imported>Joachim Stiller |
imported>Joachim Stiller |
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| [[Datei:Hopt link.webm|mini|400px|Hopf-Verschlingung]]
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| [[Datei:Hopf link rp.png|mini|Hopf-Verschlingung]]
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| In der [[Knotentheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], ist die '''Hopf-Verschlingung''' (auch '''Hopf-Link''') das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.
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| == Hopf-Verschlingung ==
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| Die Hopf-Verschlingung ist eine [[Verschlingung]] bestehend aus zwei [[Unknoten]] (d. h. unverknoteten Kreisen), deren [[Verschlingungszahl]] (je nach [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]]) plus oder minus 1 beträgt.
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| Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im <math>R^3</math> durch <math>(cos t,\sin t,0)</math> und <math>(cos t + 1,0,\sin t)</math> parametrisierten Kreise.
| | [[Kategorie:Weltentwicklung]] |
| | | [[Kategorie:Planetare Zustände]] [[Kategorie:Kosmos]] |
| == Topologie des Komplements ==
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| Das [[Knotenkomplement|Komplement]] der Hopf-Verschlingung in der [[3-Sphäre]] <math>S^3</math> ist [[homöomorph]] zu <math>S^1 \times S^1 \times \left( 0,1\right)</math>. Die [[Knotengruppe|Linkgruppe]], also die [[Fundamentalgruppe]] des Komplements, ist isomorph zu <math>\Z\times\Z</math>, der [[Freie abelsche Gruppe|freien abelschen Gruppe]] mit zwei Erzeugern.
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| == Invarianten ==
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| Das [[Jones-Polynom]] ist
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| :<math>V(t)=-t-t^{-1}</math>,
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| das [[HOMFLY-Polynom]] ist
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| :<math>P(z,\alpha)=z^{-1}(\alpha^{-1}-\alpha^{-3})-z\alpha^{-1}</math>,
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| die Hopf-Verschlingung ist der <math>(2,2)</math>-[[Torusknoten|Torus-Link]] und sie ist der Abschluss des [[Zopfgruppe|Zopfes]]
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| <math>\sigma_1^2</math>.
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| == Hopf-Faserung und Homotopiegruppen ==
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| [[Heinz Hopf]] untersuchte 1931 die [[Hopf-Faserung]]
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| :<math>h\colon S^3\to S^2</math>
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| und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.
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| Allgemein definierte er für Abbildungen <math>f\colon S^3\to S^2</math> die heute als [[Hopf-Invariante]] bezeichnete Invariante <math>H(f)\in\Z</math> als Verschlingungszahl der Urbilder zweier [[regulärer Wert]]e von <math>f</math> und er bewies, dass die Zuordnung
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| [[Datei:Buzanha wachigai mon.jpg|mini|Shingon-shu Buzan-ha crest]]
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| :<math>f\to H(f)</math>
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| einen Isomorphismus
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| :<math>\pi_3(S^2)\to\Z</math>
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| ergibt.
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| == Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie ==
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| [[Datei:CatenaneScheme.svg|mini|Catenane]]
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| * Die Hopf-Verschlingung wird von der dem [[Shingon-shū]] zuzuordnenden [[Buddhismus|buddhistischen]] Sekte ''Buzan-ha'' als Symbol verwendet.
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| * [[Catenane]] stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
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| * Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers [[Keizo Ushio]] vor.
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Hopf-Verschlingung}}
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| == Literatur ==
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| * Heinz Hopf: ''Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche.'' ''Math. Ann.'' 104 (1931), 637–665 ([http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN235181684_0104&DMDID=dmdlog46 PDF])
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| * Colin Adams: ''Das Knotenbuch''. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380
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| == Weblinks ==
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| {{Commonscat|Hopf links}}
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| * [http://mathworld.wolfram.com/HopfLink.html Hopf Link] auf MathWorld
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| * [https://www.youtube.com/watch?v=3_VydFQmtZ8 Topology of a Twisted Torus] Numberphile (Video)
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| [[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]] | |
| [[Kategorie:Knoten und Verschlingungen]] | |
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| {{Wikipedia}}
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