imported>Joachim Stiller |
imported>Joachim Stiller |
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| Die '''Modallogik''' ist derjenige Zweig der [[Logik]], der sich mit den [[Schlussfolgerung|Folgerungen]] um die [[Wikipedia:Modalität (Philosophie)|Modalbegriffe]] ''[[Möglichkeit|möglich]]'' und ''[[Notwendigkeit|notwendig]]'' befasst. So lassen sich innerhalb der Modallogik nicht nur [[Logische Aussage|Aussagen]] wie „Es regnet“ oder „Alle Kreise sind rund“ analysieren, sondern auch Aussagen wie „Möglicherweise regnet es“ und „Notwendigerweise sind alle Kreise rund“.
| | [[Datei:Herbstlaub Mecklenburg.jpg|mini|300px|Herbstlicher Waldrand in Mecklenburg]] |
| | '''Laub''' ist ein Begriff der [[Botanik]] und bezeichnet die Gesamtheit der [[Blatt (Pflanze)|Blattorgane]] von [[Laubbaum|Laubbäumen]] und [[Strauch|Sträuchern]]. |
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| [[Datei:Modallogik.jpg|mini|Entwicklung der Modallogik im 20. Jahrhundert]] | | == Laubblatt == |
| | Laubblätter zeichnen sich durch eine im Verhältnis zur Blattdicke großen Blattfläche (Blattspreite) und durch eine [[Blattader|Netzaderung]] aus. (Im Gegensatz dazu sind die [[Nadelblatt|Nadeln]] der [[Nadelbaum|Nadelbäume]] Blätter mit Paralleladerung und einer kleinen Blattfläche. ''Siehe dazu auch [[Blatt (Pflanze)]].'') |
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| == Geschichte == | | == Laub als Tierfutter == |
| Die frühesten Ansätze zu einer Modallogik finden sich bei [[Aristoteles]] in der [[Wikipedia:Analytica Priora|ersten Analytik]]. Dort werden zu jedem kategorischen [[Syllogismus]] auch die modallogischen Varianten diskutiert.<ref>Friedemann Buddensiek: ''Die Modallogik des Aristoteles in den Analytica Priora A.'' Hildesheim 1994.</ref>
| | Laub kann sowohl frisch ([[Futtermittel#Gr.C3.BCnfutter|Grünfutter]]) als auch getrocknet ([[Futtermittel#Raufutter und Grobfutter|Raufutter]]) an Schafe und Ziegen verfüttert werden.<ref>''[http://www.ziege.ch/ziegenhaltung/ziegenfutter/index.html Laub als Ziegenfutter]''Die Welt der Ziegen</ref><ref>[[Jost Trier]]: ''Venus. Etymologien um das Futterlaub.'' Köln und Graz 1963 (= ''Münstersche Forschungen'', 15).</ref> Laub ist reich an Mineralstoffen. Wenn beim Trocknen darauf geachtet wird, dass das Laub grün bleibt, dann ist es für Schafe ein ebenso gutes Futter wie [[Heu]].<ref>''[http://books.google.ch/books?pg=PA319&lpg=PA322&dq=Laub+als+Tierfutter+-Tiernahrung&id=ykkWAAAAYAAJ&ots=UmY_g5jloD#v=onepage&q&f=false Mittheilungen Landwirthschaftlicher Erfahrungen, Ansichten und Grundsätze: Ein Handbuch fur Landwirthe und Kameralisten, Band 2]''§155, S. 319, Albrecht Block, 1832</ref> |
| Im [[Mittelalter]] untersuchte u. a. [[Duns Scotus]] modallogische Begriffe. [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] prägte den Ausdruck „mögliche Welt“, der für die Entwicklung der modallogischen [[Wikipedia:Modelltheorie|Modelltheorie]] bedeutsam geworden ist. Seit dem 20. Jahrhundert ist zwischen zwei grundsätzlich verschiedenen Ansätzen zur Präzisierung modaler Aussagen und ihrer logischen Zusammenhänge zu unterscheiden, einem objektsprachlich-axiomatischen und einem metasprachlich-operativen.
| | Das Laub wurde entweder mit den Zweigen abgeschnitten ([[Schneitelung|schneiteln]]) und beides verfüttert, oder die Zweige blieben am Baum und die Blätter wurden abgestreift und nur diese verfüttert. Die [[Schneitelwirtschaft]] diente dem Anbau, der Hege und der Nutzung von Futterbäumen. Häufige Futterbäume waren [[Gemeine Esche|Esche]] und [[Ulmen|Ulme]]. Im ausgehenden 19. Jh. gab es in Estland noch 850.000 ha [[Laubwiese]]n mit Schneitelwirtschaft. |
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| Den ersten axiomatischen Ansatz lieferte [[Clarence Irving Lewis]] 1912 in seiner Kritik der „materiellen Implikation“ (von [[Alfred North Whitehead|Whitehead]] und [[Bertrand Russell|Russell]]), die keineswegs dem herkömmlichen „wenn-dann“ entsprach.<ref>Stattdessen benutze Lewis auf Grundlage der „Möglichkeit“ eine „strikte Implikation“; C. I. Lewis: ''Implucation and the algebra of logic.'' In: Mind 21 (1912), S. 522–531. Ders.:''A Survey of Symbolic Logic.'' Cambridge 1918.</ref> Zusammen mit [[C. H. Langford]] stellte er 1932 fünf logische Systeme (S1 bis S5) mit unterschiedlichen modalen Axiomen auf, die mehr oder weniger „plausibel“ erschienen.<ref>C. I. Lewis, C. H. Langford: ''Symbolic Logic.'' New York 1932.</ref> Erst 1963 konnte [[Saul Kripke]] eine [[Modelltheorie|Semantik]] für die Vielzahl der bis dahin vorgeschlagenen modallogischen Systeme entwickeln.<ref>S. A. Kripke: ''Semantical Analysis of Logic I. Normal propositional Calculi.'' In: ''Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik.'' 9 (1963), S. 67–96.</ref> Auf dieser axiomatischen Grundlage verwendeten seit den 1970er Jahren [[Bas van Fraassen]] ([[Toronto]]) und Maria L. Dalla Chiara ([[Florenz]]) Modalitäten im Rahmen der [[Quantenlogik]].<ref>B. C. van Fraassen; ''Meaning Relations and Modalities.'' In: ''Nous.'' 3 (1969), S. 155–167. M. L. Dalla Chiara: ''Quantum Logic and Physical Modalities.'' In: ''Journal of Philosophical Logic.'' 6 (1977), S. 391–404.</ref>
| | In der [[Aquaristik]] wird Laub als Futter für Garnelen ([[Caridea]]) verwendet.<ref>''[http://www.garnelen-center.de/html/futter.html Laub als Garnelenfutter]''</ref> |
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| Weitgehend folgenlos für die weitere Entwicklung der Modallogik blieben die Versuche des [[Edmund Husserl|Husserl]]-Schülers [[Oskar Becker (Philosoph)|Oskar Becker]] 1930, die modalen Aussagen von Lewis [[Phänomenologie|phänomenologisch]] zu interpretieren.<ref>O. Becker: ''Zur Logik der Modalitäten.'' In: ''Jahrbuch für Philosophie und phänomenologische Forschung.'' 11 (1930), S. 497–548.</ref> Einer Anregung Beckers folgend zeigte [[Kurt Gödel]] 1932 eine enge Verbindung zwischen dem System S4 und der [[Intuitionismus|intuitionistischen Logik]] auf.<ref>K. Gödel: ''Eine intuitionistische Interpretation des Aussagenkalküls.'' In: ''Ergebnisse Eines Mathematischen Kolloquiums.'' 4 (1932), S. 39–40.</ref>
| | == Laubfall == |
| | [[Datei:Zuihoji park15n4272.jpg|mini|Herbstlaub im Zuihoji-Park, [[Kōbe]]]] |
| | {{Hauptartikel|Laubfall}} |
| | In [[Jahreszeit]]en mit geringer Wasserversorgung werfen viele Laubbäume ihre Blätter ab, um den Wasserverlust durch [[Verdunstung]] über die Blattoberfläche zu verringern. Dies ist in den [[Gemäßigte Zone|gemäßigten Klimazonen]] im [[Winter]] der Fall, in der [[Mittelmeerklima|Mediterranen Klimazone]] im [[Sommer]]. Wenn sich in den [[Herbst]]<nowiki />nächten der Boden zunehmend abkühlt, nehmen die Wurzeln immer weniger Wasser auf. Nahe dem Gefrierpunkt wird schließlich die Wasseraufnahme ganz eingestellt. Da die Blätter aber weiter Wasser verdunsten, würde der Baum schließlich austrocknen. Durch das Abwerfen der Blätter wird die Verdunstung stark eingeschränkt. Laubblätter, die durch ihren Bau eine geringe Verdunstung aufweisen, werden auch in der [[Trockenzeit]] nicht abgeworfen (Beispiel: [[Echter Lorbeer|Lorbeerbaum]]). |
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| Grundlegend neu war das [[Metasprache|metasprachliche]] Konzept für Modalitäten von [[Rudolf Carnap]] 1934. Im Rahmen einer scharfen Kritik an [[Ludwig Wittgenstein|Wittgensteins]] Auffassung von der grundsätzlichen Beschränktheit sprachlicher Ausdrucksfähigkeit<ref>L. Wittgenstein, ''Logisch-philosophische Abhandlung (Tractatus logico-philosophicus).'' In: ''Annalen der Naturphilosophie.'' 14 (1921), insbes. dort Satz 4.21–4.24.</ref> behauptete er, die von Lewis vorgenommene Erweiterung der klassischen Logik durch Hinzufügung eines Operators „möglich“ sei zwar nicht falsch, aber überflüssig, „da die Metasprache, die auch zur Beschreibung der axiomatischen Modallogik nötig ist, bei exakter Formulierung bereits sowohl die Folgebeziehung als auch die Modalitäten auszudrücken gestatten.“<ref>R. Carnap: ''Logische Syntax der Sprache.'' Wien 1934, insbes, S. 196–199. Zitat nach F. J. Burghardt: ''[http://www.burghardt-koeln.de/franzj/publik/mlog_1.pdf Modalitäten in der Sprache der Quantenmechanik. Ideen von O. Becker und R. Carnap in der heutigen Grundlagenforschung der Physik] (PDF; 1,0 MB)'', Köln 1981, S. 8. Nach seiner Emigration in die USA verfolgte Carnap selbst dieses Konzept nicht mehr, sondern schloss sich der im anglo-amerikanischen Raum ausschließlich anerkannten axiomatischen Modallogik an, so z. B. 1947 in seinem Buch ''Meaning and Necessity''.</ref>
| | Da die Nadelblätter bereits eine [[Evolutionäre Anpassung|Anpassung]] an trockene Standorte sind, werden sie in der [[Trockenzeit]] in der Regel nicht abgeworfen. Die [[Lärchen|Lärche]] dagegen verliert im Herbst ihre Nadeln, da deren Verdunstungsschutz nicht ausreichend ist. Die chemischen Vorgänge beim Abwerfen von Pflanzenteilen behandelt der Artikel [[Abszission]], siehe auch [[Seneszenz bei Pflanzen]]. Zwischen Blatt und Baum verkorkt sich eine Schicht, die sogenannte Korkschicht. Dadurch kann das Blatt nicht mehr versorgt werden und fällt ab. Zum Aufsammeln von Laub können Werkzeuge wie [[Rechen (Werkzeug)|Rechen]] und [[Laubsauger]] verwendet werden. Für rechtliche Problemstellungen beim Laubfall siehe auch: [[Laubrente]]. |
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| Dieses Konzept Carnaps, Modalitäten nur beim Sprechen über eine Sprache, also metasprachlich zu verwenden, wurde erst wieder 1952 von [[Oskar Becker (Philosoph)|Becker]] aufgegriffen und zwei Jahre später von [[Paul Lorenzen]] zur Begründung seiner operativen Modallogik verwendet.<ref>P. Lorenzen: ''Zur Begründung der Modallogik.'' In: ''Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung.'' 2 (1954), S. 15–28 (= Archiv für Philosophie 5 (1954), S. 95–108).</ref> Die von Lorenzen (später auch von [[Oswald Schwemmer|Schwemmer]]) ausgebaute [[Konstruktive Mathematik|konstruktive]] Logik auf der Grundlage einer formalisierten [[Dialogische Logik|Dialogsemantik]] wurde erstmals von [[Peter Mittelstaedt]] 1961 in die [[Quantenlogik]] eingeführt und 1979 von seinem Schüler [[Franz Josef Burghardt]] zur „modalen Quantenmetalogik“ weiter entwickelt.<ref>P. Mittelstaedt: ''Quantenlogik.'' In: ''Fortschritte der Physik.'' 9 (1961), S. 106–147. F. J. Burghardt: ''Modale Quantenmetalogik mit dialogischer Begründung''. Köln 1979; P. Mittelstaedt: ''Sprache und Realität in der modernen Physik.'' Mannheim 1986. Kap. VI: Möglichkeit und Wahrscheinlichkeit.</ref>
| | == Chemisch-biologische Ursachen für die Umfärbung der Blätter == |
| | [[Datei:Autumn leaves (pantone) crop.jpg|thumb|Farbspektrum des kanadischen [[Zuckerahorn]]s]] |
| | [[Datei:Oak leaves with autumn coloration.jpg|miniatur|Farbveränderungen von Eichenblättern. Oben: Grünes, chlorophyllreiches Blatt, rechts: Chlorophyll nur noch in der Nähe der Blattadern vorhanden, wodurch die gelblichen Carotinoide zum Vorschein kommen, unten: Carotinoide nur noch in der Nähe der Blattadern, links: Beginnende Zersetzung des Blattes]] |
| | Im Herbst leiten die Laubgehölze mit abnehmender Tageslänge vor dem Laubfall die aktive Umfärbung der Blätter ein, indem sie deren [[Protein]]e abbauen und wertvolle Nährstoffe wie [[Stickstoff]] und [[Phosphat]] in Speichergeweben bis zur nächsten Wachstumsperiode zwischenlagern. Ein Recycling der Blattfarbstoffe findet allerdings nicht statt. Das grüne [[Chlorophyll]] wird zu farblosen Formen umgebaut und in den [[Vakuole]]n der Zellen angereichert, sodass auch die Chlorophyll-haltigen Proteine der [[Photosynthese]] abgebaut werden können.<ref>Philippe Matile: ''[http://plantsciences.utk.edu/plsc348/matile_2000.pdf Biochemistry of Indian summer: physiology of autumnal leaf coloration.] (PDF; 891 kB)'' In: ''Experimental Gerontology.'' 35, Nr. 2, 2000, S. 145–158, {{doi|10.1016/S0531-5565(00)00081-4}}.</ref> Es gibt so den Blick auf die verbleibenden gelblich-roten [[Carotinoide]] frei. Die Logistik der Stoffverlagerung ist im Blatt oft gut erkennbar: Periphere Bereiche verlieren ihr Grün zuerst, entlang der [[Blattader]]n bleibt es länger erhalten. |
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| == Die zugrundeliegende Intuition ==
| | Bei vielen Arten tritt außerdem eine kräftige Rotfärbung auf. Dafür ist in erster Linie der Farbstoff [[Anthocyane|Anthocyan]] verantwortlich, der unter Energieaufwand neu synthetisiert wird. Es werden auch zusätzlich Carotinoide hergestellt. Der Zweck dafür ist unklar, möglicherweise dient die kräftige Färbung zur Abschreckung von Insekten, die ihre Eier auf diesen Pflanzen ablegen wollen,<ref>W. D. Hamilton, S. P. Brown: ''[http://rspb.royalsocietypublishing.org/content/268/1475/1489.full.pdf Autumn tree colours as a handicap signal.] (PDF; 121 kB)'' In: ''Proceedings of the Royal Society B.'' 268, Nr. 1475, 2001, S. 1489–1493, {{DOI|10.1098/rspb.2001.1672}}.</ref> oder auch als Schutzreaktion der noch aktiven [[Chloroplast]]en vor zu viel Strahlung. Ungeklärt ist, weshalb nordamerikanische Laubbaumarten häufig eine stärkere Rotfärbung hervorbringen als ihre europäischen Verwandten. |
| Mit den Begriffen „möglich“ und „notwendig“ bietet die Sprache neben „[[Wahrheit|wahr]]“ und „falsch“ eine zusätzliche Möglichkeit, [[Logische Aussage|Aussagen]] zu charakterisieren: Manche falsche Aussagen sind doch möglich, manche wahre Aussagen sind darüber hinaus notwendig. Wenn wir feststellen wollen, ob eine Aussage möglich ist, können wir versuchen, uns eine Situation vorzustellen, in der die Aussage wahr ist. Wir können uns beispielsweise vorstellen, dass es Menschen mit grüner Haut geben könnte. Die Aussage „Manche Menschen haben grüne Haut“ ist daher möglich. Wir können uns jedoch nicht vorstellen, dass es eckige Kreise geben könnte. Die Aussage „Es gibt eckige Kreise“ ist daher nicht möglich, d. h. unmöglich. Außerdem gibt es Aussagen, die in jeder vorstellbaren Situation wahr sind. Solche Aussagen bezeichnen wir als notwendig. Notwendige Aussagen sind z. B. „Kreise sind rund“ und „Junggesellen sind unverheiratet“.
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| In der Modallogik spricht man statt von möglichen oder vorstellbaren Situationen auch von „[[Mögliche Welt|möglichen Welten]]“. Die Situation, in der wir tatsächlich leben, ist dabei eine der möglichen Welten, die „tatsächliche Welt“ (engl. ''actual world'', deshalb manchmal auch aktuelle Welt genannt). Eine Aussage ist möglich, wenn sie in einer möglichen Welt wahr ist, sie ist notwendig, wenn sie in allen möglichen Welten wahr ist.
| | == Natürlicher Nutzen von Laub == |
| | Herbstlaub schützt Pflanzen vor Kälte, Nässe und Wind. Laub verwest im Laufe von Monaten und wird letztendlich zu nährstoffreicher Erde, die von Pflanzen aufgenommen und zum Wachstum genutzt werden kann. Außerdem bietet eine [[Laubschicht]] Schutz und Unterschlupf für Tiere und Insekten.<ref>{{Internetquelle |autor= |url=https://pflanzentanzen.de/tipps-guides/herbstlaub-nutzen/#Herbstlaub_-_vielseitig_einsetzbar |titel=Herbstlaub – So nutzt du das wertvolle Laub |werk= |hrsg=PflanzenTanzen.de |datum= |zugriff=2017-11-29 |sprache=de}}</ref> |
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| Wenn man eine Aussage in diesem Sinn als möglich bezeichnet, nimmt man nicht Stellung dazu, ob die Aussage auch falsch sein könnte. Aus diesem Grund sind alle notwendigen Sachverhalte auch möglich: Wenn eine Aussage in allen möglichen Welten wahr ist, dann ist sie trivialerweise auch in mindestens einer möglichen Welt wahr. Von diesem Möglichkeitsbegriff unterscheidet sich der Begriff der [[Kontingenz (Philosophie)|Kontingenz]]: ''Kontingent'' ist eine Aussage genau dann, wenn sie in mindestens einer möglichen Welt wahr und in mindestens einer möglichen Welt falsch ist, wenn sie also möglich, aber nicht notwendig ist.
| | == Laubschicht == |
| | | In der [[Stratifikation (Ökologie)#Bodenschicht|Laubschicht]] leben viele [[Edaphon|Bodenlebewesen]] wie [[Regenwurm|Regenwürmer]], [[Asseln]], [[Milben]], [[Springschwänze]]n und [[Mikroorganismen]]. Sie zersetzen die [[Streu (Ökologie)|Laubstreu]] zu [[Humus]]. |
| == Wahrheitsfunktionalität der Modallogik ==
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| Im Gegensatz zur klassischen [[Aussagenlogik]] ist die Modallogik nicht [[wahrheitsfunktional]]. Das heißt, dass, wenn man in einer Aussage, die modallogische Ausdrücke enthält, eine Teilaussage durch eine andere mit gleichem [[Wahrheitswert]] ersetzt, der Wahrheitswert der Gesamtaussage nicht unbedingt erhalten bleibt. Betrachten wir als Beispiel die Aussage „Es ist möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist“. Diese Aussage ist wahr (wir können uns vorstellen, dass Sokrates sich niemals für Philosophie interessiert hätte) und enthält als Teilaussage die falsche Aussage „Sokrates ist kein Philosoph“. Ersetzen wir nun diese Teilaussage durch die ebenfalls falsche Aussage „Es gibt eckige Kreise“, so erhalten wir „Es ist möglich, dass es eckige Kreise gibt“. Dies ist aber, im Gegensatz zu unserer Ausgangsaussage, falsch (denn wir können uns, wie gesagt, keine eckigen Kreise vorstellen). Damit ist gezeigt, dass die Modallogik nicht wahrheitsfunktional ist.
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| == Notation == | |
| {| class="wikitable floatright" style="width:30%; text-align:center;"
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| !Schreibweise
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| ! width="50%"|Sprechweise
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| |-
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| |<math>\Diamond p</math>
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| |Es ist möglich, dass p
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| |-
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| |<math>\Box p</math>
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| |Es ist notwendig, dass p
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| |-
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| |<math>\Diamond p \wedge \Diamond \neg p</math>
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| |p ist [[Kontingenz (Philosophie)|kontingent]]
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| |}
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| In der Modallogik wird der Ausdruck „möglich“ (genauer: der Satzoperator „es ist möglich, dass…“) durch eine auf die Spitze gestellte [[Raute]] dargestellt, die auch „Diamond“ (engl. für Raute) heißt, und der Ausdruck „notwendig“ (genauer: „es ist notwendig, dass…“) durch ein kleines Quadrat, das auch „Box“ genannt wird. | |
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| == Modallogische Folgerungen ==
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| === Modaloperatoren und Negation ===
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| Verbinden sich die Modaloperatoren mit der [[Negation]], also dem „nicht“ (in formaler Darstellung: <math>\neg</math>), so macht es einen Unterschied, ob die Negation sich auf den ganzen, aus Modaloperator und Aussage zusammengesetzten Ausdruck bezieht oder nur auf den dem Modaloperator nachgestellten Ausdruck. „Es ist nicht möglich, dass Sokrates Philosoph ist“ (<math>\neg \Diamond p </math>) bedeutet also etwas anderes als „Es ist möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist“ (<math>\Diamond \neg p</math>), die erste Aussage ist falsch, die zweite wahr. Ferner ist zu beachten, dass sich Aussagen mit dem Möglichkeitsoperator in Aussagen mit dem Notwendigkeitsoperator übersetzen lassen und umgekehrt. „Es ist möglich, dass Sokrates kein Philosoph ist“ ist gleichbedeutend mit „Es ist nicht notwendig, dass Sokrates ein Philosoph ist“, „Es ist nicht möglich (es ist unmöglich), dass Sokrates ein Elefant ist“ mit „Es ist notwendig, dass Sokrates kein Elefant ist“. In formaler Schreibweise:
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| *<math>\Diamond\neg p</math> ist [[Logische Äquivalenz|äquivalent]] zu <math>\neg\Box p</math>
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| *<math>\neg\Diamond p</math> ist äquivalent zu <math>\Box\neg p</math>
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| „Es ist möglich, dass Sokrates Philosoph ist“ ist darüber hinaus gleichbedeutend mit „Es ist nicht notwendig, dass Sokrates kein Philosoph ist“ und „Es ist notwendig, dass Sokrates ein Mensch ist“ mit „Es ist nicht möglich, dass Sokrates kein Mensch ist“.
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| *<math>\Diamond p</math> ist äquivalent zu <math>\neg\Box\neg p</math>
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| *<math>\Box p</math> ist äquivalent zu <math>\neg\Diamond\neg p</math>
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| Aufgrund dieser letzten beiden Äquivalenzen lässt sich der Möglichkeitsoperator durch den Notwendigkeitsoperator [[Definition|definieren]] bzw. umgekehrt.
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| === Disjunktion und Konjunktion ===
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| Die [[Disjunktion]] (Oder-Verknüpfung, symbolisch: <math>\vee</math>) zweier möglicher Aussagen ist gleichbedeutend mit der Möglichkeit ihrer Disjunktion. Aus „Es ist möglich, dass Sokrates ein Philosoph ist oder es ist möglich, dass er ein Schreiner ist“ folgt „Es ist möglich, dass Sokrates ein Philosoph oder ein Schreiner ist“ und umgekehrt.
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| *<math>\Diamond p \vee \Diamond q</math> ist äquivalent zu <math>\Diamond (p \vee q)</math>
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| Ähnliches gilt für den Notwendigkeitsoperator und die [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] (Und-Verknüpfung, symbolisch: <math>\wedge</math>): „Es ist notwendig, dass alle Kreise rund sind, und es ist notwendig, dass alle Dreiecke eckig sind“ ist äquivalent mit „Es ist notwendig, dass alle Kreise rund und alle Dreiecke eckig sind“.
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| *<math>\Box p \wedge \Box q</math> ist äquivalent zu <math>\Box (p \wedge q)</math>
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| Anders sieht es bei der Konjunktion von Möglichkeits- und der Disjunktion von Notwendigkeitsaussagen aus. Zwar impliziert die Möglichkeit einer Konjunktion zweier Aussagen die Konjunktion der Möglichkeit der Aussagen, dies gilt aber nicht umgekehrt. Wenn es möglich ist, dass Sokrates sowohl Philosoph als auch Schreiner ist, dann muss es möglich sein, dass er Philosoph ist, und auch möglich, dass er Schreiner ist. Im Gegensatz dazu ist es z. B. sowohl möglich, dass die Anzahl der Planeten gerade ist, als auch möglich, dass sie ungerade ist, es ist aber nicht möglich, dass sie sowohl gerade als auch ungerade ist.
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| * aus <math>\Diamond (p \wedge q)</math>, [[Implikation|folgt]] <math>\Diamond p \wedge \Diamond q</math>, aber nicht umgekehrt
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| Ähnlich kann man aus der Disjunktion der Notwendigkeit zweier Aussagen die Notwendigkeit der Disjunktion der Einzelaussagen folgern, jedoch nicht umgekehrt. Ist es notwendig, dass es unendlich viele Primzahlen gibt oder notwendig, dass Sokrates ein Philosoph ist, dann muss es notwendig sein, dass es unendlich viele Primzahlen gibt oder dass Sokrates ein Philosoph ist. Es ist aber andererseits beispielsweise notwendig, dass Frank höchstens 75 kg wiegt oder schwerer ist als 75 kg, es ist aber weder notwendig, dass er höchstens 75 kg wiegt, noch notwendig, dass er schwerer ist als 75 kg. Daher:
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| * aus <math>\Box p \vee \Box q</math> folgt <math>\Box (p \vee q)</math>, aber nicht umgekehrt
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| === Quantoren, Barcan-Formeln ===
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| Bei der Verwendung von [[Quantor]]en ist in der philosophischen Logik umstritten, ob es erlaubt sein soll, Modaloperatoren aus dem Geltungsbereich von Quantoren auszuklammern oder umgekehrt. Strittig sind also die folgenden metasprachlichen Regeln (bzw. entsprechende Axiomenschemata). Dabei steht <math>\nu</math> für eine Individuenvariable und <math>\Phi</math> für einen Prädikatsnamen in der Objektsprache:
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| * <math>\exists \nu \Diamond \Phi\nu</math> ist äquivalent zu <math>\Diamond \exists \nu \Phi\nu</math>.
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| * <math>\Box \forall \nu \Phi\nu</math> ist äquivalent zu <math>\forall \nu \Box \Phi\nu</math>
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| Dabei ist eine Richtung der Äquivalenz jeweils unproblematisch und wird akzeptiert:
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| * Aus <math>\exists \nu \Diamond \Phi\nu</math> folgt <math>\Diamond \exists \nu \Phi\nu</math>. Gibt es einen Gegenstand, der möglicherweise die Eigenschaft <math>\Phi</math> hat, so muss es möglicherweise etwas geben, das die Eigenschaft <math>\Phi</math> hat.
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| * Aus <math>\Box \forall \nu \Phi\nu</math> folgt <math>\forall \nu \Box \Phi\nu</math>. Haben notwendigerweise alle Gegenstände die Eigenschaft <math>\Phi</math>, so hat jeder Gegenstand notwendigerweise die Eigenschaft <math>\Phi</math>.
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| Diese Aussagen gelten in den meisten quantifizierten Modallogiken.
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| Problematischer sind jedoch die in den nach [[Ruth Barcan Marcus]] benannten Rückrichtungen der zwei Aquivalenzbehauptungen (''Barcan-Formeln''):
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| * Aus <math>\Diamond \exists \nu \Phi \nu</math> folgt <math>\exists \nu \Diamond \Phi\nu</math>
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| * Aus <math>\forall \nu \Box \Phi\nu</math> folgt <math>\Box \forall \nu \Phi\nu</math>
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| Die beiden Barcan-Formeln sind bei der üblichen Ersetzbarkeit von <math>\Box</math> … durch <math>\neg \Diamond \neg</math> … und <math>\forall \nu</math> … durch <math>\neg \exists \nu \neg</math> … zueinander äquivalent. Die Debatte dreht sich um die Interpretation der Formeln. Gibt es zum Beispiel jemanden, der sich einen Bart wachsen lassen kann (der also möglicherweise bärtig ist), so ist es möglich, dass es jemanden gibt, der einen Bart trägt. Die der Barcan-Formel entsprechende Umkehrung (Wenn es möglicherweise jemanden gibt, der bärtig ist, so gibt es jemanden, der möglicherweise bärtig ist.) führt zu folgendem Problem: Der vordere Teil des Wenn-Dann Satzes behauptet nur, dass es ein Individuum geben kann, das bärtig wäre, der hintere Teil setzt voraus, dass es ein Individuum gibt, das möglicherweise bärtig ist. Dieser Teilsatz hat also eine Existenz[[präsupposition]]: Nehmen wir an, dass der Quantor sich auf eine Menge von Personen bezieht, die sich gerade in einem bestimmten Raum befinden, so setzt der hintere Teil voraus, dass sich gerade jemand in dem Raum befindet, der sich einen Bart wachsen lassen könnte, der vordere Teil nicht. So wird z. B. ausgeschlossen, dass der Raum zufällig leer ist. Dies wird umso problematischer, wenn sich der Quantor auf ‚Alles, was es gibt‘ beziehen soll; die Barcan-Formel würde dann behaupten, dass jedes mögliche Objekt (''possibilium''), dem eine Eigenschaft <math>\Phi</math> zugewiesen werden kann, jetzt existiert und möglicherweise die Eigenschaft <math>\Phi</math> aufweist. Nehmen wir z. B. an, der kinderlose Philosoph [[Ludwig Wittgenstein]] hätte einen Sohn haben können, so folgte aus der Formel, dass es jetzt eine Person gäbe, die möglicherweise Wittgensteins Sohn ist. Die ''Umstrittenheit der Barcan-Formel'' für Notwendigkeit und Allquantor kann man sich anhand desselben Beispiels klarmachen: Alle (tatsächlich existierenden) Menschen sind notwendigerweise keine Söhne Wittgensteins, das bedeutet aber nicht, dass notwendigerweise alle (möglichen) Menschen keine Söhne Wittgensteins sind, dass Wittgenstein also keine Söhne hätte haben können. Ruth Barcan Marcus selbst hat die Formeln aufgestellt, aber aus genau diesen Gründen aus normalen modallogischen System ausgeschlossen.
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| Statt der Barcan Formeln werden jedoch folgende Schemata als gültig akzeptiert:
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| * Aus <math>\Diamond \forall \nu \Phi \nu</math> folgt <math>\forall \nu \Diamond \Phi\nu</math>, aber nicht umgekehrt
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| Aus der Möglichkeit einer Allaussage folgt die Allquantifikation einer Möglichkeitsaussage, aber nicht umgekehrt.
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| Die Gründe hierfür sind ähnlich wie jene, die oben bei der Kombination von Konjunktion und Möglichkeit festgestellt wurden (''siehe auch'' [[de re und de dicto]]). Wenn es möglich ist, dass alle Männer einen Bart tragen, so müssen alle Männer einen Bart haben können. Obwohl beim [[Backgammon]] jeder möglicherweise gewinnen kann, bedeutet dies nicht, dass es möglich ist, dass alle gewinnen (bei diesem Spiel kann es nämlich immer nur einen Gewinner geben).
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| * Aus <math>\exists \nu \Box \Phi\nu</math> folgt <math>\Box \exists \nu \Phi\nu</math>, aber nicht umgekehrt
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| Die Existenzquantifikation einer Notwendigkeitsaussage impliziert analog die Notwendigkeit der Existenzaussage, aber nicht umgekehrt. Gibt es beispielsweise ein Ding, das notwendigerweise Gott ist, so ist es notwendig, dass es einen Gott gibt. Beim Backgammon gibt es notwendig einen Sieger (das Spiel kann nämlich nicht unentschieden ausgehen), daraus folgt jedoch nicht, dass einer der Spieler notwendig gewinnt.
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| == Andere Interpretationen der Modaloperatoren ==
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| Die Operatoren Diamond und Box können auch auf andere Weise versprachlicht werden als durch „notwendig“ und „möglich“. Bei der „deontischen“ Deutung werden die Operatoren durch die [[Ethik|ethischen]] Begriffe „geboten“ und „erlaubt“ interpretiert, man spricht dann nicht mehr vom Modallogik im engeren Sinne, sondern von [[Deontische Logik|deontischer Logik]]. Die Modallogik im engeren Sinne wird dann gelegentlich auch als „alethische Modallogik“ bezeichnet. In der [[Temporale Logik|temporalen Logik]] werden die Operatoren dagegen [[Zeit|zeitlich]] interpretiert. Fasst man die Operatoren als Begriffe des Glaubens, also des subjektiven Für-Wahr-Haltens, auf, gelangt man zur [[Epistemische Logik|epistemischen Logik]].
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| {| class="wikitable"
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| |-
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| |Formel
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| |'''Modale Deutung'''
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| |'''Deontische Deutung'''
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| |'''Temporale Deutung'''
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| |'''Epistemische Deutung'''
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| |-
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| |<math>\Diamond</math> p
| |
| |Es ist möglich, dass p
| |
| |Es ist erlaubt, dass p
| |
| |p gilt irgendwann in der Zukunft (Vergangenheit)
| |
| |Ich halte es für möglich, dass p
| |
| |-
| |
| |<math>\Box</math> p
| |
| |Es ist notwendig, dass p
| |
| |Es ist geboten, dass p
| |
| |p gilt immer in der Zukunft (Vergangenheit)
| |
| |Ich halte es für gewiss, dass p
| |
| |}
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| Charakteristisch für alle diese Deutungen ist, dass die oben genannten Folgerungen weiterhin sinnvoll und intuitiv bleiben. Dies soll hier nur anhand eines Beispiels, nämlich der Äquivalenz von <math>\Diamond p</math> und <math>\neg \Box \neg p</math>, gezeigt werden.
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| * „Es ist erlaubt, dass p“ ist äquivalent zu „Es ist nicht geboten, dass nicht-p“
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| * „p gilt irgendwann in der Zukunft“ ist äquivalent zu „Es ist nicht der Fall, dass nicht-p immer in der Zukunft gilt“
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| * „Ich halte es für möglich, dass p“ ist äquivalent zu „Ich halte es nicht für gewiss, dass nicht-p“.
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| == Verschiedene Systeme der Modallogik ==
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| === Syntaktische Charakterisierung ===
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| Ein [[formales System]] der Modallogik entsteht dadurch, dass man einer [[Aussagenlogik]] oder [[Prädikatenlogik]] modallogische Formeln und zusätzliche [[Axiom]]e bzw. [[Schlussregel]]n hinzufügt. Je nachdem von welcher Logik man ausgeht, spricht man von modallogischer Aussagen- bzw. Prädikatenlogik. Die [[Formale Sprache|Sprache]] der Modallogik enthält alle aussagen- bzw. prädikatenlogischen Formeln sowie zusätzlich alle Formeln der Gestalt <math>\Box p</math> und <math>\Diamond p</math> für alle modallogischen Formeln <math>p</math>.
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| Dabei kann Box durch Diamond definiert werden und umgekehrt nach den bereits bekannten Äquivalenzen:
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| *<math>\Diamond p</math> ist äquivalent zu <math>\neg\Box\neg p</math>
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| *<math>\Box p</math> ist äquivalent zu <math>\neg\Diamond\neg p</math>
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| In Bezug auf den modallogischen [[Ableitung (Logik)|Ableitungsbegriff]] ist zunächst festzustellen, dass es verschiedene solche Begriffe gibt, mit denen sich unterschiedliche modallogische „Systeme“ bilden lassen. Dies hängt zum Teil mit den oben genannten, verschiedenen Deutungen der Operatoren Box und Diamond zusammen.
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| Die [[Normale Modallogik|allermeisten Modalsysteme]] bauen auf dem '''System K''' (K steht für [[Saul A. Kripke|Kripke]]) auf. K entsteht dadurch, dass man das Axiomschema K setzt und die [[Schlussregel]] der Nezessisierung (auch als „Gödelregel“ bezeichnet, nach dem Logiker [[Kurt Gödel]]) erlaubt:
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| * Axiomschema K: <math>\Box(p \rightarrow q) \rightarrow (\Box p \rightarrow \Box q)</math>.
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| * Nezessisierungsregel: Wenn gilt: <math>\vdash p</math> (d. h. wenn p [[Ableitung (Logik)|ableitbar]] ist), so gilt auch <math>\vdash \Box p</math> (<math>\Box p</math> ist ableitbar).
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| Im System K sind bereits alle oben diskutierten Folgerungen gültig, mit Ausnahme der umstrittenen Barcan-Formeln, von denen eine gegebenenfalls als eigenes Axiom hinzugefügt werden muss (die jeweils andere ergibt sich dann ebenfalls).
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| Fügt man zum System K das Axiomenschema T hinzu, so erhält man das '''System T'''.
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| * Axiomenschema T: <math>p \rightarrow \Diamond p</math> oder auch <math>\Box p \rightarrow p</math>
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| Unter der modalen Deutung ist dieses Schema intuitiv gültig, denn es besagt, dass wahre Aussagen immer auch möglich sind. Unter der deontischen Deutung erhält man, dass alles, was wahr ist, auch erlaubt ist, und dies ist intuitiv keine gültige Folgerung, denn es gibt ja auch Regelverstöße und damit wahre, aber nicht erlaubte Aussagen. Für deontische Anwendungen schwächt man daher das Axiomenschema T zum Axiomenschema D ab. Fügt man D zu K hinzu, erhält man das '''System D''' (D für „deontisch“)
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| * Axiomenschema D: <math>\Box p \rightarrow \Diamond p</math>
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| D besagt unter der deontischen Deutung, dass alles was geboten ist, auch erlaubt ist, und stellt daher unter dieser Deutung eine sinnvolle Folgerung dar.
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| Erweitert man T um das Axiomenschema B, so erhält man das '''System B'''. (B steht hier für [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwer]].)
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| * Axiomenschema B: <math> p \rightarrow \Box\Diamond p</math>
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| Das '''System S4''' entsteht dadurch, dass man das System T um das Axiomenschema 4 erweitert. (Die Bezeichnung S4 ist historisch und geht auf den Logiker [[Clarence Irving Lewis|C.I. Lewis]] zurück. Lewis hat fünf Modalsysteme entwickelt, von denen heute aber nur noch zwei, S4 und S5, in Gebrauch sind.)
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| * Axiomenschema 4: <math>\Box p \rightarrow \Box\Box p</math> oder auch <math>\Diamond\Diamond p \rightarrow \Diamond p</math>
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| Die Systeme S4 und B sind beide stärker als T und damit auch als D. „Stärker“ bedeutet hier, dass alle Formeln, die in T (bzw. D) beweisbar sind, auch in S4 und B beweisbar sind, aber nicht umgekehrt. S4 und B sind unabhängig voneinander, d. h. dass in beiden Systemen Formeln beweisbar sind, die in dem jeweils anderen nicht beweisbar sind.
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| Fügt man dem System T das Axiomenschema 5 hinzu, erhält man das '''System S5'''.
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| * Axiomenschema 5: <math>\Diamond p \rightarrow \Box\Diamond p</math>
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| S5 ist sowohl stärker als S4 als auch als B. Man beachte, dass das Axiomenschema 4 unter einer temporalen Deutung gültig ist, nicht jedoch 5: Wenn es zu einem Zeitpunkt in der Zukunft einen Zeitpunkt in der Zukunft gibt, zu dem p gilt, dann gibt es einen Zeitpunkt in der Zukunft, zu dem p gilt (4). Es stimmt aber nicht, dass, wenn es einen Zeitpunkt in der Zukunft gibt, zu dem p gilt, es für alle Zeitpunkte in der Zukunft, einen solchen Zeitpunkt gibt (5). S4, aber nicht S5, eignet sich also für eine temporale Deutung.
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| In S4 und S5 können Ketten von Modaloperatoren zu einem einzelnen Operator reduziert werden. In S4 ist dies jedoch nur erlaubt, wenn die Kette aus gleichen Operatoren besteht. Die Formel <math>\Diamond\Diamond\Diamond\Diamond p</math> ist beispielsweise dort äquivalent mit <math>\Diamond p</math>. In S5 kann man beliebige Ketten, also auch ungleichartige, reduzieren. Statt <math>\Box\Box\Diamond\Box\Diamond p</math> kann man dort einfach schreiben <math>\Diamond p</math>. In allen anderen erwähnten Modalsystemen ist keine Reduktion möglich.
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| Die zuletzt angesprochene Eigenschaft des Systems S5 macht es für viele Modallogiker zu dem geeignetsten für Modallogik im eigentlichen, strengen Sinn, also für die Analyse der Ausdrücke „möglich“ und „notwendig“. Der Grund liegt darin, dass wir einer wiederholten Anwendung dieser Ausdrücke auf eine Aussage, im Gegensatz zu einer einfachen Anwendung, intuitiv keinen wirklichen Sinn zuweisen können. Es ist beispielsweise schwer zu sagen, was „Es ist notwendig, dass es möglich ist, dass es regnet“ heißen soll im Gegensatz zu einfach „Es ist möglich, dass es regnet“. Aus dieser Perspektive ist es ein Vorteil von S5, dass es wiederholte Anwendungen der Operatoren auf einfache zurückführt, auf diese Weise kann mit jeder modallogischen Formel ein intuitiver Sinn verbunden werden.
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| === Semantische Charakterisierung ===
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| Die [[formale Semantik]] der Modallogik bezeichnet man nach dem Logiker [[Saul Aaron Kripke|Saul Kripke]] oft als „Kripke-Semantik“. Bei der Kripke-Semantik handelt es sich um die Formalisierung des intuitiven Begriffs der möglichen Welt. Ein Kripke-Modell besteht aus einer Menge solcher Welten, einer Zugänglichkeits<nowiki />[[Relation (Mathematik)|relation]] (auch: ''Erreichbarkeitsrelation'') zwischen ihnen und einer Interpretationsfunktion, die jeder Aussagenvariablen in jeder einzelnen der Welten einen der Werte „wahr“ oder „falsch“ zuordnet.
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| Die Wahrheit einer Formel in einer möglichen Welt w ist dann wie folgt definiert:
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| * Aussagenvariablen sind wahr in der Welt w, wenn die Interpretationsfunktion ihnen in w den Wert „wahr“ zuweist.
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| *<math>\neg p</math> ist wahr in w, wenn p falsch in w ist, sonst falsch
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| *<math>p \wedge q</math> ist wahr in w, wenn p und q beide wahr in w sind, sonst falsch
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| *<math>\Diamond p</math> ist wahr in w, wenn es eine von w aus zugängliche Welt v gibt und p in v wahr ist; andernfalls ist <math>\Diamond p</math> falsch in w
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| *<math>\Box p</math> ist wahr in w, wenn für alle von w aus zugänglichen Welten v gilt, dass p in v wahr ist; andernfalls ist <math>\Box p</math> falsch in w
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| {| class="wikitable floatright"
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| {| class="wikitable zebra hintergrundfarbe5 centered" cellpadding="5"
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| |+ Modalsysteme
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| !Name!!Axiome!!Zugänglichkeitsrelation
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| |-
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| ! ''K''
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| | <math>\Box (p \rightarrow q)\rightarrow(\Box p \rightarrow \Box q)</math>
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| | beliebig
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| |-
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| ! ''T''
| |
| | K + <math>\Box p \rightarrow p</math>
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| | [[Reflexive Relation|reflexiv]]
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| |-
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| ! ''D''
| |
| | K + <math>\Box p \rightarrow\Diamond p</math>
| |
| | seriell: <math>\forall w\,\exists v\,(w\;R\;v)</math>
| |
| |-
| |
| ! ''B''
| |
| | T + <math>p \rightarrow \Box\Diamond p</math>
| |
| | reflexiv und [[Symmetrische Relation|symmetrisch]]
| |
| |-
| |
| ! ''S4''
| |
| | T + <math>\Box p \rightarrow\Box\Box p</math>
| |
| | reflexiv und [[Transitive Relation|transitiv]]
| |
| |-
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| ! ''S5''
| |
| | T + <math>\Diamond p \rightarrow\Box\Diamond p</math>
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| | reflexiv, transitiv und symmetrisch
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| |}
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| |}
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| Hier lassen sich noch zusätzliche Klauseln für eventuelle weitere Junktoren oder Quantoren hinzufügen. Eine Formel ist gültig, wenn sie in allen Kripke-Modellen wahr ist. Die oben besprochenen verschiedenen Modalkalküle lassen sich nun über verschiedene Bedingungen an die Zugänglichkeitsrelation zwischen den Welten abbilden. Das System K entsteht, wenn an die Zugänglichkeitsrelation gar keine Bedingung geknüpft ist. Alle und nur die bei einer solchen beliebigen Zugänglichkeitsrelation gültigen Formeln sind also in K beweisbar. Um das System T zu erhalten, muss man die Forderung an die Zugänglichkeitsrelation aufstellen, dass jede Welt von sich selbst aus zugänglich sein soll, die Relation muss also [[Reflexive Relation|reflexiv]] sein. Setzt man die Zugänglichkeitsrelation so fest, ergibt sich, dass die gültigen Formeln genau die im System T beweisbaren sind. Für das System D muss es für jede Welt mindestens eine zugängliche geben, solche Relationen nennt man seriell (oder [[Relation (Mathematik)#Eigenschaften zweistelliger Relationen|linkstotal]]). Für B wird neben Reflexivität auch [[Symmetrische Relation|Symmetrie]] gefordert, d. h. ist w von v aus zugänglich, so muss auch v von w aus zugänglich sein. In S4 ist die Zugänglichkeitsrelation reflexiv und [[Transitive Relation|transitiv]], d. h. ist w von v aus zugänglich und v von u aus, so auch w von u aus. Für S5 schließlich muss die Zugänglichkeitsrelation zugleich reflexiv, symmetrisch und transitiv sein, d. h. es handelt sich um eine [[Äquivalenzrelation]].
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| === Deontische und normative Modallogik ===
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| Der Logiker und Philosoph [[Paul Lorenzen]] hat die Modallogik um die deontische und die ''normative''<ref>siehe das 1969 erschienene Buch ''Normative Logic and Ethics.'' dass Lorenzens John-Locke-Vorlesungen in Oxford zusammenfasst.</ref> Modallogik erweitert, um die technischen und politischen Wissenschaften dadurch zu begründen (konstruktive Wissenschaftstheorie).
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| Die Modalworte „kann“ und „muss“ werden wie üblich formal rekonstruiert. Die entsprechenden oben angeführten Zeichen werden nur leicht modifiziert. Die verschiedenen Formen der Modallogik verfügen mit solchen Begriffen über technische und politische Kurzfassungen von Verlaufshypothesen:
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| * Handlungsvermögen: Das Mädchen kann vom Sprungbrett springen
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| * Ethisch-politisches Dürfen: Tilman darf ein Stück Pizza bekommen
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| * Biologisch-medizinisches Werden: Aus einem Kirschkern kann ein Baum entstehen
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| * Verlaufshypothesen (''Naturgesetze''): Das Haus kann zusammenfallen
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| * Technisches Können: Das Auto kann mit Katalysator gebaut werden
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| Entsprechend lassen sich zu den „kann“-Modalitäten „muss“-Modalitäten bilden. Alle Modalworte (zum Beispiel ''Notwendigkeit'') sind in der Modallogik Lorenzens zunächst ''zwanglos'', das heißt, dass die in der Modallogik gemachten Aussagen nur relativ zu einem vermeintlichen Wissen gelten. - Die verschiedenen Typen von Modalitäten spielen auch zusammen. Etwa in dem Satz: „Erreichbarkeit (menschliches [[Vermögen (Fähigkeit)|Vermögen]]) impliziert Möglichkeit (technische kann-Hypothese)“.
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| Sind Modalaussagen formal logisch wahr, so kann das zugrunde liegende vermeintliche Wissen ''weggeschnitten'' werden. Auf diese Weise lassen sich also modallogische Wahrheiten unabhängig davon bilden, ob das zugrunde liegende Wissen stimmt. Dies folgt aus dem [[Schnittsatz]]. Für Lorenzen besteht darin eine Pointe die Modallogik einfach zu fundieren.
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| == Siehe auch == | | == Siehe auch == |
| * {{WikipediaDE|Logik}} | | * {{WikipediaDE|Laub (Botanik)}} |
| * {{WikipediaDE|Modallogik}}
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| * {{WikipediaDE|Nichtklassische Logik}}
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| == Literatur ==
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| | |
| * {{Literatur
| |
| |Hrsg=Patrick Blackburn, Johan van Benthem, Frank Wolter
| |
| |Titel=Handbook of modal logic
| |
| |Verlag=Elsevier
| |
| |Datum=2007
| |
| |ISBN=978-0-444-51690-9
| |
| |Online=[http://www.csc.liv.ac.uk/~frank/MLHandbook/ csc.liv.ac.uk]
| |
| |Kommentar=Einführung}}
| |
| * {{Literatur
| |
| |Autor=Theodor Bucher
| |
| |Titel=Einführung in die angewandte Logik
| |
| |Verlag=De Gruyter
| |
| |Ort=Berlin / New York
| |
| |Datum=1987
| |
| |ISBN=3-11-011278-7
| |
| |Seiten=240–285 (mit Übungen)}}
| |
| * {{Literatur
| |
| |Autor=George Edward Hughes, Max Cresswell
| |
| |Titel=Einführung in die Modallogik
| |
| |Verlag=De Gruyter
| |
| |Datum=1978
| |
| |ISBN=3-11-004609-1}}
| |
| * {{Literatur
| |
| |Autor=George Edward Hughes, Max Cresswell
| |
| |Titel=A new introduction to modal logic
| |
| |Verlag=Routledge
| |
| |Ort=London
| |
| |Datum=1996
| |
| |ISBN=0-415-12600-2}}
| |
| * Kenneth Konyndyk: ''Introductory Modal Logic.'' University of Notre Dame Press 1986, ISBN 0-268-01159-1. (in englischer Sprache, verwendet einfach zu erlernende Kalküle des natürlichen Schließens)
| |
| * Paul Lorenzen: ''Normative Logic and Ethics.'' (= ''BI-HTB 236''). Bibliographisches Institut, Mannheim.
| |
| * Paul Lorenzen, Oswald Schwemmer: ''Konstruktive Logik, Ethik und Wissenschaftstheorie.'' (= ''BI-HTB 700''). 2., verb. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1975. (unveränd. Nachdruck 1982)
| |
| * Paul Lorenzen: ''Lehrbuch der konstruktiven Wissenschaftstheorie.'' 2. Auflage. Metzler, Stuttgart 2000, ISBN 3-476-01784-2.
| |
| * Uwe Meixner: ''Modalität. Möglichkeit, Notwendigkeit, Essenzialismus'', Klostermann, Frankfurt a. M. 2008, ISBN 978-3-465-04050-7.
| |
| * Jesús Padilla Gálvez: ''Referenz und Theorie der möglichen Welten.'' Peter Lang, Frankfurt/M., Bern, New York, Paris, 1988, ISBN 978-3-631-40780-6.
| |
| * Graham Priest: ''An Introduction to Non-Classical Logic. From If to Is.'' Cambridge 2008, ISBN 978-0-521-67026-5.
| |
| * {{Literatur
| |
| |Autor=Wolfgang Rautenberg
| |
| |Titel=Klassische und Nichtklassische Aussagenlogik
| |
| |Verlag=Vieweg
| |
| |Ort=Wiesbaden
| |
| |Datum=1979
| |
| |ISBN=3-528-08385-9}}
| |
| * Niko Strobach: ''Einführung in die Logik.'' Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 2005, ISBN 3-534-15460-6. (Einführung in die philosophische Logik, Modallogik in Kapitel 4.5, S. 59–64 und Kapitel 7, S. 113–131)
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| == Weblinks == | | == Weblinks == |
| {{Wikiversity|Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesung 24|Eine Einführung in die Modallogik}} | | {{Commonscat|Leaves in autumn|Laub (Botanik)}} |
| * {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/|Modal Logic|James Garson}} | | * http://www.botanikvortrag.de/Herbstlaub_Fruchtreife.html |
| * {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal-origins/|Modern Origins of Modal Logic|Roberta Ballarin}} | | * Podcast [http://forstcast.waldradio.de/laubzersetzung/2309 Wohin verschwindet das ganze Laub?] auf www.forstcast.net |
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| == Einzelnachweise == | | == Einzelnachweise == |
| <references /> | | <references /> |
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