Raum (Mathematik) und Kategorie:Schulwesen: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Doppeltes Bild|rechts|Vector-addition-and-scaling.svg|200|CoordsXYZ.JPG|200|Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor '''v''' (blau) wird zu einem anderen Vektor '''w''' addiert (rot, unten). Oben wird '''w''' um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe {{nowrap|'''v''' + 2·'''w.'''}}|Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum}}
Diese Kategorie erfasst Artikel zu allgemeinen '''Begriffen''' des [[Schule|Schulwesen]]s.


Ein '''Raum''' ist in der [[Mathematik]] als [[Abstraktion|abstrakte]] Verallgemeinerung des uns gewohnten [[Anschauungsraum]]s als eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] [[Mathematisches Objekt|mathematischer Objekte]] mit einer [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]] definiert, z.B. als [[#Vektorraum|Vektorraum]] oder als [[topologischer Raum]] bzw. als [[Mannigfaltigkeit]]. Auf die [[Anschaulichkeit]] wird dabei verzichtet.
'''{{WikipediaDE|Kategorie:Schulwesen}}'''


== Vektorraum ==
[[Kategorie:Sozilae Teilstrukturen]]
Ein <math>n</math>-dimensionaler '''Vektorraum''' <math>V</math> besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die '''Vektoren''' (von [[lat.]] ''vector'' „Träger, Fahrer“) genannt werden und addiert, subtrahiert oder mit einem [[Skalar]] (z.B. einer [[Zahl]]) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die [[Assoziativgesetze]] und [[Distributivgesetze]] erfüllt sind. Einen Vektorraum, dessen Elemente als [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] betrachtet werden, bezeichnet man als '''Funktionenraum'''.
[[Kategorie:Schulwesen|!]]
 
[[Kategorie:Bildung]]
Die Vektoren werden geometrisch-symbolisch in der Regel als Pfeile mit bestimmter Länge und Richtung dargestellt. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise [[Reelle Zahlen|reelle]] oder [[komplexe Zahlen]], [[Zahlentupel]], [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] oder [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] verwendet werden. Die Skalare entstammen einem bestimmten [[Körper (Mathematik)|Körper]], z.B. dem Körper <math>\mathbb R</math> der reellen Zahlen oder dem Körper <math>\mathbb C</math> der komplexen Zahlen, weshalb ein Vektorraum stets ''über'' einem bestimmten Körper definiert ist. Im gegebenen Fall handelt es sich dann beispielsweise um einen '''reellen''' oder '''komplexen Vektorraum'''.
 
Als '''Ortsvektor''' (auch '''Radiusvektor''' oder '''Positionsvektor''') eines Punktes <math>\overrightarrow P</math> wird ein Vektor <math>\overrightarrow{OP}</math> bezeichnet, der von einem festgelegten Punkt <math>\overrightarrow O</math> (meist dem Ursprung des [[Koordinatensystem]]s) zu diesem Punkt zeigt.
 
=== Basis ===
 
Die '''Basis''' eines Vektorraums wird durch eine Menge von '''Basisvektoren''' gebildet, durch als deren endliche [[Linearkombination]] sich jeder Vektor des Raumes eindeutig darstellen lässt. Bei einem Funktionenraum bezeichnet man sie auch als '''Basisfunktionen'''. Im Allgemeinen kann ein Vektorraum über verschiedene Basen verfügen. Der Übergang von einer Basis <math>B</math> zu einer Basis <math>B'</math> wird durch einen  '''Basiswechsel''' bzw. durch eine '''Basistransformation''' vollzogen, die eine [[identische Abbildung]] <math>\operatorname{id_V}</math>des Vektorraums auf sich selbst ist. Sie kann mithilfe einer '''Transformationsmatrix''' (auch '''Basiswechselmatrix''' oder '''Übergangsmatrix''') <math>T^B_{B'}</math> beschrieben werden. Dabei handelt es sich um den Spezialfall einer '''Abbildungsmatrix''' (auch '''Darstellungsmatrix''') <math>M^A_B</math>, durch die ganz allgemein [[Lineare Abbildung|lineare Abbildungen]] zwischen zwei beliebig dimensionalen Verktorräumen <math>A</math> und <math>B</math> dargestellt werden. Für eine Basistransformation ist daher
 
:<math>T _{B'}^B = M_{B'}^{B}(\operatorname{id_V}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots  & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots &  a_{nn} \end{pmatrix}</math>
 
Die Koeffizienten <math>a_{ij}</math> der Transformationsmatrix ergeben sich, indem man die Basisvektoren <math>\vec b_j</math> der ursprünglichen Basis <math>B</math> als [[Linearkombination]] der Basisvektoren <math>\vec b'_i</math> der neuen Basis <math>B'</math> darstellt, d.h.:
 
: <math>b_j = a_{1j} b_1{}' + a_{2j} b_2{}' + \dots + a_{nj} b_n{}'  = \sum_{i = 1}^n a_{ij} b_i{}', \qquad j = 1, \dots, n</math>
 
== Vektorrechnung ==
[[Bild:Epsilontensor.svg|mini|Matrixdarstellung des dreidimensionalen [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] ]]
[[Datei:Cross product parallelogram.svg|miniatur|Veranschaulichung des Kreuzprodukts]]
 
In der '''Vektorrechnung''' sind verschiedene Rechenoperationen für Vektoren definiert. Die Vektoren können dazu als '''Spaltenvektor''' oder in Komponentenschreibweise angeschrieben werden. Die wichtigsten Rechenoperationen zeigt die nachstehende Tabelle:
 
{|class="wikitable"
!Rechenoperation
!Spaltenvektoren
!Komponentenschreibweise
!Beschreibung
|-
|Addition/Subtraktion
|<math>
\vec c = \vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1\pm b_1 \\ a_2\pm b_2 \\ a_3 \pm b_3\end{pmatrix}
</math>
|<math> c_i = a_i \pm b_i</math>
|
|-
|Multiplikation mit einem Skalar
|<math>
\vec c = r\vec{a} = r \, \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end{pmatrix}
</math>
|<math>c_i = r a_i </math>
|
|-
|Skalarprodukt
|<math>
c = \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3</math>
|<math>c = \sum_i a_i b_i </math>
|
|-
|Betrag
|<math>a = |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}</math><ref>nach dem [[Satz von Pythagoras]]</ref>
|<math>a = \sqrt{\sum_i a_i^2}</math>
|
|-
|Kreuzprodukt<br />(Vektorprodukt)
|<math>\vec c = \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}</math>
| <math>c_i = \sum_{jk} \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k}</math><ref><math>\varepsilon_{ijk}</math> ist das [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.</ref>
|Der Betrag des Vektorprodukts entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten [[Parallelogramm]]s:
 
<math>A = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}| </math>
|-
|Spatprodukt
|<math>(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}</math>
|
|Der Betrag des Spatprodukts entspricht dem [[Volumen]] des von den drei Vektoren aufgespannten [[Parallelepiped]]s:
 
<math>V = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}|</math>
|-
|Dyadisches Produkt<br />(tensorielles Produkt)
|<math>
\boldsymbol C = (c_{ij}) = \vec{a}\otimes\vec{b}
= \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3\\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3\\
a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3
\end{pmatrix}
</math>
|<math>c_{ij} = a_i b_j</math>
|
|}
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Raum (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Vektor}}
 
== Literatur ==
 
* Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: ''Mathematik'', 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Raum|201]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 18. Dezember 2020, 14:06 Uhr

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