Drehung

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Drehungen sind identisch, wenn sie sich um ein Vielfaches von 360° unterscheiden.

Als Drehung bezeichnet man in der Geometrie eine Kongruenzabbildung eines n-dimensionalen euklidischen Raumes, die mindestens einen Fixpunkt hat und alle Abstände und die Orientierung bewahrt.

Im zwei- und dreidimensionalen Raum gehört zu jeder Drehung ein bestimmter Drehwinkel . Drehungen, deren Drehwinkel sich um 360° oder ein Vielfaches davon unterscheiden, sind identische Abbildungen. Im dreidimensionalen Raum lässt jede echte Drehung genau eine Gerade fest, die Drehachse. Jede zur Drehachse senkrechte Ebene wird durch die Drehung um denselben Drehwinkel gedreht, wobei ihr Schnittpunkt mit der Achse der Fixpunkt ist.

Drehmatrix

Mathematisch lässt sich die Drehung durch eine Drehmatrix oder Rotationsmatrix beschreiben. Die Drehmatrix ist eine reelle orthogonale Matrix mit der Determinante +1.

Wählt man beispielsweise in der der euklidischen Ebene die Standardbasis, so sind die Bilder der beiden Basisvektoren und gerade die Spaltenvektoren der zugehörigen Drehmatrix:

Damit lässt sich die Drehmatrix anschreiben:

Für die Drehung eines Vektors , die diesen in den Vektor überführt, ergibt sich dann:


Das Ergebnis dieser Matrizenmultiplikation lautet dann:

Siehe auch


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