Knoten und Hopf-Verschlingung: Unterschied zwischen den Seiten

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'''Knoten''' (von althochdeutsch ''knoto'' „knotenförmige Verdickung“) steht für:
[[Datei:Hopt link.webm|mini|400px|Hopf-Verschlingung]]
[[Datei:Hopf link rp.png|mini|Hopf-Verschlingung]]
In der [[Knotentheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], ist die '''Hopf-Verschlingung''' (auch '''Hopf-Link''') das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.


* [[Haarknoten]], früher ''Dutt'', eine Frisur
== Hopf-Verschlingung ==
* [[Knoten (Einheit)]], Geschwindigkeitsmaß in See- und Luftfahrt (1,852 km/h)
Die Hopf-Verschlingung ist eine [[Verschlingung]] bestehend aus zwei [[Unknoten]] (d. h. unverknoteten Kreisen), deren [[Verschlingungszahl]] (je nach [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]]) plus oder minus 1 beträgt.
* [[Knoten (Handwerker)]], Bezeichnung im alten Stettin und Königsberg
* [[Knoten (Hypertext)]], Element der Verknüpfung von Wissenseinheiten
* [[Knoten (Knüpfen)]], Verschlingung von Fäden, Bändern, Seilen und Ähnlichem
* [[Knoten (Seesport)]], Disziplin des Seesportmehrkampfes
* [[Knotenpunkt (Verkehr)]], Zusammentreffen von Verkehrswegen und -strömen


Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im <math>R^3</math> durch <math>(cos t,\sin t,0)</math> und <math>(cos t + 1,0,\sin t)</math> parametrisierten Kreise.


'''geografisch:'''
== Topologie des Komplements ==
* [[Knoten (Kärnten)]], Berg der Kreuzeckgruppe
Das [[Knotenkomplement|Komplement]] der Hopf-Verschlingung in der [[3-Sphäre]] <math>S^3</math> ist [[homöomorph]] zu <math>S^1\times S^1\times\left( 0,1\right)</math>. Die [[Knotengruppe|Linkgruppe]], also die [[Fundamentalgruppe]] des Komplements, ist isomorph zu <math>\Z\times\Z</math>, der [[Freie abelsche Gruppe|freien abelschen Gruppe]] mit zwei Erzeugern.
* [[Knoten (Westerwald)]], Erhebung im Westerwald
* [[Knoten (Silvretta)]], Gipfel in den Ostalpen


== Invarianten ==
Das [[Jones-Polynom]] ist
:<math>V(t)=-t-t^{-1}</math>,
das [[HOMFLY-Polynom]] ist
:<math>P(z,\alpha)=z^{-1}(\alpha^{-1}-\alpha^{-3})-z\alpha^{-1}</math>,
die Hopf-Verschlingung ist der <math>(2,2)</math>-[[Torusknoten|Torus-Link]] und sie ist der Abschluss des [[Zopfgruppe|Zopfes]]
<math>\sigma_1^2</math>.


'''mathematisch:'''
== Hopf-Faserung und Homotopiegruppen ==
* Anfangs- und Endpunkte einzelner Pfadsegmente in einer [[Vektorgrafik]]
[[Heinz Hopf]] untersuchte 1931 die [[Hopf-Faserung]]  
* [[Knoten (UML)]], physisches Laufzeitobjekt in der Unified Modeling Language
:<math>h\colon S^3\to S^2</math>
* [[Knoten (Graphentheorie)]], die Ecken eines Graphen
und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.
* Objekt der Topologie, siehe [[Knotentheorie]]
* Repräsentationen von Programm-Elementen, siehe [[Document Object Model #Arten von Knoten]]
* stabiler Fixpunkt, siehe [[Fixpunkt (Mathematik) #Fixpunkte in der Numerik]]


Allgemein definierte er für Abbildungen <math>f\colon S^3\to S^2</math> die heute als [[Hopf-Invariante]] bezeichnete Invariante <math>H(f)\in\Z</math> als Verschlingungszahl der Urbilder zweier [[regulärer Wert]]e von <math>f</math> und er bewies, dass die Zuordnung
[[Datei:Buzanha wachigai mon.jpg|mini|Shingon-shu Buzan-ha crest]]
:<math>f\to H(f)</math>
einen Isomorphismus
:<math>\pi_3(S^2)\to\Z</math>
ergibt.


'''medizinisch:'''
== Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie ==
* autonome Zellen in der Schilddrüse, siehe [[Schilddrüsenknoten]]
[[Datei:CatenaneScheme.svg|mini|Catenane]]
* chirurgische Technik, siehe [[Chirurgenknoten]]
* Die Hopf-Verschlingung wird von der dem [[Shingon-shū]] zuzuordnenden [[Buddhismus|buddhistischen]] Sekte ''Buzan-ha'' als Symbol verwendet.
* [[Ganglion (Nervensystem)]], Nervenknoten, Anhäufung von Nervenzellkörpern
* [[Catenane]] stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
* [[Lymphknoten]], Teil des lymphatischen Systems
* Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers [[Keizo Ushio]] vor.
* Nodus in der Dermatologie, siehe [[Effloreszenz]]
* Teil des Erregungsleitungssystem des Herzens, siehe [[Sinusknoten]] und [[Atrioventrikularknoten]]  
* [[Tumor]], gut- oder bösartige Neubildung
* umschriebene Ausweitung eines Blutgefäßes, siehe [[Hämorrhoiden]]


'''Naturwissenschaft & Technik:'''
== Siehe auch ==
* [[Knoten (Astronomie)]], Schnittpunkt der Bahn eines Himmelskörpers mit einer Bezugsebene
* {{WikipediaDE|Hopf-Verschlingung}}
* [[Knoten (Botanik)]], Ansatzstellen der Blätter an Sprossachsen
* [[Knoten (Chemie)]], Änderung des Vorzeichens einer Wellenfunktion (Nulldurchgang)
* [[Knoten (Statik)]], Verbindungsstelle von Stäben oder Elementen
* Knotenpunkt, Stellen einer Nietverbindung, siehe [[Niet #Konstruktionen]]
* Netzknoten in einem Telekommunikationsnetz, siehe [[Netzwerkelement]]
* Schwingungsknoten in akustischen und anderen Wellen, siehe [[Stehende Welle]]
* Stellen mit Stromverzweigung in elektrischen Schaltungen, siehe [[Kirchhoffsche Regeln]]
* Verbindung mehrerer Vermessungslinien in der Geodäsie, siehe [[Knotennetz]]


== Siehe auch ==
== Literatur ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Knotenkunde}}
* Heinz Hopf: ''Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche.'' ''Math. Ann.'' 104 (1931), 637–665 ([http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN235181684_0104&DMDID=dmdlog46 PDF])
* {{WikipediaDE|Kategorie:Knoten}}
* Colin Adams: ''Das Knotenbuch''. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380
* {{WikipediaDE|Knoten}}
* {{WikipediaDE|Gordischer Knoten}} (sagenhaftes Seilgebinde)
* {{WikipediaDE|Knotenpunkt}} (Begriffsklärung)
* {{WikipediaDE|Liste von Knoten}} (Seil- und Knüpftechniken)


== Weblinks ==
== Weblinks ==
{{Wiktionary|Knoten}}
{{Commonscat|Hopf links}}
 
* [http://mathworld.wolfram.com/HopfLink.html Hopf Link] auf MathWorld
{{Begriffsklärung}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=3_VydFQmtZ8 Topology of a Twisted Torus] Numberphile (Video)


[[Kategorie:Knoten|!]]  
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]
[[Kategorie:Outdoor]]
[[Kategorie:Knoten und Verschlingungen]]


{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Version vom 27. Februar 2019, 07:14 Uhr

Hopf-Verschlingung
Hopf-Verschlingung

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.

Hopf-Verschlingung

Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.

Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im durch und parametrisierten Kreise.

Topologie des Komplements

Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre ist homöomorph zu . Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu , der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.

Invarianten

Das Jones-Polynom ist

,

das HOMFLY-Polynom ist

,

die Hopf-Verschlingung ist der -Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes .

Hopf-Faserung und Homotopiegruppen

Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung

und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.

Allgemein definierte er für Abbildungen die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von und er bewies, dass die Zuordnung

Shingon-shu Buzan-ha crest

einen Isomorphismus

ergibt.

Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie

Catenane
  • Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
  • Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
  • Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.

Siehe auch

Literatur

  • Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
  • Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380

Weblinks

Commons: Hopf links - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema


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