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imported>Joachim Stiller |
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| [[Datei:Example of a set.svg|mini|Eine Menge von Polygonen]] | | #REDIRECT [[Methodenpluralismus]] |
| [[Datei:Set subsetAofB.svg|mini||''A'' ist eine (echte) '''Teilmenge''' von ''B''.]]
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| Die '''Menge''' (von {{mhd|''manic''}} „viel“) fasst eine endliche oder unendliche [[Anzahl]] beliebiger, wohlunterschiedener '''Elemente''' zu einer Gesamtheit zusammen und ist heute eines der grundlegendsten Konzepte der [[Mathematik]].
| | [[Kategorie:Methodologie]] |
| | | [[Kategorie:Pluralismus]] |
| Vereinbarungsgemäß werden die Elemente einer Menge entweder explizit oder durch eine geeignete Definition innerhalb geschwungener Klammern angegeben, z.B. für die abzählbar unendliche Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb{N} = \{1; 2; 3; \ldots\}</math>. Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als '''leere Menge''' <math>\emptyset</math> oder auch <math>\{\}</math> bezeichnet. Wird bei einer Menge auch die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt, spricht man von einer [[Folge (Mathematik)|Folge]].
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| Die '''Mengenlehre''' wurde in der Zeit von 1874 bis 1897 von [[Wikipedia:Georg Cantor|Georg Cantor]] (1845-1918) begründet. Er definierte den [[Begriff]] „Menge“ wie folgt:
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| {{Zitat|Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.|Georg Cantor<ref>Georg Cantor: ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.'' In: ''[[Wikipedia:Mathematische Annalen|Mathematische Annalen]]'' 46 (1895), S. 481. [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0069&LOGID=LOG_0069&PHYSID=PHYS_0295 Online].</ref>}}
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| Cantor prägte auch den Begriff der '''Teilmenge''' oder ''Untermenge''. <math>A</math> ist eine '''Untermenge''' (Teilmenge) von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine '''Obermenge''' von <math>A</math>, wenn jedes Element von <math>A</math> auch in <math>B</math> enthalten ist:
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| ::<math>A \subseteq B \Longleftrightarrow B \supseteq A: \forall x \in A\colon x \in B</math>
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| Enthält <math>B</math> zudem weitere Elemente, die nicht in <math>A</math> enthalten sind, so ist <math>A</math> eine '''echte Teilmenge''' von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine '''echte Obermenge''' von <math>A</math>.
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| Die '''Mächtigkeit''' oder ''Kardinalität'' einer Menge wird durch die '''Kardinalzahl''' angegeben. Für endliche Menge ist sie gleich der [[Anzahl]] ihrer Elemente. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben, die durch den [[Hebräisches Alphabet|hebräischen Buchstaben]] <math>\aleph</math> und einen Index bezeichnet werden. Für die abzählbar unendliche Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]], die unter den unendlichen Mengen die geringste Mächtigkeit haben, schreibt man entsprechend <math>\aleph_0</math>. Die ''überabzählbare'' unendliche Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] hat unter Annahme der [[Wikipedia:Kontinuumshypothese|Kontinuumshypothese]]<ref>Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Diese Hypothese hat sich aber als ''[[unentscheidbar]]'' erwiesen.</ref> die Mächtigkeit <math>\aleph_1</math>, andernfalls gilt zumindest <math>\aleph_1 \le \left\vert\mathbb{R}\right\vert</math>.
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| == Einzelnachweise ==
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| <references />
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| [[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Mengenlehre]]
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