Symmetrie (Geometrie) und Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Asymmetric (PSF).svg|miniatur|Symmetrie und Asymmetrie]]
Die '''bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation''' oder '''bornsche Regel''' (vorgeschlagen 1926 von [[Max Born]]), ist als [[Interpretation]] der [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] [[Wellenfunktion]] ein wesentlicher Bestandteil der [[Kopenhagener Interpretation]] der Quantenmechanik. Sie beschreibt, mit welcher [[Wahrscheinlichkeit]] bei der Durchführung einer Messung an einem [[Quantensystem]] ein bestimmter Messwert auftritt. In ihrer ursprünglichen Formulierung besagt sie, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen an einem bestimmten Punkt zu finden, proportional zum Betragsquadrat der Wellenfunktion des Teilchens an diesem Punkt ist.
{{Mehrere Bilder
| Richtung    = vertical
| Kopfzeile  = Symmetrie
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[[Datei:Da Vinci Vitruve Luc Viatour 2.svg|miniatur|[[Leonardo da Vinci]]s „[[Der vitruvianische Mensch|vitruvianischer Mensch]]“]]


Mit dem [[Geometrie|geometrischen]] Begriff '''Symmetrie''' ({{grcS|συμμετρία|symmetria|variant=alt}} ''Ebenmaß, Gleichmaß'', aus σύν ''syn'' „zusammen“ und μέτρον ''metron'', Maß) bezeichnet man die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch [[Bewegung (Mathematik)|Bewegungen]] auf sich selbst [[Funktion (Mathematik)|abgebildet]] werden kann, also unverändert erscheint. Eine Umwandlung, die ein Objekt auf sich selbst abbildet, heißt ''Symmetrieabbildung'' oder '''Symmetrieoperation'''.
== Borns probabilistische Deutung der Quantenmechanik ==
In der Quantenmechanik müssen vielfach [[Wahrscheinlichkeit]]saussagen getroffen werden. Mittels der bornschen Regel kann die Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche [[Eigenwert]]e einer bestimmten [[Observable]]n berechnet werden.


Manchmal werden auch zwei (oder mehr) verschiedene geometrische Objekte als ''zueinander symmetrisch'' bezeichnet, wenn sie, zusammen betrachtet, eine symmetrische Figur bilden.
Born hat hieran eine probabilistische [[Deutung]] des quantenmechanischen Formalismus geknüpft: er erklärte <math>|\psi(\mathbf{r},t)|^2</math> als die räumliche Dichte für die Wahrscheinlichkeit, das [[Quantenobjekt]] am Ort <math>\mathbf{r}</math> zur Zeit <math>t</math> zu detektieren. So kann zwar nicht der genaue Aufenthaltsort des Teilchens, wohl aber seine [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] <math>\rho(\mathbf{r},t) = |\psi(\mathbf{r},t)|^2</math> vorhergesagt werden. Diese lässt sich bei einem Ensemble (Gruppe von ''gleichpräparierten Zuständen'' / [[Teilchen]] mit gleichen Eigenschaften) als relative [[Häufigkeitsverteilung]] deuten.


Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es folgende unterschiedliche Symmetrien:
Früher wurde <math>|\psi(\mathbf{r},t)|^2</math> auch als [[Massendichte|Massen-]] oder [[Ladungsdichte]] interpretiert.


== Symmetrien im Eindimensionalen ==
== Borns Erklärung des [[Welle-Teilchen-Dualismus]] ==
Im Eindimensionalen, also auf einer Geraden, gibt es die Symmetrie bzgl. eines einzelnen Punktes sowie die Symmetrie der [[Parallelverschiebung|Translation]] (Verschiebung).
Quantenobjekte, z.&nbsp;B. [[Photon]]en und [[Elektron]]en, zeigen bei verschiedenen [[Experiment]]en sowohl [[Welle]]n- als auch Teilcheneigenschaften.


== Symmetrien im Zweidimensionalen ==
Nach der bornschen Interpretation breitet sich ein Quantenobjekt, das durch die Wellenfunktion <math>\psi(\mathbf{r},t)</math> beschrieben wird, mit Welleneigenschaften aus. Die Wellenfunktion muss die [[Schrödingergleichung]] erfüllen:
Im Zweidimensionalen muss zwischen ''Punkt-'' und ''Achsensymmetrie'' unterschieden werden. Daneben treten auch hier Translationssymmetrien auf.


=== Rotationssymmetrie / Drehsymmetrie ===
: <math> \mathrm i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r},t) \; = \; \hat H \psi(\mathbf{r}, t) </math>
[[Datei:Regulaere Polygone Rotationssymmetrie RK03.svg |mini |Vier reguläre Polygone und zwei weitere geometrische Figuren mit den Kennzahlen ihrer Rotationssymmetrie, auch Drehsymmetrie genannt (''n''=1 bedeutet: ohne Drehsymmetrie)]]
: <math> \mbox{mit } \mathbf{r} \in \mathbb{R}^3 \mbox{ und } \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta + U(\mathbf{r}, t). </math>


Eine zweidimensionale [[geometrische Figur]] besitzt dann die Eigenschaft,  ''rotationssymmetrisch'' zu sein, wenn die Figur einen zentralen Punkt besitzt, und die Figur auf sich selbst abgebildet wird, wenn man sie um diesen Punkt dreht. Ein [[Kreis]] oder ein [[Kreisring]] sind rotationssymmetrisch im engeren Sinne. Eine Drehung um jeden beliebigen Winkel bildet sie auf sich selbst ab.
Somit werden Welleneigenschaften (bei Ausbreitung) und Teilcheneigenschaften von Quantenobjekten mit Hilfe der Wellenfunktion zusammengefasst.
 
Rotationssymmetrisch wird eine Figur auch dann genannt, wenn sie auf sich abgebildet werden kann, indem sie um einen festen Winkel <math>\varphi</math> mit 0°<<math>\varphi</math>< 360° um den zentralen Punkt gedreht wird.<ref>Die Terminologie ist nicht immer einheitlich. Man nennt die Rotationssymmetrie um einen festen Winkel auch ''Drehsymmetrie'', um sie von der Rotationssymmetrie zum Beispiel der eines Kreises zu unterscheiden.</ref> Der Drehwinkel kann nur durch Division des [[Voller Winkel |vollen Winkels]] durch eine natürliche Zahl <math>n</math>>1 entstehen, also <math>\varphi = \frac {360^\circ} n </math>. Diese Zahl <math>n</math> ist eine Kennzahl der Rotationssymmetrie und wird auch „Zähligkeit“ genannt.<ref>Kleber 2010, S. 52</ref> Entsprechend heißt diese Symmetrie auch <math>n</math>-zählige oder <math>n</math>-fache Rotationssymmetrie (analog zum Englischen „<math>n</math>-fold rotational symmetry“) oder auch "<math>n</math>-zählige Drehsymmetrie".<ref>{{Internetquelle |url=https://wiki.zum.de/wiki/Materialien_aus_Mathematik-Seminaren/SI/Drehsymmetrie |titel=Drehsymmetrie |zugriff=2019-11-20}}</ref>
 
[[Regelmäßiges Polygon |Reguläre Polygone]] sind typische drehsymmetrische Figuren. Die rechts stehende Grafik zeigt die ersten vier, wobei die jeweils größtmögliche Kennzahl <math>n</math> der Rotationssymmetrie mit eingezeichnet worden ist. Außerdem sind zwei weitere Figuren dargestellt, und zwar eine ohne und eine mit 2-facher Rotationssymmetrie. Im Trivialfall <math>n=1</math> liegt keine Rotationssymmetrie/Drehsymmetrie vor und die Kennzahl 1 wird im mathematischen Kontext nicht verwendet, es sei denn, man möchte die triviale [[zyklische Gruppe]]  <math>C_1</math> kennzeichnen, die nur aus der [[identische Abbildung|identischen Abbildung]] besteht.
 
Die [[Schoenflies-Symbolik]] legt für die Symmetrieelemente und [[Symmetriegruppe]]n der Rotationssymmetrie das Symbol <math>C_n</math> fest. Weitere Beispiele für 2-fache Rotationssymmetrie sind die weiter unten abgebildeten [[Symmetrie (Geometrie)#Punktsymmetrie|punktsymmetrischen]] Figuren. Dass punktsymmetrische Objekte stets auch rotationssymmetrisch sind, gilt jedoch nur im Zweidimensionalen.
 
=== Spiegelsymmetrie / Achsensymmetrie ===
{{Hauptartikel|Achsensymmetrie}}
[[Datei:ASyFiguren.svg |mini |Spiegelsymmetrische Objekte in der Ebene]]
[[Datei: Regulaere Polygone alle Symmetrien RK03.svg |mini| Alle Symmetrieelemente der obigen Polygone, einschließlich ihrer Spiegelsymmetriegeraden]]
 
Die ''Spiegelsymmetrie'' ist eine Form der Symmetrie, die bei Objekten auftritt, die senkrecht zu einer ''[[Symmetrieachse]]'' [[Spiegelung (Geometrie)|gespiegelt]] sind (siehe Zeichnung rechts).<ref name="meyers">''Meyers großes Taschenlexikon in 24 Bänden''. BI-Taschenbuchverlag 1992, Band 21, S. 258.</ref> Im Zweidimensionalen ist sie gleichbedeutend mit ''axialer Symmetrie'' oder ''Achsensymmetrie''. Für ''jede'' Achsenspiegelung gilt:
# Figur und Bildfigur sind deckungsgleich zueinander.
# Strecke und Bildstrecke sind gleich lang.
# Winkel und Bildwinkel sind gleich groß.
# Figur und Bildfigur haben verschiedenen Umlaufsinn, sofern in der Figur ein Umlaufssinn definiert ist.
 
==== Beispiele ====
* [[Dreieck]]e können eine oder drei Spiegelsymmetrieachsen haben: Ein [[Dreieck#Gleichschenklige Dreiecke |gleichschenkliges Dreieck]] ist achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten der Basis. [[Homogenität |Homogene]] [[Dreieck#Gleichseitige Dreiecke|gleichseitige Dreiecke]] haben drei Spiegelsymmetrieachsen, wie die nebenstehende Grafik zeigt. Die Tatsache, dass bei diesen farbig dargestellten Polygonen die Zahl der Symmetrieachsen mit der oben genannten Zähligkeit für die Drehsymmetrie jeweils übereinstimmt, gilt nicht allgemein, denn es gibt viele drehsymmetrische Objekte, die keine Spiegelsymmetrie aufweisen, beispielsweise die weiter unten abgebildeten [[Symmetrie (Geometrie)#Punktsymmetrie|punktsymmetrischen]] Formen.
* [[Viereck]]e können eine, zwei oder sogar vier Spiegelsymmetrieachsen besitzen:
** Mindestens eine Spiegelsymmetrieachse haben [[Trapez (Geometrie)|gleichschenklige Trapeze]] (durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten) und [[Drachenviereck]]e (entlang einer Diagonale).
** Mindestens zwei Spiegelsymmetrieachsen liegen vor beim [[Rechteck]] (die Mittelsenkrechten von gegenüber liegenden Seiten) und bei der [[Raute]] (beide Diagonalen).
** Das homogene [[Quadrat]] schließlich ist Rechteck und Raute zugleich und weist vier Spiegelsymmetrieachsen auf. Ist es „gefüllt“, kann sich die Anzahl reduzieren, wie die nebenstehende Grafik ebenfalls zeigt.
* [[Kreis (Geometrie)|Kreise]] und [[Kreisring]]e weisen sogar unendlich viele Symmetrieachsen auf, da sie zu jeder Achse durch den Mittelpunkt symmetrisch sind.
* Eine weitere Figur mit unendlich vielen Symmetrieachsen ist die [[Gerade]]. Da sie unendlich lang ist, ist sie symmetrisch zu jeder zu ihr senkrechten Achse sowie der auf ihr selbst liegenden Achse.
==== Achsensymmetrie von Funktionsgraphen ====
[[Datei:ASyFktGraph.svg|mini|hochkant=0.8|Achsensymmetrischer Funktionsgraph]]
 
Eine vor allem in der Schulmathematik beliebte Aufgabenstellung besteht darin, für den [[Funktionsgraph|Graphen]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] die Achsensymmetrie nachzuweisen. Dieser Nachweis ist besonders einfach im Falle der Symmetrie der ''y''-Achse des (kartesischen) [[Koordinatensystem]]s.
Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur ''y''-Achse, wenn gilt:
 
:<math>f(-x) \, = \, f(x)</math>
 
Ist sie für alle x gültig, liegt Achsensymmetrie vor, das heißt f ist eine [[gerade Funktion]].
 
Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass die Funktionswerte für die entgegengesetzt gleichen Argumente <math>x</math> und <math>-x</math> übereinstimmen müssen.
 
Allgemeiner gilt: Der Graph einer Funktion ''f'' ist genau dann achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung <math>x = a</math>, wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von ''x'' richtig ist:
 
:<math>f(a-x) \, = \, f(a+x)</math>
 
Durch Substitution von <math>x</math> mit <math>x-a</math> erhält man die äquivalente Bedingung:
 
:<math>f(2a-x) \, = \, f(x)</math>
 
=== Punktsymmetrie ===
[[Datei:PuSyFiguren.svg|mini|hochkant=1.2|Punktsymmetrische Objekte in der Ebene]]
 
{{Hauptartikel|Punktsymmetrie}}
 
Die ''Punktsymmetrie'', auch ''Zentralsymmetrie'',<ref name="meyers"/> ist eine Eigenschaft [[Geometrie|geometrischer]] Objekte. Ein geometrisches Objekt (z.&nbsp;B. ein Viereck) heißt (in sich) ''punktsymmetrisch'', wenn es eine [[Spiegelung (Geometrie)|Punktspiegelung]] gibt, die dieses Objekt auf sich [[Funktion (Mathematik)|abbildet]]. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als ''Symmetriezentrum'' bezeichnet.
 
==== Beispiele ====
* Bei einem [[Viereck]] liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein [[Parallelogramm]] handelt. Das Symmetriezentrum ist in diesem Fall der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Als Sonderfälle des Parallelogramms sind auch [[Rechteck]], [[Raute]] und [[Quadrat]] punktsymmetrisch.
* Jeder [[Kreis]] ist (in sich) punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt.
* Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen den beiden Kreismittelpunkten. Bei der Punktsymmetrie sind zueinander symmetrische Strecken immer gleich lang.
 
==== Punktsymmetrie von Funktionsgraphen ====
[[Datei:PuSyFktGraph.svg|mini|hochkant=0.8|Punktsymmetrischer Funktionsgraph]]
 
Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der [[Funktionsgraph|Graph]] einer gegebenen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden:
 
:<math>f(a+x) - b= - f(a-x) + b </math>.
 
Ist diese Gleichung für alle ''x'' erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt (''a,b'') vor. Im Spezialfall von Punktsymmetrie um dem Ursprung (0,0) vereinfacht sich diese Gleichung zu:
 
:<math>f(-x)  =  -f(x)</math>.
 
Ist sie für alle ''x'' gültig, dann liegt Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung vor.
 
=== Translationssymmetrie ===
{{Siehe auch|Translationsinvarianz}}
[[Datei:Elementarzelle Kristall.png|mini|Translationssymmetrisches Gitter]]
Figuren, die durch eine Verschiebung oder Translation (die nicht die Identität ist) in sich selbst überführt werden, haben eine '''Translationssymmetrie'''. Sie werden auch als ''periodisch'' bezeichnet.
* Figuren, die translationssymmetrisch sind, müssen zwangsläufig unbeschränkt sein. In Anwendungen der Mathematik ist dies praktisch nie gegeben, daher bezeichnet man dort auch beschränkte Teilmengen von periodischen Mengen ([[Gitter (Geometrie)|Gitter]], [[Kristallstruktur]] u. Ä.) als periodisch.
* Die Schaubilder periodischer reeller Funktionen wie der [[Sinus]]-Funktion weisen eine Translationssymmetrie in einer Richtung auf.
In einem Gitter mit den Basisvektoren <math>\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}</math> kann durch den Translationsvektor <math>\vec{T}</math> jeder Punkt durch ganzzahlige Werte von <math>u, v, w</math> erreicht werden. Der Winkel zwischen <math>\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}</math> ist dabei beliebig. Die Basisvektoren sind ebenso Transaltionsvektoren und spannen zusammen die sogenannte [[Elementarzelle|Einheitszelle]] auf.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/index.html |titel=Einführung in die Materialwissenschaft I |abruf=2020-09-26}}</ref>
:<math> \vec{T} = u * \vec{\alpha} + v * \vec{\beta} + w * \vec{\gamma}  </math>
 
=== Skalensymmetrie ===
In manchen mathematischen und physikalischen Zusammenhängen wird die Unveränderbarkeit eines Objekts unter Vergrößerung oder Verkleinerung als Skalensymmetrie oder [[Skaleninvarianz]] bezeichnet. Sehr deutlich wird dieses Phänomen bei den sogenannten [[Fraktal]]en.
 
== Symmetrien im Dreidimensionalen ==
[[Datei:Human anatomy Koerperebenen.svg|mini|Nur die mediane Sagittalebene (Medianebene) des Körpers der Bilateria ist eine Spiegelebene]]
 
=== In der Natur ===
[[Datei:Starfish.JPG|mini|Symmetrie der [[Stachelhäuter]] (Pentamerie) am Beispiel des [[Seesterne|Seesterns]]: fünfzählige Drehachse und vertikale Spiegelebenen ([[Punktgruppe]] C<sub>5v</sub> nach [[Arthur Moritz Schoenflies|Schoenflies]])]]
Der [[Bauplan (Morphologie)|Körperbau]] der weitaus meisten [[Vielzellige Tiere|Tierarten]] sowie der Aufbau vieler [[Organ (Biologie)#Pflanzenorgane|Pflanzenorgane]] ist äußerlich annähernd spiegelsymmetrisch – in der Biologie als [[Bilateralität#Biologie|bilateralsymmetrisch]] bezeichnet – mit einer linken und einer rechten Hälfte. Die einzige Symmetrieebene (Monosymmetrie) ist die anatomische [[Sagittalebene|Medianebene]], d. h. die mediane (mittig gelegene) Sagittalebene; das ist jede Ebene durch den Körper, die sich von vorne nach hinten und von oben nach unten erstreckt. 95 Prozent aller Tierarten, darunter der Mensch, sind [[Bilateria]] („Zweiseitentiere“) mit der namensgebenden [[Körper (Biologie)|Körpersymmetrie]] (bei den übrigen, sehr ursprünglichen Tieren (z. B. [[Qualle]]n) findet sich oft Rotationssymmetrie bzgl. einer Längsachse, ihre Körper ist somit ein angenäherter [[Rotationskörper]]). Aufgrund der Monosymmetrie der Bilateria lassen sich eindeutige [[Anatomische Lage- und Richtungsbezeichnungen|Ebenen und Richtungen]] des Körpers definieren, was eine anatomische Beschreibung vereinfacht. Doch die Symmetrie des Körpers ist nicht vollkommen, so sind viele einfach vorkommende (unpaare) [[Inneres Organ|innere Organe]] (z. B. Herz) von der Spiegelsymmetrie ausgenommen. Auch alle symmetrisch ausgebildeten Körperteile, beispielsweise beim Menschen [[Auge]]n, [[Ohr]]en, [[Arm]]e, [[Untere Extremität|Beine]], [[weibliche Brust|Brüste]] usw., weisen zueinander jeweils geringfügige Abweichungen in Lage, Form und Größe auf.
 
In der Zoologie wird die innerhalb der [[Bilateria]] einzigartige fünfstrahlige [[Radiärsymmetrie]] der Stachelhäuter als [[Pentamerie]] bezeichnet (d.&nbsp;h. beim [[Seestern]] verlaufen fünf Symmetrieebenen durch die zentrale Drehachse). In der Mathematik kann man die Symmetrieeigenschaften des Seesterns durch eine [[Punktgruppe |Drehgruppe]] beschreiben. (Die [[Dipleurula|Larven]] des Seesterns sind noch zweiseitig symmetrisch, wie die meisten anderen Tiere der Gruppe auch. Erst während der [[Metamorphose (Zoologie)|Metamorphose]] entwickelt sich die Pentamerie.)
 
Ohne eine Symmetrie, d. h. [[Asymmetrie|asymmetrisch]], sind die [[Gewebelose]]n ([[Schwämme]] und [[Placozoa]]).
 
=== Entsprechungen zu zweidimensionalen Symmetrieelementen ===
Der ''Achsensymmetrie'' im Zweidimensionalen entspricht die ''Spiegelsymmetrie'' bzgl. einer Ebene im Dreidimensionalen. Der ''Punktsymmetrie'' im Zweidimensionalen entspricht die ''Achsensymmetrie'' (Drehsymmetrie um 180°). Daneben gibt es noch die ''Punkt-/ Zentralsymmetrie'' im Raum und wie in der Ebene ''Translationssymmetrien''.
 
=== Rotationssymmetrie{{Anker|Rotationssymmetrie 3D}} / Drehsymmetrie{{Anker|Drehsymmetrie}} ===
[[Datei:Prismen Rotationssymmetrie RK01.svg |mini |Reguläre Prismen mit Rotationsachsen und deren Zähligkeiten (''n''=1 bedeutet: ohne Drehsymmetrie)]]
 
Dreidimensionale Objekte sind rotationssymmetrisch in engeren Sinn, wenn eine Drehung um jeden beliebigen Winkel um eine Achse (die Symmetrieachse) das Objekt auf sich selbst abbildet. Diese Art Rotationssymmetrie um eine Achse wird auch als ''Zylindersymmetrie'' bezeichnet. Dreidimensionale geometrische Objekte mit dieser Eigenschaft nennt man auch Rotationskörper.
 
Analog zum Zweidimensionalen wird der Begriff der Rotations- oder Drehsymmetrie auch angewendet, wenn der Körper durch Drehung um gewisse Winkel um eine Achse auf sich selbst abgebildet werden kann. Als Beispiele für rotationssymmetrische 3D-Objekte sind in der nebenstehenden Grafik [[Prisma (Geometrie) |Prismen]] perspektivisch dargestellt, die entstehen, wenn die 2D-Polygone der obigen Grafik ''Vier reguläre Polygone und zwei weitere geometrische Figuren mit den Kennzahlen ihrer Rotationssymmetrie'' längs einer senkrecht zur Figur liegenden Geraden im Raum verschoben werden. Bei dieser Vorgehensweise spricht man auch von einer [[Extrusion (Geometrie) |Extrusion]] des Polygons. Es entstehen gerade Prismen, spezielles [[Polyeder]], die in diesem Fall, wenn die gegebenen Polygone reguläre Polygone sind, reguläre Prismen genannt werden.
 
Das Symmetriezentrum eines 2D-Objekts wird durch die Extrusion zur Rotationsachse mit einer Pfeilspitze, durch die festgelegt werden kann, ob der Drehwinkel positiv oder negativ zu zählen ist (vgl. ''[[Korkenzieherregel]]''). Die dargestellten Symmetrien gehören zu den [[Zyklische Gruppe |zyklischen Gruppen]]  <math>C_1</math> bis <math>C_6</math> und sind [[Untergruppe]]n der jeweils vollen Symmetriegruppen der Prismen. Es ist zu beachten, dass diese 3D-Objekte weitere Rotations- und Spiegelsymmetrien besitzen. Stellvertretend für die sechs abgebildeten regulären Prismen werden im folgenden Abschnitt ''alle'' Rotationssymmetrien eines homogenen Würfels betrachtet.
 
==== Drehsymmetrien eines Würfels ====
{{Mehrere Bilder |align=right |Kopfzeile =Alle 13 Achsen der Rotationssymmetrie eines homogenen Würfels |Breite=160 |Bild1=Cube with 4-fold rotational axes RK01.png |Untertitel1=Drei 4-zählige Achsen |Bild2=Cube with 3-fold rotational axes RK01.png |Untertitel2=Vier 3-zählige Achsen |Bild3=Cube with 2-fold rotational axes RK01.png |Untertitel3=Sechs 2-zählige Achsen}}
 
Ein homogener Würfel besitzt insgesamt 13 Drehachsen (Achsen der Rotationssymmetrie), wie in der nebenstehenden Grafik dargestellt:
* 3 die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen,
* 4 die durch gegenüberliegende Ecken und
* 6 die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verlaufen.
Zählt man die Symmetrieelemente der Rotationssymmetrie des Würfels, so sind es:
Das [[neutrales Element |neutrale Element]], je 3 für 4-zählige, je 2 für 3-zählige und je eines für 2-zählige Rotationsachsen. Das sind insgesamt <math>1+3 \cdot 3+4 \cdot 2+6 \cdot 1=24</math> Symmetrieelemente.
 
Diese 24 Elemente bilden zusammen die ''Würfel-Drehgruppe''. Würfel und reguläres [[Oktaeder]] sind [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale]] [[Platonischer Körper |Platonische Körper]] und besitzen die gleichen Symmetrien. Deshalb werden die Würfel-Drehgruppe und die Oktaeder-Drehgruppe im Artikel ''[[Oktaedergruppe]]'' gemeinsam abgehandelt. Kombiniert man die Würfel-Drehgruppe mit der [[Punktspiegelung]] am Mittelpunkt des Würfels, so ergeben sich <math>2\cdot24=48</math> Elemente der ''vollen Symmetriegruppe'' des Würfels ([[#Punktsymmetrie / Inversion |s.&nbsp;u.]]).
 
=== Spiegelsymmetrie {{Anker|Spiegelebene|Symmetrieebene}}===
[[Datei:Roma Piazza del Popolo BW 1.JPG |mini |Piazza del Popolo mit den beiden (näherungsweise) spiegelsymmetrischen Kirchen ''Santa Maria di Monte Santo'' und ''Santa Maria dei Miracoli'' (und dem [[Obelisco Flaminio]])]]
[[Datei:Cube with planes of reflection RK01.png |mini |Vier Spiegelebenen von neun insgesamt und eine von 13 Rotationsachsen eines homogenen Würfels]]
 
''Spiegelsymmetrie'' wird in zwei Bedeutungen verwendet:
 
* {{Anker|Spiegelebene}}''Ein'' Körper besitzt Spiegelsymmetrie, wenn es eine Ebene gibt und die Spiegelung an dieser Ebene eine Symmetrieoperation des betrachteten Körpers ist. Das betrachtete Objekt ist nach der Spiegelung also deckungsgleich mit sich selber. Die ''Spiegelsymmetrieebene'' wird auch einfach als ''Spiegelebene''<ref name="Physik2_1989">
''Spiegelebene'' in: {{Literatur |Hrsg=Richard Lenk |Titel=Physik: Band 2/Ma–Z |Auflage=2 |Verlag=Brockhaus |Ort=Leipzig |Datum=1989 |ISBN=3-325-00192-0 |Umfang=Seiten 601-1146, 48 Tafeln |Seiten=909}}</ref> bezeichnet. In dieser Bedeutung ist die Spiegelsymmetrie ein '''[[Automorphismus]]'''. In der Mathematik wird als ''Automorphismus'' eine Abbildung eines [[Mathematisches Objekt|mathematischen Objekts]] auf sich selbst bezeichnet, bei der Objekt und abgebildetes Objekt nicht unterscheidbar sind.<ref> Der nahe liegende Begriff ''Autospiegelsymmetrie'', der diese Spiegelsymmetrie von der Spiegelsymmetrie in der ersten Bedeutung unterscheiden würde, ist nicht üblich (kein Treffer bei Google).</ref>
 
* ''Zwei'' Körper nennt man ''zueinander spiegelsymmetrisch'', wenn sie sich nur durch [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an einer Ebene unterscheiden. Umgangssprachlich spricht man von einer ''spiegelverkehrten'' Kopie (oder einem ''spiegelverkehrten'' Bild). Auf die Lage der beiden Körper im Raum kommt es dabei nicht an. Es kann also sein, dass zunächst eine [[Parallelverschiebung|Verschiebung]] und eine [[Drehung]] erforderlich sind, bevor eine gemeinsame Spiegelebene gefunden werden kann. Die beiden Kirchen ''Santa Maria di Monte Santo'' und ''Santa Maria dei Miracoli'' an der [[Piazza del Popolo]] in [[Rom]] sind (näherungsweise) spiegelsymmetrisch und stehen einander gegenüber, so dass eine Spiegelung möglicherweise ohne Verschiebung möglich wäre. Die Kirchen wären dann auch ''spiegelsymmetrisch'' in der oben beschriebenen, ersten Bedeutung des Begriffs. Ein weiteres klassisches Beispiel zweier spiegelsymmetrischer Gebäude sind die als ''King Charles Court'' und ''Queen Anne Court'' bezeichneten Gebäude der von [[Christopher Wren]] erbauten Marineakademie ''[[Old Royal Naval College |Royal Naval College]]'' in [[Greenwich (London) |Greenwich]].
 
Hochsymmetrische Objekte (wie einige der Prismen in der nebenstehenden Grafik) können sehr viele Spiegelebenen besitzen, die sich alle in einem Punkt schneiden<!--  << Stimmt das ? -->. Eine Kugel hat unendlich viele Spiegelebenen. In der Grafik rechts unten sind vier von neun Spiegelebenen und eine der 13 Rotationsachsen eines homogenen Würfels dargestellt. Die Spiegelebenen schneiden sich in der 4-zähligen Rotationsachse. Die dargestellte Symmetrie ist vom Typ einer [[Diedergruppe]] <math>D_4</math> und ist eine [[Untergruppe]] der [[Oktaedergruppe |Würfelgruppe]]. Die 48 Symmetrieelemente der Würfelgruppe insgesamt unterteilen den Würfel in 48 (äquivalente) [[Fundamentalbereich]]e.
 
=== Drehspiegelsymmetrie ===
''Drehspiegelsymmetrie'' ist die Symmetrie eines Körpers, die sich aus zwei Teiloperationen zusammensetzt. Die erste Teiloperation ist eine Drehung um eine Achse, die Drehspiegelachse, die zweite eine Spiegelung an einer Ebene rechtwinklig zur Drehachse, die Drehspiegelebene.<ref> Kleber 2010, S. 60 ff.</ref> Diese Ebene geht durch das Symmetriezentrum, durch den Mittelpunkt des Körpers. Ist die Drehspiegelebene keine Spiegelsymmetrieebene des Körpers, so sind beide Teiloperationen für sich genommen keine Symmetrieoperationen, sondern nur ihre Kombination. Auf die Reihenfolge der Teiloperationen kommt es dabei nicht an. Wir können auch zuerst die Spiegelung und dann die Drehung ausführen.
 
==== Drehspiegelsymmetrien eines Würfels ====
{{Mehrere Bilder |align=right |Kopfzeile =Ausgewählte Drehspiegelachsen und Drehspiegelebenen eines homogenen Würfels und Wirkung der Drehspiegelung |Breite=160 |Bild1=Cube with 4-fold rotation-reflection axis RK01.png |Untertitel1=Eine von drei 4-zähligen Achsen |Bild2=Cube with 6-fold rotation-reflection axis RK01.png |Untertitel2=Eine von vier 6-zähligen Achsen |Bild3=Cube with 2-fold rotation-reflection axis RK01.png |Untertitel3= Eine von sechs 2-zähligen Achsen (Inversion)}}
 
Die [[Drehspiegelung]] von Körpern auf sich selbst gehört zu den weniger bekannten, aber vielleicht interessantesten Symmetrieoperationen, die man leicht anhand von geeigneten Grafiken nachvollziehen kann. Die drei Grafiken zeigen einen Würfel und jeweils eine der Drehspiegelachsen und ihre zugehörigen Drehspiegelebenen. Um die Drehspiegelebenen von Spiegelsymmetrieebenen zu unterscheiden, werden sie als graue Kreisscheiben dargestellt, die projektiv als Ellipsen erscheinen. Für die Würfel der Grafiken wurde der Zeichenmodus ''halbtransparent'' gewählt. Da die Drehspiegelachsen auch Drehachsen sind, werden sie in der Reihenfolge der obigen Grafik ''Alle 13 Achsen der Rotationssymmetrie ...'' angeordnet.
 
Die erste der drei Grafiken zeigt eine der drei 4-zähligen Drehspiegelachsen und die zugehörige Drehspiegelebene. Die Wirkung der Drehspiegelung lässt sich nachvollziehen, wenn man die Bahn der mit einem weißen Punkt markierten Ecke verfolgt. Die Drehspiegelebene ist durch die Drehspiegelachse orientiert. Wir können deshalb sagen, der weiße Punkt liegt ''oberhalb'' der Drehspiegelebene. Nach der Drehung um 90° (rechte Handregel: Daumen in Richtung der Achse, Drehung in Richtung der anderen Finger) wird der Punkt zunächst auf die rechte obere Ecke und durch die Spiegelung auf die rechte untere Ecke abgebildet, die durch einen schwarzen Punkt markiert ist. Punkt und Bildpunkt sind durch einen Pfeil verbunden. Die erneute Drehspiegelung um 90° führt zum rechten oberen schwarzen Punkt usw. Nach vierfacher Drehspiegelung ist der Ausgangspunkt wieder erreicht.
 
Die Bahn eines Punkts des Würfels in allgemeiner Lage ist ein räumlicher, geschlossener Zickzack-Pfad um die Drehspiegelebene. Liegt der Punkt, den wir verfolgen, auf der Drehspiegelebene, ist seine Bahn ein Quadrat. Liegt er auf der Drehspiegelachse, springt er auf der Drehspiegelachse, von der Drehspiegelebene gespiegelt, viermal hin und her. Das Symmetriezentrum, der Schwerpunkt des Würfels, wird stets auf sich selbst abgebildet. Man beachte, dass die Drehspiegelebene in diesem Fall auch eine Spiegelsymmetrieebene des Würfels ist.
 
Interessant ist der in der zweiten Grafik dargestellte Fall einer von vier 6-zähligen Drehspiegelachsen. Interessant einerseits deshalb, weil die Drehspiegelebene offensichtlich keine Spiegelsymmetrieebene des Würfels ist. Andererseits, weil die 3-zählige Drehachse zur 6-zähligen Drehspiegelachse wird. Dass sie 6-zählig ist, erkennt man wiederum, wenn man die Bahn verfolgt, die ein Punkt des Würfels, zum Beispiel in der Grafik die Bahn der mit einem weißen Punkt markierten Ecke verfolgt. Durch die erste Teiloperation, eine Drehung um 60° um die Drehspiegelachse, wird der weiße Punkt auf einen Punkt abgebildet, der kein Eckpunkt ist. Die zweite Teiloperation, die Spiegelung an der Drehspiegelebene, führt zum ersten Bildpunkt, der als schwarzer Punkt markiert ist und der oberhalb der Drehspiegelebene liegt (schwarzer Punkt rechts oben). Wieder sind Punkt und Bildpunkt mit einem Pfeil verbunden. Wendet man nun die Drehspiegelung um 60° erneut auf den ersten Bildpunkt an, führt das zum zweiten schwarzen Bildpunkt rechts unten usw. Nach 6 Drehspiegelungen um jeweils 60° ist der weiße Ausgangspunkt wieder erreicht. Liegt der Punkt, den wir verfolgen, auf der Drehspiegelebene, ist seine Bahn ein [[Regelmäßiges Polygon |reguläres Sechseck]].
 
Vermutlich unerwartet ist die Wirkung der 2-zähligen Drehspiegelung, der die dritte Grafik gewidmet ist. Dargestellt ist eine der 2-zähligen Drehspiegelachsen, von denen wir, im Analogieschluss von den Drehachsen ausgehend, sechs erwarten. Führen wir die 2-zählige Drehspiegelung nach dem oben skizzierten Vorgehen aus, stellen wir fest, dass jeder Punkt des Würfels auf seinen „[[Antipode]]n“ abgebildet wird, auf den Punkt also, der auf der gegenüberliegenden Seite des Würfels liegt. Punkt und Bildpunkt liegen gemeinsam mit dem Symmetriezentrum auf einer Geraden und haben den gleichen Abstand vom Symmetriezentrum. In der Grafik sind in diesem Fall vier weiße Punkte markiert und ihre Bildpunkte als vier schwarze. Alle vier Verbindungsvektoren zwischen Punkt und Bildpunkt schneiden sich im Symmetriezentrum.
 
Interessant ist auch der Fakt, dass die Drehspiegelungen um alle sechs möglichen 2-zähligen Drehspiegelachsen zum gleichen Symmetrietyp führen. Dieser Symmetrietyp, die Punktspiegelung am Symmetriezentrum, wird in der [[Gruppentheorie]] und der [[Kristallographie]] ''Inversion'' genannt.<ref>Man beachte, dass der Name ''Inversion'' auch für die [[Kreisspiegelung |Spiegelung an einem Kreis]] benutzt wird.</ref> Man kann daher in Symmetriebetrachtungen alle 2-zähligen Drehspiegelachsen weglassen und sie durch eine einzige Operation, die Inversion, ersetzen.<ref>Schoenflies weist auf Seite 90 seiner Monographie darauf hin, dass man die zweizähligen Spiegelsymmetrieachsen, die er ''zweizählige Symmetrieaxen zweiter Art'' nennt, weglassen und nur von Inversion sprechen sollte: „Diejenige Operation, welche für die zweizählige Symmetrieaxe zweiter Art characteristisch ist, ist die Inversion, die Axe stellt daher dieselbe Symmetrieeigenschaft dar, wie ein Centrum der Symmetrie. Für ein Symmetriecentrum giebt es aber keinerlei ausgezeichnete Richtung mehr, ''jede'' zweizählige Axe zweiter Art ist ihm äquivalent. Aus diesem Grunde ist es angezeigt, die Axen zweiter Art ganz aus dem Spiele zu lassen; es könnte sich sonst leicht die irrthümliche Auffassung bilden, dass auch für sie die durch die Axe repräsentirte Richtung eine besondere Bedeutung für die bezügliche Symmetrieeigenschaft hat.“</ref>
 
Eine Drehspiegelung lässt keinen Punkt des Würfels, also keine Ecke, aber auch keine Fläche oder Kante an ihrem ursprünglichen Platz. Einziger Fixpunkt einer Drehspiegelung ist das Symmetriezentrum, der Mittelpunkt des Würfels, worauf bereits hingewiesen wurde.
 
[[Datei:Tetrahedron with 4-fold rotation-reflection axis RK01.png |mini |Eine von drei 4-zähligen Drehspiegelachsen mit Drehspiegelebene eines homogenen, regulären Tetraeders]]
 
Ein homogenes, reguläres [[Tetraedergruppe#Volle Tetraedergruppe |Tetraeder]] besitzt ebenfalls die 4-zählige Drehspiegelsymmetrie eines homogenen Würfels, wie die Grafik am Beispiel einer Achse zeigt. Wie man aus der Grafik erkennt, ist, im Unterschied zum Würfel, die Drehspiegelebene keine Spiegelsymmetrieebene des Tetraeders. In die Grafik ist auch ein Drahtgittermodell eines umhüllenden Würfels eingezeichnet.
 
==== Unterschiede zwischen Drehspiegelung und Drehung ====
Die Eigenschaften der Drehspiegelungen unterscheiden sich von denen der Drehungen:
* Drehachsen eines Körpers können auch Drehspiegelachsen des Körpers sein, aber nicht jede Drehachse ist zwangsläufig eine Drehspiegelachse. Beim Tetraeder zum Beispiel sind dessen 3-zählige Drehachsen keine Drehspiegelachsen.
* Das Produkt der Symmetrieoperation einer Drehung mit sich selbst ist stets ein neues Symmetrieelement der Gruppe. Bei einer n-zähligen Drehachse geht die Potenz bis zu (n-1). Das Produkt der Symmetrieoperation einer Drehspiegelachse mit sich selbst ist ''kein'' neues Symmetrieelement der Gruppe, sondern eine (einfache) Drehung infolge der zweifachen Spiegelung.
* Die Zähligkeiten einer Drehachse und einer gleichgerichteten Drehspiegelachse können gleich sein (beide sind 4-zählig in der ersten Grafik zum Würfel) oder sie können sich unterscheiden (3-zählig bei Drehsymmetrie und 6-zählig bei Drehspiegelsymmetrie in der zweiten Grafik).
* Zu jeder Drehspiegelachse eines Würfels gehören zwei Symmetrieelemente pro Drehspiegelachse, unabhängig von ihrer Zähligkeit. Da der Würfel drei 4-zählige und vier 3-zählige Drehspiegelachsen besitzt, gibt es <math>2 \cdot (3+4)=14</math> Drehspiegelelemente der Würfelgruppe im engeren Sinne. Hinzu kommt ''eine'' Punktspiegelung aller 2-zähligen Drehspiegelachsen, die Inversion, so dass sich 15 Drehspiegelelemente insgesamt ergeben.
 
Wie eingangs erwähnt ist die Punktspiegelung im Zweidimensionalen gleichbedeutend mit einer Drehung um 180° um den Fixpunkt und somit kein eigenes Symmetrieelement.
 
=== Punktsymmetrie / Inversionssymmetrie ===
[[Datei:Cube inversion of points RK01.png |mini |Wirkung der Punktspiegelung / Inversion für vier ausgewählte Ecken eines Würfels]]
 
Wie im vorangegangenen Abschnitt beschrieben, ist die ''[[Punktsymmetrie]]'' oder ''Inversionssymmetrie'' die Symmetrie eines Körpers bezüglich eines Punkts, des Symmetriezentrums. Jeder Punkt tauscht mit dem Punkt, der auf der Geraden, die von diesem Punkt durch das Zentrum geht und auf der anderen Seite des Zentrums im gleichen Abstand liegt, seine Position. Es handelt sich um eine [[Spiegelung (Geometrie)#Punktspiegelung |Punktspiegelung]] des Körpers auf sich selbst. Die Punktspiegelung, lässt keinen Punkt des Körpers an seinem ursprünglichen Platz, mit einer Ausnahme: Einziger Fixpunkt einer Drehspiegelung ist das Symmetriezentrum, der Mittelpunkt des Körpers.
 
Die Grafik zeigt die Abbildung von vier ausgewählten Ecken (weiße Punkte) eines Würfels durch Inversion (schwarze Punkte). Umgekehrt werden alle schwarzen Punkte auf die weißen abgebildet. Die Grafik ist eine Wiederholung der dritten obigen Grafik (''Ausgewählte Drehspiegelachsen ...'') ohne 2-zählige Drehspiegelachse und Drehspiegelebene.
 
Die homogenen Platonischen Körper ''Würfel'', ''[[Oktaeder]]'', ''[[Dodekaeder]]'' und ''[[Ikosaeder]]'' sind punktsymmetrisch. Der einfachste Platonische Körper dagegen, das [[Tetraedergruppe |reguläre Tetraeder]], ist es nicht.
 
Im Fall des Würfels hatten sich (einschließlich der Inversion) 15 Drehspiegelsymmetrien ergeben. Zusammen mit den 9 Spiegelebenen ergibt das 24 Symmetrieelemente, also genau so viele, wie es Elemente der Würfel-Drehgruppe gibt. Das ist kein Zufall, denn jedes Spiegel- oder Drehspiegelelement lässt sich als eine Kombination aus einer Drehung und einer Inversion interpretieren. In diesem Sinne besitzt die Inversion eines inversionssymmetrischen Körpers eine ähnlich herausgehobene Stellung wie das neutrale Element innerhalb einer Symmetriegruppe.
 
=== Kugelsymmetrie ===
{{Siehe auch|Radialsymmetrie}}
Rotationssymmetrie um jede beliebige Achse durch denselben Punkt ist ein Spezialfall der Rotationssymmetrie und wird als Kugelsymmetrie bzw. Radialsymmetrie bezeichnet. [[Stern]]e sind z.&nbsp;B. annähernd kugelsymmetrisch, da deren Eigenschaften (wie z.&nbsp;B. die Dichte) zwar nicht überall gleich sind, aber nur vom Abstand zum Mittelpunkt abhängen. Auch deren Schwerefelder sowie z.&nbsp;B. das elektrische Feld einer geladenen Kugel sind kugelsymmetrisch.
 
== Kombinationen ==
Aus der Möglichkeit, Symmetrieoperationen zu kombinieren, lassen sich die symmetrischen Grundoperationen herleiten:
# Identität (Null-Operation, keine Veränderung)
# Rotation ([[Drehung]])
# Rotation – [[Inversion (Geometrie)|Inversion]] ([[Drehspiegelung]])
# [[Parallelverschiebung|Translation]] (Verschiebung)
# [[Gleitspiegelung]]
# [[Schraubung]]
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Symmetrie (Geometrie)}}
* [[Symmetrie (Physik)}}
* [[Symmetriegruppe}}


== Literatur ==
== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Hermann Weyl]] |Titel=Symmetrie: Ergänzt durch den Text „Symmetry and Congruence'“ aus dem Nachlass und mit Kommentaren von Domenico Giulini, Erhard Scholz und Klaus Volkert. Übersetzerin Lulu Hofmann Bechtolsheim |Auflage=3 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2017 |ISBN=9783662527115 |Umfang=VII, 232 |Online={{Google Buch |BuchID=_jh4DQAAQBAJ}} |Zugriff=2019-07-23}} Reprint des Originals von 1952 in {{Literatur |Autor=Hermann Weyl |Titel=Symmetry |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton, NJ |Datum=2015 |Umfang=176 |Online={{Google Buch |BuchID=GG1FCQAAQBAJ}} |Zugriff=2019-07-23}}
* {{Literatur |Autor=Max Born |Titel=Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge |Sammelwerk=Zeitschrift für Physik |Band=37 |Nummer=12 |Datum=1926 |Seiten=863–867 |DOI=10.1007/BF01397477 |Online=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF01397477.pdf |Format=pdf}}
* H. Schupp: ''Elementargeometrie''. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 35, 45.
* {{Literatur |Autor=Will Kleber ''et al.'' |Titel=Einführung in die Kristallographie |Auflage=19., verbesserte Auflage |Verlag=Oldenburg Verlag |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-486-59075-3 |Umfang=470 |Online={{Google Buch |BuchID=UvOw8tc8LJEC |Seite=52 |Hervorhebung = Zähligkeit}} |Zugriff=2019-08-18}}
* Werner Hahn: ''Symmetrie als Entwicklungsprinzip in Natur und Kunst''. Mit einem Vorwort von Rupert Riedl. Königstein i. Ts. ([[Verlag Langewiesche]]) 1989.
* {{EoM | Autor = M.I. Voitsekhovskii | Titel = Symmetry | Url = http://eom.springer.de /S/s091760.htm}}
* {{Literatur |Autor=Arthur Schoenflies |Titel=Krystallsysteme und Krystallstructur |Verlag=Teubner |Ort=Leipzig |Datum=1891 |Umfang=XII, 638 S. |Online=[https://archive.org/details/krystallsysteme00schogoog/page/n4 Online-Ressourcen]}}


== Weblinks ==
== Weblinks ==
{{Commonscat|Symmetry|Symmetrie}}
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/qm/#Dyn|Quantum Mechanics|Jenann Ismael}}
{{wiktionary}}
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
{{Normdaten|TYP=s|GND=4058724-1}}


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{{Wikipedia}}
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Version vom 19. April 2019, 15:35 Uhr

Die bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation oder bornsche Regel (vorgeschlagen 1926 von Max Born), ist als Interpretation der quantenmechanischen Wellenfunktion ein wesentlicher Bestandteil der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik. Sie beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei der Durchführung einer Messung an einem Quantensystem ein bestimmter Messwert auftritt. In ihrer ursprünglichen Formulierung besagt sie, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen an einem bestimmten Punkt zu finden, proportional zum Betragsquadrat der Wellenfunktion des Teilchens an diesem Punkt ist.

Borns probabilistische Deutung der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik müssen vielfach Wahrscheinlichkeitsaussagen getroffen werden. Mittels der bornschen Regel kann die Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Eigenwerte einer bestimmten Observablen berechnet werden.

Born hat hieran eine probabilistische Deutung des quantenmechanischen Formalismus geknüpft: er erklärte als die räumliche Dichte für die Wahrscheinlichkeit, das Quantenobjekt am Ort zur Zeit zu detektieren. So kann zwar nicht der genaue Aufenthaltsort des Teilchens, wohl aber seine Wahrscheinlichkeitsdichte vorhergesagt werden. Diese lässt sich bei einem Ensemble (Gruppe von gleichpräparierten Zuständen / Teilchen mit gleichen Eigenschaften) als relative Häufigkeitsverteilung deuten.

Früher wurde auch als Massen- oder Ladungsdichte interpretiert.

Borns Erklärung des Welle-Teilchen-Dualismus

Quantenobjekte, z. B. Photonen und Elektronen, zeigen bei verschiedenen Experimenten sowohl Wellen- als auch Teilcheneigenschaften.

Nach der bornschen Interpretation breitet sich ein Quantenobjekt, das durch die Wellenfunktion beschrieben wird, mit Welleneigenschaften aus. Die Wellenfunktion muss die Schrödingergleichung erfüllen:

Somit werden Welleneigenschaften (bei Ausbreitung) und Teilcheneigenschaften von Quantenobjekten mit Hilfe der Wellenfunktion zusammengefasst.

Literatur

Weblinks


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