Raum (Mathematik) und Kategorie:Lernpsychologie: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Doppeltes Bild|rechts|Vector-addition-and-scaling.svg|200|CoordsXYZ.JPG|200|Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor '''v''' (blau) wird zu einem anderen Vektor '''w''' addiert (rot, unten). Oben wird '''w''' um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe {{nowrap|'''v''' + 2·'''w.'''}}|Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum}}
{{Vorlage:Seitenkategorien}}
 
[[Kategorie:Psychologie nach Fachgebiet]]
Ein '''Raum''' ist in der [[Mathematik]] als [[Abstraktion|abstrakte]] Verallgemeinerung des uns gewohnten [[Anschauungsraum]]s als eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] [[Mathematisches Objekt|mathematischer Objekte]] mit einer [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]] definiert. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.
[[Kategorie:Psychologisches Fachgebiet]]
 
[[Kategorie:Pädagogische Psychologie|M]]
== Vektorraum ==
[[Kategorie:Lernpsychologie|!]]
Ein '''Vektorraum''' besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die '''Vektoren''' (von [[lat.]] ''vector'' „Träger, Fahrer“) genannt werden und addiert, subtrahiert oder mit einem [[Skalar]] (z.B. einer [[Zahl]]) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die [[Assoziativgesetze]] und [[Distributivgesetze]] erfüllt sind. Die Vektoren werden geometrisch-symbolisch in der Regel als Pfeile mit bestimmter Länge und Richtung dargestellt. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise [[Reelle Zahlen|reelle]] oder [[komplexe Zahlen]], [[Zahlentupel]], [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] oder [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] verwendet werden. Die Skalare entstammen einem bestimmten [[Körper (Mathematik)|Körper]], z.B. dem Körper <math>\mathbb R</math> der reellen Zahlen oder dem Körper <math>\mathbb C</math> der komplexen Zahlen, weshalb ein Vektorraum stets ''über'' einem bestimmten Körper definiert ist. Im gegebenen Fall handelt es sich dann beispielsweise um einen '''reellen''' oder '''komplexen Vektorraum'''.
[[Kategorie:Lerntheorie]]
 
[[Kategorie:Pädagogik]]
Als '''Ortsvektor''' (auch '''Radiusvektor''' oder '''Positionsvektor''') eines Punktes <math>\overrightarrow P</math> wird ein Vektor <math>\overrightarrow{OP}</math> bezeichnet, der von einem festgelegten Punkt <math>\overrightarrow O</math> (meist dem Ursprung des [[Koordinatensystem]]s) zu diesem Punkt zeigt.
[[Kategorie:Lernen]]
 
[[Kategorie:Wissen]]
== Vektorrechnung ==
[[Bild:Epsilontensor.svg|mini|Matrixdarstellung des dreidimensionalen [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] ]]
[[Datei:Cross product parallelogram.svg|miniatur|Veranschaulichung des Kreuzprodukts]]
 
In der '''Vektorrechnung''' sind verschiedene Rechenoperationen für Vektoren definiert. Die Vektoren können dazu als '''Spaltenvektor''' oder in Komponentenschreibweise angeschrieben werden. Die wichtigsten Rechenoperationen zeigt die nachstehende Tabelle:
 
{|class="wikitable"
!Rechenoperation
!Spaltenvektoren
!Komponentenschreibweise
!Beschreibung
|-
|Addition/Subtraktion
|<math>
\vec c = \vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1\pm b_1 \\ a_2\pm b_2 \\ a_3 \pm b_3\end{pmatrix}
</math>
|<math> c_i = a_i \pm b_i</math>
|
|-
|Multiplikation mit einem Skalar
|<math>
\vec c = r\vec{a} = r \, \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end{pmatrix}
</math>
|<math>c_i = r a_i </math>
|
|-
|Skalarprodukt
|<math>
c = \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3</math>
|<math>c = \sum_i a_i b_i </math>
|
|-
|Betrag
|<math>a = |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}</math><ref>nach dem [[Satz von Pythagoras]]</ref>
|<math>a = \sqrt{\sum_i a_i^2}</math>
|
|-
|Kreuzprodukt<br />(Vektorprodukt)
|<math>
\vec c = \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}
</math>
| <math>c_i = \sum_{jk} \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k}</math><ref><math>\varepsilon_{ijk}</math> ist das [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.</ref>
|Der Betrag des Vektorprodukts entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten [[Parallelogramm]]s:
 
<math>A = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}|</math>
|-
|Spatprodukt
|<math>(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}</math>
|
|Der Betrag des Spatprodukts entspricht dem [[Volumen]] des von den drei Vektoren aufgespannten [[Parallelepiped]]s:
 
<math>V = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}|,</math>
|-
|Dyadisches Produkt<br />(tensorielles Produkt)
|<math>
\boldsymbol C = (c_{ij}) = \vec{a}\otimes\vec{b}
= \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3\\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3\\
a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3
\end{pmatrix}
</math>
|<math>c_{ij} = a_i b_j</math>
|
|}
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Raum (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Vektor}}
 
== Literatur ==
 
* Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: ''Mathematik'', 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8
 
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
 
<references />
 
[[Kategorie:Mathematik]]  
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Raum|201]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 13. September 2019, 21:09 Uhr

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