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| [[Datei:Russell, Whitehead - Principia Mathematica to 56.jpg|mini|160px|Titelseite einer ''Principia Mathematica''-Ausgabe]] | | [[Kategorie:Anfänge der Analytischen Philosophie in Cambridge|202]] |
| | | [[Kategorie:Vertreter der Philosophie der Mathematik]] |
| '''Principia Mathematica''' („mathematische Prinzipien“ bzw. „Mathematische Grundlagen“) ist ein Werk in drei Bänden über die [[Grundlagen der Mathematik]] von [[Bertrand Russell]] und [[Alfred North Whitehead]], erstmals erschienen zwischen 1910 und 1913. Die ''Principia Mathematica'' stellen den Versuch dar, alle mathematischen Wahrheiten aus einem [[wohldefiniert]]en Satz von [[Axiom]]en und [[Schlussregel]]n ([[Inferenzregel]]n der [[Logik|symbolischen Logik]]) herzuleiten. Auf mehreren Hundert Seiten wird zunächst ein Repertoire aus Begriffen und Symbolen dargelegt, welches das Fundament zur späteren Herleitung der Arithmetik bildet. Die Herleitung der Mathematik aus der Logik sollte einige bis dahin verbreitete Anschauungen über das Wesen mathematischer Erkenntnisse widerlegen, nämlich, dass diese weder empirisch noch [[Synthetisches Urteil a priori|synthetisch apriorisch]] sind (Letzteres hatte Kant angenommen), sondern sprachlicher Natur und damit formallogisch begründbar, also [[analytisches Urteil|analytisch]] apriorisch.
| | [[Kategorie:Philosoph als Thema (19. Jahrhundert)]] |
| | | [[Kategorie:Philosoph als Thema (20. Jahrhundert)]] |
| == Behandelte Themengebiete ==
| | [[Kategorie:Mathematiker (19. Jahrhundert)]] |
| Die ''Principia Mathematica'' behandeln nur die [[Mengentheorie]], die [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahlen]], die [[Ordinalzahl]]en und die [[Reelle Zahl|Reellen Zahlen]]; tiefergehende Sätze aus der reellen [[Analysis]] sind nicht enthalten, aber gegen Ende des dritten Bandes wird klar, dass die gesamte bekannte Mathematik im Prinzip aus dem vorgestellten Formalismus entwickelt werden kann.
| | [[Kategorie:Mathematiker (20. Jahrhundert)]] |
| | | [[Kategorie:Wissenschaftler als Thema]] |
| == Vorläufer ==
| | [[Kategorie:Mathematiker als Thema]] |
| Eine wichtige Inspiration und Grundlage der ''Principia Mathematica'' bildet [[Gottlob Frege]]s Arithmetik von 1893, deren Basis ein Mengenkalkül ist, in dem Russell die [[Russellsche Antinomie]] entdeckte, die sich aus der ''Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten'' ergibt. Diesen Widerspruch und andere Widersprüche der [[Naive Mengenlehre|naiven Mengenlehre]] versuchte er durch seine [[Typentheorie]] von 1908 zu lösen, die er dann zur Grundlage der ''Principia Mathematica'' machte.<ref name="Russell"> [http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/cursos/selecaoartigos/Russell(1905).pdf Russell: ''Mathematical logic as based on the theory of types''] (PDF; 1,9 MB), in: American Journal of Mathematics 30 (1908), S. 222–262.</ref>
| | [[Kategorie:Philosoph als Thema]] |
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| | [[Kategorie:Logiker als Thema]] |
| Das zweite wichtige Fundament der ''Principia Mathematica'' ist die Formelsammlung (Formulaire) von [[Giuseppe Peano]] in den Fassungen von 1897/98 und 1903; von dort übernahm Russell die [[Peano-Russell-Notation|symbolische Notation]] und viele Formeln, bereits auch schon in seiner Typentheorie.
| | [[Kategorie:Whitehead|!]] |
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| == Folgen ==
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| Die offene Frage, ob dieses System von Axiomen und Ableitungsregeln widerspruchsfrei ist und ob sich ''alle'' wahren Sätze auf diese Weise herleiten ließen, versuchte das [[Hilbertprogramm]] ab 1922 positiv zu entscheiden. Logiker, die sich daran beteiligten, legten in der Regel die ''Principia Mathematica'' zugrunde, etwa [[Paul Bernays]] und [[Kurt Gödel]], die für Teilsysteme die Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit nachwiesen. Gödel bewies dann aber 1931 in seiner Arbeit ''Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I.'' einen [[Gödelscher Unvollständigkeitssatz|Unvollständigkeitssatz]], der zeigte, dass diese Erwartung, die man in die ''Principia Mathematica'' setzte, nicht erfüllbar ist.
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| == Ausgaben und Teilübersetzungen ==
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| * Russell, Whitehead: ''Principia Mathematica''. Cambridge University Press, 3 Bände, 1910 bis 1913, 2. Auflage 1925 bis 1927, Reprint 1962, ISBN 978-0-521-06791-1, Reprint 1997 ISBN 978-0-521-62606-4
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| **Die erste Auflage hatte 666, 742 und 491 Seiten und erschien in 750 (Band 1) bzw. je 500 Exemplaren (Band 2,3). Die zweite Auflage hatte 674, 772 und 491 Seiten.
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| *Russell, Whitehead: ''Einführung in die Mathematische Logik'', München, Berlin: Drei Masken 1932 (Übersetzung der Einleitungen)
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| * Alfred North Whitehead, Bertrand Russell, Kurt Gödel: ''Principia Mathematica. Vorwort und Einleitungen.'' Suhrkamp 2008. ISBN 978-3-518-28193-2
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Principia Mathematica}}
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| == Literatur ==
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| *A. Garciadiego: ''Bertrand Russell and the origin of set-theoretic paradoxes'', Birkhäuser 1992
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| *Ivor Grattan-Guinness: ''A. N. Whitehead and Bertrand Russell, Principia Mathematica, First Edition (1910-1913)'', in: I. Grattan-Guinness (Hrsg.), ''Landmark writings in western mathematics (1640-1940)'', Elsevier, 2005, S. 784–794
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| *I. Grattan-Guinness: ''The search for mathematical roots, 1870–1940. Logics, set theories and the foundations of mathematics from Cantor through Russell to Gödel'', Princeton University Press 2000
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| * Esther Ramharter, Georg Rieckh: ''Principia Mathematica auf den Punkt gebracht''. öbvhpt 2007. ISBN 978-3-209-05547-7
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| *F. Rodriguez-Consuegra: ''The mathematical philosophy of Bertrand Russell: origin and developments'', Birkhäuser 1991
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| == Weblinks ==
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| * [http://name.umdl.umich.edu/AAT3201.0001.001 Principia Mathematica, 1. Auflage 1910–1913, in der Onlineversion der University of Michigan]
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| * {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/|Principia Mathematica|Bernard Linsky}}
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| * {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/pm-notation/|The Notation in ''Principia Mathematica''|A. D. Irvine}}
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| == Einzelnachweise ==
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| <references />
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| [[Kategorie:Geschichte der Mathematik]] | |
| [[Kategorie:Philosophie der Mathematik]] | |
| [[Kategorie:Russell]] | |
| [[Kategorie:Whitehead]] | |
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