Atomorbital und Raum (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Atom-schematic de.svg|mini|Schematische Darstellung des Atoms mit Kern und Elektronenhülle (nicht maßstäblich, sonst wäre der untere Pfeil ca. 50 m lang).]]
{{Doppeltes Bild|rechts|Vector-addition-and-scaling.svg|200|CoordsXYZ.JPG|200|Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor '''v''' (blau) wird zu einem anderen Vektor '''w''' addiert (rot, unten). Oben wird '''w''' um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe {{nowrap|'''v''' + 2·'''w.'''}}|Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum}}


'''Atomorbitale''' beschreiben die [[Energie]] und [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit]] der [[Elektron]]en in der [[Elektronenhülle]] eines [[Atom]]s. Experimentell kann die Verteilung der '''Elektronendichte''' bei [[kristall]]isierbaren Materialien bis zu einem gewissen Grad mittels  [[Röntgenstrukturanalyse]] bestimmt werden.
Ein '''Raum''' ist in der [[Mathematik]] als [[Abstraktion|abstrakte]] Verallgemeinerung des uns gewohnten [[Anschauungsraum]]s als eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] [[Mathematisches Objekt|mathematischer Objekte]] mit einer [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]] definiert. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.


== Quantenmechanische Beschreibung der Atomorbitale ==
== Vektorraum ==
[[Datei:Hydrogen Density Plots.png|mini|400px|Elektronendichteverteilung in der Hülle des [[Wasserstoff]]-Atoms]]
Ein '''Vektorraum''' besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die '''Vektoren''' (von [[lat.]] ''vector'' „Träger, Fahrer“) genannt werden und addiert, subtrahiert oder mit einem [[Skalar]] (z.B. einer [[Zahl]]) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die [[Assoziativgesetze]] und [[Distributivgesetze]] erfüllt sind. Die Vektoren werden geometrisch-symbolisch in der Regel als Pfeile mit bestimmter Länge und Richtung dargestellt. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise [[Reelle Zahlen|reelle]] oder [[komplexe Zahlen]], [[Zahlentupel]], [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] oder [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] verwendet werden. Die Skalare entstammen einem bestimmten [[Körper (Mathematik)|Körper]], z.B. dem Körper <math>\mathbb R</math> der reellen Zahlen oder dem Körper <math>\mathbb C</math> der komplexen Zahlen, weshalb ein Vektorraum stets ''über'' einem bestimmten Körper definiert ist. Im gegebenen Fall handelt es sich dann beispielsweise um einen '''reellen''' oder '''komplexen Vektorraum'''.
Entsprechend der [[Quantenhypothese]] unterliegen Elektronen dem [[Welle-Teilchen-Dualismus]] und können daher weder als genau lokalisierbare materielle [[Teilchen]] aufgefasst werden, noch kann ihnen eine definierte Bahn um den [[Atomkern]] zugeschrieben werden. Vielmehr halten sie sich nur mit einer quantenmechanisch berechenbaren [[Aufenthaltswahrscheinlichkeit]] in bestimmten räumlichen Bereichen auf, eben den Atomorbitalen, deren Form und Ausdehnung durch verschiedene '''Quantenzahlen''' bestimmt ist. [[Quantenmechanik|Quantenmechanisch]] betrachtet handelt es sich bei den Atomorbitalen um [[Wellenfunktion]]en <math>\psi</math>, die sich als Lösungen der [[Schrödingergleichung]] ergeben.


:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\vert\psi(\mathbf{r},t)\rangle = \hat H\vert\psi(\mathbf{r},t)\rangle</math>
Als '''Ortsvektor''' (auch '''Radiusvektor''' oder '''Positionsvektor''') eines Punktes <math>\overrightarrow P</math> wird ein Vektor <math>\overrightarrow{OP}</math> bezeichnet, der von einem festgelegten Punkt <math>\overrightarrow O</math> (meist dem Ursprung des [[Koordinatensystem]]s) zu diesem Punkt zeigt.


Darin bedeutet <math>\mathrm i</math> die [[imaginäre Einheit]], <math>\psi(\mathbf{r},t)</math> die vom [[Ort]] <math>\mathbf{r}</math> und der [[Zeit]] <math>t</math> abhängige [[komplex]]e '''Wellenfunktion''', <math>\hbar = \frac{h}{2\pi}</math> das reduzierte [[Plancksches Wirkungsquantum|Plancksche Wirkungsquantum]] und <math>\hat{H}</math> den [[Hamiltonoperator]] (Energieoperator) des betrachteten Systems.
== Vektorrechnung ==


Da es sich bei der Beschreibung der Elektronenhülle um ein stationäres System handelt, ist der folgende Lösungsansatz naheliegend:
In der '''Vektorrechnung''' sind verschiedene Rechenoperationen für Vektoren definiert. Die Vektoren können dazu als '''Spaltenvektor''' oder in Komponentenschreibweise angeschrieben werden. Die wichtigsten Rechenoperationen zeigt die nachstehende Tabelle:


:<math>|\,\psi (t) \rangle = e^{-\mathrm i\omega t}|\,\psi (0) \rangle</math>
[[Bild:Epsilontensor.svg|mini|Matrixdarstellung des [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] ]]
[[Datei:Cross product parallelogram.svg|miniatur|Veranschaulichung des Kreuzprodukts]]
{|class="wikitable"
!Rechenoperation
!Spaltenvektoren
!Komponentenschreibweise
|-
|Addition/Subtraktion
|<math>
\vec c = \vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1\pm b_1 \\ a_2\pm b_2 \\ a_3 \pm b_3\end{pmatrix}
</math>
|<math> c_i = a_i \pm b_i</math>
|-
|Skalarprodukt
|<math>
c = \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3</math>
|<math>c = \sum_i a_i b_i </math>
|-
|Betrag
|<math>a = |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}</math>
|<math>a = \sqrt{\sum_i a_i^2}</math>
|-
|Kreuzprodukt<br />(Vektorprodukt)
|<math>
\vec c = \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}
</math>
| <math>c_i = \sum_{jk} \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k}</math><ref group="Anm.><math>\varepsilon_{ijk}</math> ist das [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.</ref>
|}
;Anmerkungen
<references group="Anm."/>


Die Zeitabhängigkeit wird hier durch den periodischen Faktor <math>e^{-\mathrm i\omega t}</math> mit der konstanten [[Frequenz]] <math>\omega</math> ausgedrückt. Für den zeitunabhängigen Faktor ergibt sich daraus die [[Eigenwertgleichung]], aus der sich die [[Energie]] der Orbitale berechnen lässt:
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Raum (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Vektor}}


:<math>\hat{H} |\,\psi (0) \rangle = E |\,\psi (0) \rangle</math>
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Raum|201]]


=== Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation ===
{{Wikipedia}}
 
Nach der 1926 von [[Wikipedia:Max Born|Max Born]] (1882-1970) vorgeschlagenen statistischen Deutung der Quantenmechanik entspricht das Betragsquadrat der Wellenfunktion <math>|\psi\left(\mathbf{r}, t\right)|^2</math> der '''Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte''' des Teilchens. Dazu muss die Wellenfunktion allerdings so ''normiert'' werden, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit = 1 ist:
 
:<math>\int |\psi(\mathbf{r},t)|^2\;\mathrm{d}r = 1</math>
 
=== Quantenzahlen ===
[[Datei:Single electron orbitals.jpg|mini|400px|Schematische Darstellung verschiedener Atomorbitale]]
Die '''Elektronenkonfiguration''' der Elektronenhülle wird durch vier '''Quantenzahlen''' bestimmt:
 
* Die '''Hauptquantenzahl''' <math>\,n =1,\,2,\,3\,\ldots</math> beschreibt das Hauptenergieniveau bzw. die sog. '''Schale''', in der sich das Elektron aufhält.
* Die '''Nebenquantenzahl''' oder '''Drehimpulsquantenzahl''' <math>l = 0,\, 1,\,2\,\,\ldots<n</math> charakterisiert die [[Symmetrie]] der sog. '''Atomorbitale''', in denen sich die Elektronen aufhalten. Da es sich bei der Elektronenbewegung im Prinzip um [[Schwingung]]svorgänge bzw. um stehende [[Welle]]n handelt, die mathematisch durch die [[Schrödingergleichung]] beschrieben werden, ähneln sie nicht zufällig den [[Chladnische Klangfiguren|Chladnischen Klangfiguren]]. Die '''Orbitale''' werden dabei üblicherweise mit folgenden Buchstaben bezeichnet, die historisch aus der [[Spektroskopie]] übernommen wurden:
** '''s''' für <math>l = 0</math> (ursprünglich für ‚scharf‘, z.&nbsp;B. „'''s'''-Zustand“) - kugelsymmetrisch
** '''p''' für <math>l = 1</math> (ursprünglich für engl. {{lang|en|‚principal‘}}, ‚Haupt‘-Zustand) - hantelförmig
** '''d''' für <math>l = 2</math> (ursprünglich für ‚diffus‘) - gekreuzte Doppelhantel
** '''f''' für <math>l = 3</math> (ursprünglich für ‚fundamental‘) - rosettenförmig
** '''g''' für <math>l = 4</math> (alphabetische Fortsetzung) - rosettenförmig
** '''h''' für <math>l = 5</math> (alphabetische Fortsetzung) - rosettenförmig
* Die '''magnetische Quantenzahl''' oder '''Richtungsquantenzahl''' <math>m_l = -l, -(l-1), \dotsc, 0, \dotsc, (l-1), l</math> bestimmt die räumliche Orientierung der Orbitale. Entsprechend der magnetischen Quantenzahl gibt es je ''Unterschale'' 1 '''s-Orbital''', 3 '''p-Orbitale''', 5 '''d-Orbitale''', 7 '''f-Orbitale''', 9 '''g-Orbitale''' und 11 '''h-Orbitale''', von denen jedes nach dem [[#Pauli-Prinzip|Pauli-Prinzip]] (siehe unten) zwei durch ihre Spinrichtung unterscheidbare Elektronen aufnehmen kann. Die Orbitale mit gleicher Haupt- und Nebenquantenzahl liegen auf dem gleichen [[Energie]]niveau und werden als '''entartet''' bezeichnet.
* Die '''Spinquantenzahl''' <math>s</math> kann für Elektronen nur die Werte <math>-\frac1{2}</math> und <math>+\frac1{2}</math> annehmen und charakterisiert den abstrakt-formalen ''Eigendrehimpuls'', den [[Spin]], des Elektrons.
 
Die Konfiguration der äußersten [[Elektronenschale]], der sogenannten [[Valenzschale]], welche die [[Valenzelektronen]] (auch: ''Außenelektronen'') enthält, bestimmt die [[Chemie|chemischen Eigenschaften]] und den Platz im [[Periodensystem der chemischen Elemente]].
 
=== Pauli-Prinzip ===
 
Nach dem 1925 von [[Wolfgang Pauli]] formulierten und für alle [[Fermionen]] gültigen [[Pauli-Prinzip]] (auch ''Pauli-Verbot'' oder ''Paulisches Ausschließungsprinzip'') dürfen dabei die Elektronen der Hülle nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen. Jedes Atomorbital kann daher von maximal zwei Elektronen besetzt werden, die sich durch ihren Spin unterscheiden. Die Elektronen können sich daher nicht im untersten, energieärmsten Atomorbital zusammendrängen, sondern müssen sich auch auf höhere, ausgedehntere und energiereichere Orbitale verteilen und bedingen dadurch die relativ große Ausdehnung der Elektronenhülle, die oben schon durch die [[Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation]] gerechtfertigt wurde. Das Pauli-Prinzip folgt aus der Tatsache, dass die Elektronen - wie alle gleichartigen [[Quantenobjekt]]e - prinzipiell [[ununterscheidbar]] sind, was nochmals verdeutlicht, dass Elektronen nicht als materielle, sondern als ideelle „Objekte“, also als [[Idee]]n aufzufassen sind, die das Auftreten bestimmter [[Messung|messbarer]] Eigenschaften („[[Observable]]n“) wie z.B. der [[Elektrische Ladung|elektrischen Ladungsdichte]] [[Naturgesetz|gesetzmäßig]] regeln.
 
=== Aufbauprinzip ===
[[Datei:Klechkovski rule.svg|mini|hochkant=0.7|Besetzungsreihenfolge der Atomorbitale entlang der roten Pfeile.]]
 
Das '''Aufbauprinzip''' der Elektronenhülle beruht darauf, dass die Atomorbitale schrittweise in Richtung zunehmender [[Energie]] aufgefüllt werden. Die Energieniveaus folgen dabei der empirisch gefundenen <math>n+l</math>-Regel (''Madelung-Regel''), wonach Orbitale mit kleinerem <math>n+l</math>-Wert energetisch tiefer liegen. Bei gleichen Werten ist ist das Orbibtal mit kleinerem <math>n</math> begünstigt. Daraus ergibt sich folgende Besetzungsreihenfolge, von der es nur ganz seltene Ausnahmen gibt ([[Lanthan]], [[Kupfer]], [[Chrom]]):
 
<center>1s ⇒ 2s ⇒ 2p ⇒ 3s ⇒ 3p ⇒ 4s ⇒ 3d ⇒ 4p ⇒ 5s ⇒ 4d ⇒ 5p ⇒ 6s ⇒ 4f ⇒ 5d ⇒ 6p ⇒ 7s ⇒ 5f ⇒ 6d ⇒ 7p</center>
 
Entartete Energieniveaus (z.B. die p<sub>x</sub>-, p<sub>y</sub>- und p<sub>z</sub>-Orbitale) werden nach der '''Hundschen Regel''' zuerst mit je einem Elektron mit parallelem Spin besetzt, womit eine größtmögliche räumliche Verteilung der Elektronen und ein maximaler Gesamtspin <math>S</math> erzielt wird.<ref>Eric R. Scerri: ''How Good Is the Quantum Mechanical Explanation of the Periodic System?'', in: Journal of Chemical Education. 75, Nr. 11, 1998, S. 1384–85. {{doi|10.1021/ed075p1384}} [https://pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/ed075p1384 pdf]</ref>
 
Aus dem Aufbauprinzip ergibt sich unmittelbar der Aufbau des [[Periodensystem]]s, insbesondere auch die Unterscheidung von [[Hauptgruppe|Haupt]]- und [[Nebengruppe]]n.
 
== Hybridorbitale ==
[[Datei:Ch4 hybridization.svg|mini|Die 4 nach den Ecken eines Tetraeders ausgerichteten bindenden sp<sup>3</sup>-Hybridorbitale des [[w:Methan|Methan]]s (CH<sub>4</sub>), durch die 4 Wasserstoffatome kovalent an das zentrale Kohlenstoffatom gebunden sind.]]
 
Um die [[Molekülgeometrie|geometrischen Verhältnisse]] von [[Molekül]]en wirklichkeitsgetreuer zu beschreiben, führte [[w:Linus Pauling|Linus Pauling]] um 1931 das Konzept der '''Hybridorbitale''' ein. Er nützte dabei die Tatsache aus, dass alle Linearkombinationen der [[Wellenfunktion]]en, die sich als Lösungen der Schrödingergleichung ergeben, gültige Lösungen derselben sind.
 
Ein Beispiel möge dies verdeutlichen: Ein [[Kohlenstoff]]atom (C) verbindet sich mit vier [[Wasserstoff]]atomen (H) zu dem [[Kohlenwasserstoff]] [[w:Methan|Methan]] (CH<sub>4</sub>). Wasserstoff verfügt nur über ein einziges Elektron, das sich im Grundzustand im 1s-Orbital aufhält. Kohlenstoff hat insgesamt 6 Elektronen, von denen sich zwei in der inneren 1s-Schale befinden, die an der Bindung unbeteiligt ist. Die restlichen 4 Elektronen befinden sich in der 2. Schale und verteilen sich auf das kugelsymmetrische 2s-Orbital und die drei hantelförmigen 2p-Orbitale, d.h. auf 2p<sub>x</sub>, 2p<sub>y</sub> und 2p<sub>z</sub>, die rechtwinkelig zueinander stehen. Da die [[kovalente Bindung]] der 4 Wasserstoffatome an den Kohlenstoff durch Überlagerung der äußeren Atomorbitale erfolgt, müssten theoretisch unterschiedliche Bindungen entstehen je nach dem, ob sich das 1s-Orbital des Wasserstoffs mit dem 2s-Orbital oder einem der drei 2p-Orbitale des Kohlenstoffs überlagert. Empirisch zeigt sich allerdings, dass alle 4 Bindungen völlig gleichwertig und nach den Ecken eines [[Tetraeder]]s ausgerichtet sind. Das Problem lässt sich lösen, wenn man das 2s-Orbital und die drei 2p-Orbitale durch Linearkombination zu vier gleichwertigen sp<sup>3</sup>-Hybridorbitalen umwandelt, die tetraedrisch ausgerichtet und mit je einem Elektron besetzt sind.
 
== Literatur ==
 
* [[Viktor Gutmann]], Edwin Hengge: ''Allgemeine und anorganische Chemie'', 5. Auflage, Verlag Chemie, Weinheim 1990, ISBN 978-3527281596
* A. F. Holleman, E. Wiberg, N. Wiberg: ''Lehrbuch der Anorganischen Chemie'', 102. Auflage, de Gruyter, Berlin 2007, ISBN 978-3-11-017770-1
* K. P. C. Vollhardt, Neil E. Schore, Holger Butenschön (Hrsg.): ''Organische Chemie'', 5. Auflage, Wiley-VCH 2011, ISBN 978-3527327546
* Paula Y. Bruice: ''Organische Chemie: Studieren kompakt'', 5. Auflage, Pearson Studium 2011, ISBN 978-3868941029, eBook {{ASIN|B00QV6QM0O}}
 
[[Kategorie:Quantenphysik]] [[Kategorie:Atom]] [[Kategorie:Chemie]] [[Kategorie:Materie]]

Version vom 8. August 2019, 17:58 Uhr

Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, unten). Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w. Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum
Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, unten). Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w.
Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum

Ein Raum ist in der Mathematik als abstrakte Verallgemeinerung des uns gewohnten Anschauungsraums als eine Menge mathematischer Objekte mit einer mathematischen Struktur definiert. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.

Vektorraum

Ein Vektorraum besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die Vektoren (von lat. vector „Träger, Fahrer“) genannt werden und addiert, subtrahiert oder mit einem Skalar (z.B. einer Zahl) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die Assoziativgesetze und Distributivgesetze erfüllt sind. Die Vektoren werden geometrisch-symbolisch in der Regel als Pfeile mit bestimmter Länge und Richtung dargestellt. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen verwendet werden. Die Skalare entstammen einem bestimmten Körper, z.B. dem Körper der reellen Zahlen oder dem Körper der komplexen Zahlen, weshalb ein Vektorraum stets über einem bestimmten Körper definiert ist. Im gegebenen Fall handelt es sich dann beispielsweise um einen reellen oder komplexen Vektorraum.

Als Ortsvektor (auch Radiusvektor oder Positionsvektor) eines Punktes wird ein Vektor bezeichnet, der von einem festgelegten Punkt (meist dem Ursprung des Koordinatensystems) zu diesem Punkt zeigt.

Vektorrechnung

In der Vektorrechnung sind verschiedene Rechenoperationen für Vektoren definiert. Die Vektoren können dazu als Spaltenvektor oder in Komponentenschreibweise angeschrieben werden. Die wichtigsten Rechenoperationen zeigt die nachstehende Tabelle:

Matrixdarstellung des Levi-Civita-Symbol
Veranschaulichung des Kreuzprodukts
Rechenoperation Spaltenvektoren Komponentenschreibweise
Addition/Subtraktion
Skalarprodukt
Betrag
Kreuzprodukt
(Vektorprodukt)
[Anm. 1]
Anmerkungen
  1. ist das Levi-Civita-Symbol und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.

Siehe auch


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Raum (Mathematik) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.