math>
| <math>\cosh x\;</math>
|-
| <math>\cosh x\;</math>
| <math>\sinh x\;</math>
|-
| <math>\tanh x\;</math>
| <math>\ln \cosh x\;</math>
|-
| <math>\coth x\;</math>
| <math>\ln|\sinh x|\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{\cosh^2 x} =1-\tanh^2 x\;</math>
| <math>\tanh x\;</math>
|-
| <math>\frac{-1}{\sinh^2 x} =1-\coth^2 x\;</math>
| <math>\coth x\;</math>
|-
| <math>\operatorname{arsinh}\;x\;</math>
| <math>x\;\operatorname{arsinh}\;x -\sqrt{x^2+1}\;</math>
|-
| <math>\operatorname{arcosh}\;x\;</math>
| <math>x\;\operatorname{arcosh}\;x -\sqrt{x^2-1}\;</math>
|-
| <math>\operatorname{artanh}\;x\;</math>
| <math>x\;\operatorname{artanh}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(1-x^2\right)}\;</math>
|-
| <math>\operatorname{arcoth}\;x\;</math>
| <math>x\;\operatorname{arcoth}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(x^2-1\right)}\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}\;</math>
| <math>\operatorname{arsinh}\;x\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{\sqrt {x^2-1}}\;,\;x>1</math>
| <math>\operatorname{arcosh}\;x\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|<1</math>
| <math>\operatorname{artanh}\;x\;</math>
|-
| <math>\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|>1</math>
| <math>\operatorname{arcoth}\;x\;</math>
|}
 
=== Sonstige ===
{| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
|-- class="hintergrundfarbe6"
!Funktion <math>f(x)</math>
!Stammfunktion <math>F(x)</math>
|-
| <math>e^{-x^2}</math>
| <math>\frac{\sqrt{\pi}}{2}\;\operatorname{erf} x</math>
|-
| <math>e^{-a x^2 + b x + c}</math>
| <math>\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{a}}\;e^{\frac{b^2}{4 a} + c}\;\operatorname{erf}\left(\sqrt{a}\;x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)</math>
|-
|<math>\frac {u'(x)} {u(x)}</math>
|<math>\ln \left| u(x) \right| \,</math>
|-
|<math> u'(x) \cdot u(x)</math>
|<math> \tfrac12 (u(x))^2 </math>
|-
| <math>u'(x)\cdot (u(x))^n\;</math>
| <math>\frac{1}{n+1}(u(x))^{n+1}\;</math>
|}
 
== Weblinks ==
 
{{Wikibooks|Formelsammlung Mathematik#Analysis|unbestimmte Integrale in der Formelsammlung Mathematik }}
 
[[Kategorie:Liste (Mathematik)|Ableitungs- und Stammfunktionen]]
[[Kategorie:Integralrechnung|!]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 27. Juni 2019, 15:55 Uhr

Abgerufen von „https://anthrowiki.at/index.php?title=Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen&oldid=266838“