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Benutzer Diskussion:Joachim Stiller und Tensor: Unterschied zwischen den Seiten
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== | [[Datei:Components stress tensor.svg|mini|hochkant=1.2|Der Spannungstensor von Cauchy in schematisch-räumlicher Darstellung]] | ||
[[Datei:Epsilontensor.svg|mini|hochkant=1.2|Das dreidimensionale [[Wikipedia:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] (auch ''Epsilontensor'' oder ''Permutationssymbol'' genannt) als Beispiel für einen einfachen dreistufigen Tensor.]] | |||
Die | Ein '''Tensor''' (von [[lat.]] ''tendere'' „spannen“) ist eine [[Algebra|algebraische]] Verallgemeinerung der [[Mathematik|mathematischen]] Begriffe von [[Skalar]], [[Vektor]] und [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]. Im heute gebräuchlichen, erstmals von dem deutschen Physiker [[Wikipedia:Woldemar Voigt|Woldemar Voigt]] geprägten Sinn<ref>Woldemar Voigt: ''Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung'', Verlag von Veit & Comp., Leipzig 1898 [https://archive.org/details/bub_gb__Ps4AAAAMAAJ/page/n0 archive.org]</ref> versteht man darunter eine [[multilineare Abbildung]] von Skalaren, Vektoren und Tensoren auf einen resultierenden Tensor. | ||
[[ | Der '''Rang''' bzw. die '''Stufe''' eines Tensors gibt dessen [[Dimension]]alität an. So hat etwa ein Skalar den Rang 0, ist also ein Tensor 0-ter Stufe. Ein Vektor hat entsprechend den Rang 1, eine Matrix den Rang 2 usw. Ein klassisches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ist der von [[Wikipedia:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] eingeführte '''Spannungstensor''' <math>\boldsymbol{\sigma}</math>, der in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden kann: | ||
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\boldsymbol{\sigma} | |||
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\begin{pmatrix} | |||
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= | |||
\begin{pmatrix} | |||
\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\ | |||
\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\ | |||
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\end{pmatrix} | |||
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Der Spannungstensor bildet einen Normalvektor <math>\hat n</math> auf den entsprechenden Spannungsvektor <math>\vec T^{\hat n}</math> ab: | |||
= | :<math>\vec T^{(\hat n)}=\boldsymbol{\sigma} \cdot\hat n</math> | ||
== Einsteinsche Summenkonvention == | |||
= | Die '''Summenkonvention''' wurde 1916 von [[Albert Einstein]] in seiner grundlegenden Arbeit über die [[Allgemeine Relativitätstheorie]] eingeführt, um die in der Tensorrechnung häufig vorkommende Summenbildung in vereinfachter übersichtlicherer Form anzuschreiben<ref>[[Albert Einstein]]: ''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie.'' In: ''Annalen der Physik.'' 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, Nummer 7 (1916), S. 770–822, {{doi|10.1002/andp.19163540702}}</ref>. So lässt sich beispielsweise das [[Matrixprodukt]] zweier quadratischer <math>n \times n</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>B</math> | ||
:<math>(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} \cdot B_{kj}</math> vereinfacht wie folgt anschreiben: <math>(A \cdot B)_{ij} = A_{ik} \cdot B_{kj}</math> | |||
== Siehe auch == | |||
* {{WikipediaDE|Tensor}} | |||
* {{WikipediaDE|Spannungstensor}} | |||
== Einzelnachweise == | |||
<references /> | |||
[[Kategorie:Algebra]] |
Version vom 13. Oktober 2018, 14:42 Uhr
Ein Tensor (von lat. tendere „spannen“) ist eine algebraische Verallgemeinerung der mathematischen Begriffe von Skalar, Vektor und Matrix. Im heute gebräuchlichen, erstmals von dem deutschen Physiker Woldemar Voigt geprägten Sinn[1] versteht man darunter eine multilineare Abbildung von Skalaren, Vektoren und Tensoren auf einen resultierenden Tensor.
Der Rang bzw. die Stufe eines Tensors gibt dessen Dimensionalität an. So hat etwa ein Skalar den Rang 0, ist also ein Tensor 0-ter Stufe. Ein Vektor hat entsprechend den Rang 1, eine Matrix den Rang 2 usw. Ein klassisches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ist der von Augustin-Louis Cauchy eingeführte Spannungstensor , der in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden kann:
Der Spannungstensor bildet einen Normalvektor auf den entsprechenden Spannungsvektor ab:
Einsteinsche Summenkonvention
Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein in seiner grundlegenden Arbeit über die Allgemeine Relativitätstheorie eingeführt, um die in der Tensorrechnung häufig vorkommende Summenbildung in vereinfachter übersichtlicherer Form anzuschreiben[2]. So lässt sich beispielsweise das Matrixprodukt zweier quadratischer -Matrizen und
- vereinfacht wie folgt anschreiben:
Siehe auch
- Tensor - Artikel in der deutschen Wikipedia
- Spannungstensor - Artikel in der deutschen Wikipedia
Einzelnachweise
- ↑ Woldemar Voigt: Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung, Verlag von Veit & Comp., Leipzig 1898 archive.org
- ↑ Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, Nummer 7 (1916), S. 770–822, doi:10.1002/andp.19163540702