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[[Datei:Example of a set.svg|mini|Eine Menge von Polygonen]]
Als '''formal''' (von [[lat.]] ''forma''; {{ELSalt|μορφή}} ''morphé''; aber auch {{ELSalt|είδος}} ''[[eidos]]'' „Ansehen, Gestalt“, von ''eidein'' „sehen“)) wird etwas bezeichnet, das nur der reinen [[Form]] nach ohne eigenen [[Sein]]sgehalt gegeben ist.
[[Datei:Set subsetAofB.svg|mini||''A'' ist eine (echte) '''Teilmenge''' von ''B''.]]


{{GZ|In demjenigen, was in unserem Bewußtsein präsent ist mit den mathematischen Formeln, hat man keinen Seinsgehalt. Das hat für das gewöhnliche Leben und für die gewöhnliche Wissenschaft seine tiefe Berechtigung. Wenn wir in der mathematisch-empirischen Betrachtungsweise den Seinsgehalt schon vom Innern her dieser Außenwelt, die uns in der sinnlichen Beobachtung vorliegt, entgegenbringen würden, dann würden wir diese Außenwelt nicht erleben können. Wir würden sie nicht durchsichtig finden. Dieses Sein, das wir der Außenwelt zuschreiben, das ist uns nur dadurch gegeben, daß wir in dem, was wir methodisch dieser Außenwelt ent-gegenbringen, keinen Seinsgehalt haben, sondern daß wir uns bewußt sind, daß wir ihr nur einen Bildinhalt entgegenbringen. Wer sich einmal klar ist gerade über diesen Bildcharakter des Mathematischen, der wird in ihm das besonders Charakteristische finden in der naturwissenschaftlichen Methode der Gegenwart.|73a|258}}
Die '''Menge''' (von {{mhd|''manic''}} „viel“) fasst eine endliche oder unendliche [[Anzahl]] beliebiger, wohlunterschiedener '''Elemente''' zu einer Gesamtheit zusammen und ist heute eines der grundlegendsten Konzepte der [[Mathematik]].  


== Literatur ==
Vereinbarungsgemäß werden die Elemente einer Menge entweder explizit oder durch eine geeignete Definition innerhalb geschwungener Klammern angegeben, z.B. für die abzählbar unendliche Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb{N} = \{1; 2; 3; \ldots\}</math>. Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als '''leere Menge''' <math>\emptyset</math> oder auch <math>\{\}</math> bezeichnet. Wird bei einer Menge auch die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt, spricht man von einer [[Folge (Mathematik)|Folge]].


#Rudolf Steiner: ''Fachwissenschaften und Anthroposophie'', [[GA 73a]] (2005), ISBN 3-7274-0735-2 {{Vorträge|073a}}
Die '''Mengenlehre''' wurde in der Zeit von 1874 bis 1897 von [[Wikipedia:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) begründet. Er definierte den [[Begriff]] „Menge“ wie folgt:


{{GA}}
{{Zitat|Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.|Georg Cantor<ref>Georg Cantor: ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.'' In: ''[[Wikipedia:Mathematische Annalen|Mathematische Annalen]]'' 46 (1895), S. 481. [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0069&LOGID=LOG_0069&PHYSID=PHYS_0295 Online].</ref>}}


[[Kategorie:Wissenschaft]]
Cantor prägte auch den Begriff der '''Teilmenge''' oder ''Untermenge''. <math>A</math> ist eine '''Untermenge''' (Teilmenge) von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine '''Obermenge''' von <math>A</math>, wenn jedes Element von <math>A</math> auch in <math>B</math> enthalten ist. Enthält <math>B</math> zudem weitere Elemente, die nicht in <math>A</math> enthalten sind, so ist <math>A</math> eine '''echte Teilmenge''' von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine '''echte Obermenge''' von <math>A</math>.
[[Kategorie:Formalwissenschaften]]
 
Die '''Mächtigkeit''' oder ''Kardinalität'' einer Menge wird durch die '''Kardinalzahl''' angegeben. Für endliche Menge ist sie gleich der [[Anzahl]] ihrer Elemente. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben, die durch den [[Hebräisches Alphabet|hebräischen Buchstaben]] <math>\aleph</math> und einen Index bezeichnet werden. Für die abzählbar unendliche Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]], die unter den unendlichen Mengen die geringste Mächtigkeit haben, schreibt man entsprechend <math>\aleph_0</math>. Die ''überabzählbare'' unendliche Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] hat unter Annahme der [[Wikipedia:Kontinuumshypothese|Kontinuumshypothese]]<ref>Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Diese Hypothese hat sich aber als ''[[unentscheidbar]]'' erwiesen.</ref> die Mächtigkeit <math>\aleph_1</math>, andernfalls gilt zumindest <math>\aleph_1 \le \left\vert\mathbb{R}\right\vert</math>.
 
== Einzelnachweise ==
 
<references />
 
[[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Mengenlehre]]

Version vom 8. Juli 2018, 23:38 Uhr

Eine Menge von Polygonen
A ist eine (echte) Teilmenge von B.

Die Menge (von mhd. manic „viel“) fasst eine endliche oder unendliche Anzahl beliebiger, wohlunterschiedener Elemente zu einer Gesamtheit zusammen und ist heute eines der grundlegendsten Konzepte der Mathematik.

Vereinbarungsgemäß werden die Elemente einer Menge entweder explizit oder durch eine geeignete Definition innerhalb geschwungener Klammern angegeben, z.B. für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen . Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als leere Menge oder auch bezeichnet. Wird bei einer Menge auch die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt, spricht man von einer Folge.

Die Mengenlehre wurde in der Zeit von 1874 bis 1897 von Georg Cantor (1845-1918) begründet. Er definierte den Begriff „Menge“ wie folgt:

„Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

– Georg Cantor[1]

Cantor prägte auch den Begriff der Teilmenge oder Untermenge. ist eine Untermenge (Teilmenge) von und ist eine Obermenge von , wenn jedes Element von auch in enthalten ist. Enthält zudem weitere Elemente, die nicht in enthalten sind, so ist eine echte Teilmenge von und ist eine echte Obermenge von .

Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge wird durch die Kardinalzahl angegeben. Für endliche Menge ist sie gleich der Anzahl ihrer Elemente. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben, die durch den hebräischen Buchstaben und einen Index bezeichnet werden. Für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen, die unter den unendlichen Mengen die geringste Mächtigkeit haben, schreibt man entsprechend . Die überabzählbare unendliche Menge der reellen Zahlen hat unter Annahme der Kontinuumshypothese[2] die Mächtigkeit , andernfalls gilt zumindest .

Einzelnachweise

  1. ↑ Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In: Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481. Online.
  2. ↑ Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Diese Hypothese hat sich aber als unentscheidbar erwiesen.
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