Benutzer Diskussion:Joachim Stiller und Tensor: Unterschied zwischen den Seiten

Aus AnthroWiki
(Unterschied zwischen Seiten)
imported>Joachim Stiller
 
imported>Odyssee
 
Zeile 1: Zeile 1:
== Die folgenden Artikel müssen neu angelegt werden ==
[[Datei:Components stress tensor.svg|mini|hochkant=1.2|Der Spannungstensor von Cauchy in schematisch-räumlicher Darstellung]]
[[Datei:Epsilontensor.svg|mini|hochkant=1.2|Das dreidimensionale [[Wikipedia:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] (auch ''Epsilontensor'' oder ''Permutationssymbol'' genannt) als Beispiel für einen einfachen dreistufigen Tensor.]]


[[Chromosom 6 (Mensch)]]
Ein '''Tensor''' (von [[lat.]] ''tendere'' „spannen“) ist eine [[Algebra|algebraische]] Verallgemeinerung der [[Mathematik|mathematischen]] Begriffe von [[Skalar]], [[Vektor]] und [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]. Im heute gebräuchlichen, erstmals von dem deutschen Physiker [[Wikipedia:Woldemar Voigt|Woldemar Voigt]] geprägten Sinn<ref>Woldemar Voigt: ''Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung'', Verlag von Veit & Comp., Leipzig 1898 [https://archive.org/details/bub_gb__Ps4AAAAMAAJ/page/n0 archive.org]</ref> versteht man darunter eine [[multilineare Abbildung]] von Skalaren, Vektoren und Tensoren auf einen resultierenden Tensor.


[[Chromosom 7 (Mensch)]]
Der '''Rang''' bzw. die '''Stufe''' eines Tensors gibt dessen [[Dimension]]alität an. So hat etwa ein Skalar den Rang 0, ist also ein Tensor 0-ter Stufe. Ein Vektor hat entsprechend den Rang 1, eine Matrix den Rang 2 usw. Ein klassisches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ist der von [[Wikipedia:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] eingeführte '''Spannungstensor''' <math>\boldsymbol{\sigma}</math>, der in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden kann:


[[Chromosom 8 (Mensch)]]
<div style="margin-left:20px">
<math>
\boldsymbol{\sigma}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{x}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\
\tau_{yx}&\sigma_{y}&\tau_{yz}\\
\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{z}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\
\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\
\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}
\end{pmatrix}
</math>
</div>


[[Chromosom 9 (Mensch)]]
Der Spannungstensor bildet einen Normalvektor <math>\hat n</math> auf den entsprechenden Spannungsvektor <math>\vec T^{\hat n}</math> ab:


[[Chromosom 10 (Mensch)]]
:<math>\vec T^{(\hat n)}=\boldsymbol{\sigma} \cdot\hat n</math>


[[Chromosom 11 (Mensch)]]
== Einsteinsche Summenkonvention ==


[[Chromosom 12 (Mensch)]]
Die '''Summenkonvention''' wurde 1916 von [[Albert Einstein]] in seiner grundlegenden Arbeit über die [[Allgemeine Relativitätstheorie]] eingeführt, um die in der Tensorrechnung häufig vorkommende Summenbildung in vereinfachter übersichtlicherer Form anzuschreiben<ref>[[Albert Einstein]]: ''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie.'' In: ''Annalen der Physik.'' 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, Nummer&nbsp;7 (1916), S. 770–822, {{doi|10.1002/andp.19163540702}}</ref>. So lässt sich beispielsweise das [[Matrixprodukt]] zweier quadratischer <math>n \times n</math>-Matrizen <math>A</math> und <math>B</math>


[[Chromosom 13 (Mensch)]]
:<math>(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} \cdot B_{kj}</math> vereinfacht wie folgt anschreiben: <math>(A \cdot B)_{ij} = A_{ik} \cdot B_{kj}</math>


[[Chromosom 14 (Mensch)]]
== Siehe auch ==


[[Chromosom 15 (Mensch)]]
* {{WikipediaDE|Tensor}}
* {{WikipediaDE|Spannungstensor}}


[[Chromosom 16 (Mensch)]]
== Einzelnachweise ==


[[Chromosom 17 (Mensch)]]
<references />


[[Chromosom 18 (Mensch)]]
[[Kategorie:Algebra]]
 
[[Chromosom 19 (Mensch)]]
 
[[Chromosom 20 (Mensch)]]
 
[[Chromosom 21 (Mensch)]]
 
[[Chromosom 22 (Mensch)]]
 
 
[[Soziologie]]

Version vom 13. Oktober 2018, 14:42 Uhr

Der Spannungstensor von Cauchy in schematisch-räumlicher Darstellung
Das dreidimensionale Levi-Civita-Symbol (auch Epsilontensor oder Permutationssymbol genannt) als Beispiel für einen einfachen dreistufigen Tensor.

Ein Tensor (von lat. tendere „spannen“) ist eine algebraische Verallgemeinerung der mathematischen Begriffe von Skalar, Vektor und Matrix. Im heute gebräuchlichen, erstmals von dem deutschen Physiker Woldemar Voigt geprägten Sinn[1] versteht man darunter eine multilineare Abbildung von Skalaren, Vektoren und Tensoren auf einen resultierenden Tensor.

Der Rang bzw. die Stufe eines Tensors gibt dessen Dimensionalität an. So hat etwa ein Skalar den Rang 0, ist also ein Tensor 0-ter Stufe. Ein Vektor hat entsprechend den Rang 1, eine Matrix den Rang 2 usw. Ein klassisches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ist der von Augustin-Louis Cauchy eingeführte Spannungstensor , der in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden kann:

Der Spannungstensor bildet einen Normalvektor auf den entsprechenden Spannungsvektor ab:

Einsteinsche Summenkonvention

Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein in seiner grundlegenden Arbeit über die Allgemeine Relativitätstheorie eingeführt, um die in der Tensorrechnung häufig vorkommende Summenbildung in vereinfachter übersichtlicherer Form anzuschreiben[2]. So lässt sich beispielsweise das Matrixprodukt zweier quadratischer -Matrizen und

vereinfacht wie folgt anschreiben:

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Woldemar Voigt: Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung, Verlag von Veit & Comp., Leipzig 1898 archive.org
  2. Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, Nummer 7 (1916), S. 770–822, doi:10.1002/andp.19163540702