Hopf-Verschlingung und Kosmos der Offenbarung: Unterschied zwischen den Seiten

Aus AnthroWiki
(Unterschied zwischen Seiten)
imported>Joachim Stiller
 
imported>Joachim Stiller
 
Zeile 1: Zeile 1:
[[Datei:Hopt link.webm|mini|400px|Hopf-Verschlingung]]
[[Datei:Hopf link rp.png|mini|Hopf-Verschlingung]]
In der [[Knotentheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], ist die '''Hopf-Verschlingung''' (auch '''Hopf-Link''') das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.


== Hopf-Verschlingung ==
Die Hopf-Verschlingung ist eine [[Verschlingung]] bestehend aus zwei [[Unknoten]] (d. h. unverknoteten Kreisen), deren [[Verschlingungszahl]] (je nach [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]]) plus oder minus 1 beträgt.


Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im <math>R^3</math> durch <math>(cos t,\sin t,0)</math> und <math>(cos t + 1,0,\sin t)</math> parametrisierten Kreise.
[[Kategorie:Weltentwicklung]]
 
[[Kategorie:Planetare Zustände]] [[Kategorie:Kosmos]]
== Topologie des Komplements ==
Das [[Knotenkomplement|Komplement]] der Hopf-Verschlingung in der [[3-Sphäre]] <math>S^3</math> ist [[homöomorph]] zu <math>S^1 \times S^1 \times \left( 0,1\right)</math>. Die [[Knotengruppe|Linkgruppe]], also die [[Fundamentalgruppe]] des Komplements, ist isomorph zu <math>\Z\times\Z</math>, der [[Freie abelsche Gruppe|freien abelschen Gruppe]] mit zwei Erzeugern.
 
== Invarianten ==
Das [[Jones-Polynom]] ist
:<math>V(t)=-t-t^{-1}</math>,
das [[HOMFLY-Polynom]] ist
:<math>P(z,\alpha)=z^{-1}(\alpha^{-1}-\alpha^{-3})-z\alpha^{-1}</math>,
die Hopf-Verschlingung ist der <math>(2,2)</math>-[[Torusknoten|Torus-Link]] und sie ist der Abschluss des [[Zopfgruppe|Zopfes]]
<math>\sigma_1^2</math>.
 
== Hopf-Faserung und Homotopiegruppen ==
[[Heinz Hopf]] untersuchte 1931 die [[Hopf-Faserung]]
:<math>h\colon S^3\to S^2</math>
und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.
 
Allgemein definierte er für Abbildungen <math>f\colon S^3\to S^2</math> die heute als [[Hopf-Invariante]] bezeichnete Invariante <math>H(f)\in\Z</math> als Verschlingungszahl der Urbilder zweier [[regulärer Wert]]e von <math>f</math> und er bewies, dass die Zuordnung
[[Datei:Buzanha wachigai mon.jpg|mini|Shingon-shu Buzan-ha crest]]
:<math>f\to H(f)</math>
einen Isomorphismus
:<math>\pi_3(S^2)\to\Z</math>
ergibt.
 
== Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie ==
[[Datei:CatenaneScheme.svg|mini|Catenane]]
* Die Hopf-Verschlingung wird von der dem [[Shingon-shū]] zuzuordnenden [[Buddhismus|buddhistischen]] Sekte ''Buzan-ha'' als Symbol verwendet.
* [[Catenane]] stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
* Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers [[Keizo Ushio]] vor.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Hopf-Verschlingung}}
 
== Literatur ==
* Heinz Hopf: ''Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche.'' ''Math. Ann.'' 104 (1931), 637–665 ([http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN235181684_0104&DMDID=dmdlog46 PDF])
* Colin Adams: ''Das Knotenbuch''. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380
 
== Weblinks ==
{{Commonscat|Hopf links}}
* [http://mathworld.wolfram.com/HopfLink.html Hopf Link] auf MathWorld
* [https://www.youtube.com/watch?v=3_VydFQmtZ8 Topology of a Twisted Torus] Numberphile (Video)
 
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]
[[Kategorie:Knoten und Verschlingungen]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 15. April 2019, 21:33 Uhr