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[[Datei:SolidShapes.png|miniatur|Beispiele für geometrische Körper: [[Wikipedia:Kugel|Kugel]], [[Wikipedia:Pyramide (Geometrie)|Pyramide]], [[Wikipedia:Würfel (Geometrie)|Würfel]], [[Wikipedia:Volltorus|Volltorus]], [[Wikipedia:Hohlzylinder|Hohlzylinder]], [[Wikipedia:Kreiszylinder|Kreiszylinder]], [[Wikipedia:Kegel (Geometrie)|Kegel]] und ein [[Wikipedia:Knotentheorie|verknoteter]] Volltorus.]]
[[Kategorie:Musiktheorie]]
Ein '''Körper''' ist in der [[Wikipedia:Geometrie|Geometrie]] eine dreidimensionale [[Wikipedia:Geometrische Figur|Figur]], die durch ihre [[Wikipedia:Fläche (Mathematik)|Oberfläche]] beschrieben werden kann. Die Oberfläche eines Körpers kann dabei aus flachen oder gekrümmten Flächenstücken zusammengesetzt sein. Besteht die Oberfläche eines Körpers nur aus ebenen Flächenstücken, handelt es sich um einen [[Wikipedia:Polyeder|Polyeder]]. Zur Berechnung des [[Wikipedia:Volumen|Volumens]] und des [[Wikipedia:Oberflächenihnhalt|Oberflächeninhalts]] vieler geometrischer Körper gibt es [[Wikipedia:Mathematische Formel|mathematische Formeln]] (siehe [[Wikipedia:Formelsammlung Geometrie|Formelsammlung Geometrie]]). Genauer gesagt heißt eine geometrische Figur der soeben beschriebenen Art '''dreidimensionaler Körper''', da diese Begriffsbildung auch auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden kann.
 
== Definition ==
Geometrische Körper können auf verschiedene Weise mathematisch definiert werden. Wird der dreidimensionale Raum als [[Wikipedia:punktmenge|Punktmenge]] aufgefasst, dann ist ein Körper eine [[Wikipedia:Teilmenge|Teilmenge]] dieser Punkte, die bestimmte Eigenschaften erfüllt.
 
In der [[Wikipedia:Stereometrie|Stereometrie]] ist ein Körper eine [[Wikipedia:Beschränkte Menge|beschränkte]] dreidimensionale Teilmenge des dreidimensionalen Raums, die allseitig von [[Wikipedia:Endliche Menge|endlich vielen]] ebenen oder gekrümmten [[Wikipedia:Fläche (Mathematik)|Flächenstücken]] begrenzt wird, einschließlich dieser Begrenzungsflächen. Eine Menge heißt dabei beschränkt, wenn es eine entsprechend große Kugel gibt, die die Menge vollständig umfasst. Die Vereinigung der Punkte aller begrenzenden Flächenstücke bildet die Oberfläche des Körpers. Die Oberfläche eines Körpers zerlegt den Raum in zwei getrennte Teilmengen, wobei das [[Wikipedia:Innerer Punkt|Innere]] des Körpers diejenige Teilmenge ist, die keine [[Wikipedia:Gerade|Gerade]] enthält.
 
In der [[Wikipedia:Geometrische Modellierung|geometrischen Modellierung]] ist ein Körper eine beschränkte und [[Wikipedia:Reguläre Menge|reguläre]] Teilmenge des dreidimensionalen Raums. Eine Menge heißt dabei regulär, wenn sie gleich dem [[Wikipedia:Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] ihres Inneren ist. Diese Bedingung stellt sicher, dass ein Körper seinen [[Wikipedia:Rand (Topologie)|Rand]] mit enthält und vollständig dreidimensional ist, also keine Bereiche niedrigerer Dimension aufweist. Man spricht an dieser Stelle auch von der Homogenität eines Körpers. Nach dieser Definition kann ein Körper auch aus mehreren, nicht miteinander [[Wikipedia:Zusammenhängender Raum|verbundenen]] Komponenten bestehen.
 
Die Oberfläche eines Körpers kann ebenfalls aus mehreren, nicht miteinander verbundenen Teilen bestehen. Indem diesen Teilflächen jeweils eine [[Wikipedia:Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] zugewiesen wird, kann ein Körper auch über seine Oberfläche beschrieben werden. Man spricht dann auch von der Oberflächendarstellung (''[[Wikipedia:Boundary Representation|boundary representation]]'') des Körpers.
 
== Beispiele ==
Die bekanntesten Körper besitzen flache oder kreis- bzw. kugelförmige Grenzflächen. Als Beispiele für Körper im Allgemeinen dienen: [[Wikipedia:Würfel (Geometrie)|Würfel]], [[Wikipedia:Tetraeder|Tetraeder]], [[Wikipedia:Pyramide (Geometrie)|Pyramide]], [[Wikipedia:Prisma (Geometrie)|Prisma]], [[Wikipedia:Oktaeder|Oktaeder]], [[Wikipedia:Zylinder (Geometrie)|Zylinder]], [[Wikipedia:Kegel (Geometrie)|Kegel]], [[Wikipedia:Kugel|Kugel]] und [[Wikipedia:Volltoris|Volltorus]].
 
== Typen geometrischer Körper ==
 
=== Polyeder ===
 
Ein [[Wikipedia:Polyeder|Polyeder]] ist ein geometrischer Körper, dessen Grenzflächen [[Wikipedia:Polygon|Polygone]] sind. Zu den bekanntesten Polyedern gehören die regelmäßigen Polyeder. Das sind die dreidimensionalen, von regelmäßigen Vielecken begrenzten Vielflächner, deren Kanten nur nach außen zeigen und die nicht unendlich groß sind, wie beispielsweise der Würfel, der Tetraeder oder auch der sogenannte [[Wikipedia:Fußballkörper|Fußballkörper]]. Von diesen Körpern gibt es nur fünf Arten: die [[Wikipedia:Platonischer Körper|platonischen Körper]], die mit sich selbst oder untereinander dual sind, die [[Wikipedia:Archimedischer Körper|archimedischen Körper]] und die dazu dualen [[Wikipedia:Catalanischer Körper|catalanischen Körper]] sowie die [[Wikipedia:Johnson-Körper|Johnson-Körper]]. Dazu kommen die [[Wikipedia:Prisma (Geometrie)|Prismen]] und die [[Wikipedia:Antiprisma|Antiprismen]]. Es gibt nur fünf regelmäßige Polyeder, mit denen alleine eine lückenlose [[Wikipedia:Raumfüllung|Raumfüllung]] möglich ist: Würfel, dreieckiges und sechseckiges Prisma, [[Wikipedia:Johnson-Körper#modifizierte Kuppeln und Rotunden|verdrehter Doppelkeil]] und [[Wikipedia:Oktaederstuömpf|Oktaederstumpf]].
 
=== Konvexe Körper ===
 
Ist ein geometrischer Körper zudem [[Wikipedia:Konvexe Menge|konvex]], so spricht man von einem [[Wikipedia:Konvexer Körper|konvexen Körper]]. Alle regelmäßigen Polyeder sind konvex. Konvexe Körper können aber auch durch [[Wikipedia:Norm (Mathematik)|Normen]] abgeleitet werden, zum Beispiel den [[Wikipedia:p-Norm|p-Normen]].
 
=== Rotationskörper ===
 
Körper, deren Oberfläche durch die Rotation einer Kurve um eine bestimmte Achse konstruiert werden, bezeichnet man als [[Wikipedia:Rotationskörper|Rotationskörper]]. Jede Schnittfläche, die orthogonal zur Rotationsachse liegt, hat eine kreis- oder kreisringförmige Gestalt. Hierzu gehören Kugel, Zylinder, Kegel, Kegelstumpf, Torus und Rotationsellipsoid. Die Kugel nimmt insofern eine Sonderstellung ein, weil jede Gerade durch ihren Mittelpunkt eine Rotationsachse ist.
 
== Weiteres ==
* Zur Veranschaulichung von Körpern finden [[Wikipedia:Netz (Geometrie)|Körpernetze]], (physische) [[Wikipedia:Körpermodell|Körpermodelle]] und Software-Anwendungen für [[Wikipedia:dynamische Raumgeometrie|dynamische Raumgeometrie]] und CAD Verwendung.
* Die Geometrie kennt Formeln zur Berechnung von [[Wikipedia:Flächeninhalt|Oberfläche]] und [[Wikipedia:Volumen|Volumen]] vieler Körper.
* Symmetrieeigenschaften einzelner Körper lassen sich in der [[Wikipedia:Gruppentheorie:Gruppentheorie]] darstellen.
* Kristalle sind aus (idealisierten) Elementarzellen aufgebaut, die sich als geometrische Körper verstehen lassen.
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Körper (Geometrie)}}
* {{WikipediaDE|Platonischer Körper}}
* {{WikipediaDE|Archimedischer Körper}}
 
== Literatur ==
* {{Literatur | Autor=Tommy Bonnesen, W. Fenchel | Titel=Theorie der konvexen Körper | Verlag=American Mathematical Soc. | Jahr=1971 | ISBN=0-8284-0054-7 }}
 
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 20. Januar 2020, 00:37 Uhr