Monoid: Unterschied zwischen den Versionen

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Ein '''Monoid''' <math>\left(M,*,e\right)</math> ist eine [[algebraische Struktur]], die aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>M</math>, einer [[assoziativ]]en [[zweistellige Verknüpfung|zweistelligen inneren Verknüpfung]] <math>*</math> und einem [[Neutrales Element|neutralen Element]] <math>e</math> besteht:
Ein '''Monoid''' <math>\left(M,*,e\right)</math> ist eine [[algebraische Struktur]], die aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>M</math>, einer [[assoziativ]]en [[zweistellige Verknüpfung|zweistelligen inneren Verknüpfung]] <math>*</math> und einem [[Neutrales Element|neutralen Element]] <math>e</math> besteht:


: <math>*\colon M\times M\to M,\quad (a,b)\mapsto a*b</math>
{| width="400px"
: <math>\forall a,b,c\in M\colon (a*b)*c=a*(b*c)</math> ([[Assoziativgesetz|Assoziativität]])
|-
: <math>\forall a\in M\colon e*a=a*e=a</math> ([[neutrales Element]])
| <math>*\colon M\times M\to M,\quad (a,b)\mapsto a*b</math> || [[zweistellige Verknüpfung]]
|-
| <math>\forall a,b,c\in M\colon (a*b)*c=a*(b*c)</math> || [[Assoziativgesetz|Assoziativität]]
|-
| <math>\forall a\in M\colon e*a=a*e=a</math> || [[neutrales Element]]
|}


Ein Monoid ist eine [[Halbgruppe]] mit neutralem Element. Ist jedes Element des Monoids auch invertierbar, so ist es eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]. Jede Gruppe ist daher zugleich ein Monoid - aber nicht umgekehrt.
Ein Monoid ist eine [[Halbgruppe]] mit neutralem Element. Ist jedes Element des Monoids auch invertierbar, so ist es eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]. Jede Gruppe ist daher zugleich ein Monoid - aber nicht umgekehrt.

Version vom 16. Februar 2020, 17:37 Uhr

Ein Monoid ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge , einer assoziativen zweistelligen inneren Verknüpfung und einem neutralen Element besteht:

zweistellige Verknüpfung
Assoziativität
neutrales Element

Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit neutralem Element. Ist jedes Element des Monoids auch invertierbar, so ist es eine Gruppe. Jede Gruppe ist daher zugleich ein Monoid - aber nicht umgekehrt.

Siehe auch