Neuronales Netz und Welle: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Cajal actx inter.jpg|mini|Zeichnung der neuronalen Vernetzung im [[Wikipedia:Auditiver Cortex|auditiven Cortex]] ([[Wikipedia:Santiago Ramón y Cajal|Santiago Ramón y Cajal]], 1898)]]
{{Doppeltes Bild|rechts|EM-Wave_noGIF.svg|200|EM-Wave.gif|200|Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit der [[Wikipedia:Wellenlänge|Wellenlänge]] <math>\lambda</math> breitet sich in ''x''-Richtung aus, die [[Wikipedia:elektrische Feldstärke|elektrische Feldstärke]] <math>\vec E</math> (in blau) und die [[Wikipedia:magnetische Flussdichte|magnetische Flussdichte]] <math>\vec B</math> (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel.}}
[[Datei:Network representation of brain connectivity.JPG|mini|Modell der menschlichen [[Großhirnrinde]] mit dem Grundgerüst der cortico-corticaler Assoziations- und Kommissurfasern, die die verschiedenen Gehirnareale miteinander verbinden.]]
[[Datei:Neural network.svg|mini|Schema einer einfachen neuronalen Vernetzung<br />mit '''Divergenz''': ein Neuron gibt Signale an mehrere andere Neuronen weiter,<br /> und '''Konvergenz''': ein Neuron erhält Signale von mehreren anderen.]]
[[Datei:ArtificialNeuronModel deutsch.png|mini|Schema eines künstlichen Neurons mit mehreren gewichteten Eingaben]]


Ein '''neuronales Netz''' besteht aus einer Vielzahl in funktionellen hierarchischen Ebenen angeordneter, miteinander über [[Synapse]]n vernetzter [[Neuron]]en ([[Nervenzelle]]n), die auf der feinsten Ebene des [[Nervensystem]]s, der Mikoskala, einen funktionellen Zusammenhang bilden. Auf der Mesoskala ist die [[Großhirnrinde]] darüber hinaus in '''kortikalen Säulen''' mit einem durchschnittlichen Durchmesser von etwa 80 Mikrometern organisiert, die aus einigen hundert oder tausend Neuronen bestehen. Die Makroskala wird durch die weitreichenden Verbindungen zwischen den verschiedenen spezialisierten Hirnarealen gebildet. Die Gesamtheit all dieser vielfältigen Nervenverbindungen wird als '''Konnektom''' bezeichnet.
Eine '''Welle''' ist aus [[Physik|physikalischer Sicht]] eine sich räumlich mit einer bestimmten [[Geschwindigkeit]] ausbreitende Veränderung (Störung) bzw. [[Schwingung]] einer [[ort]]s- und [[zeit]]abhängigen [[Physikalische Größe|physikalischen Größe]]. Dabei wird keine [[Materie]], wohl aber [[Energie]] transportiert. [[Mechanik|Mechanische]] Wellen - wie beispielsweise '''Schallwellen''' oder '''Wasserwellen''' - bedürfen für ihre Ausbreitung eines [[Materie|materiellen]] Trägers (bei Schallwellen z.B. [[Luft]], [[Wasser]] oder auch [[Festkörper]]), während sich etwa [[elektromagnetische Welle]]n auch im [[Vakuum]] ausbreiten können.
 
{{Doppeltes Bild|rechts|Pricna vlna.gif|200px|Podelna vlna.gif|200px|Transversalwelle|Longitudinalwelle}}


== Grundlagen ==
== Grundlagen ==


Eine erste Darstellung<ref>Olaf Breidbach: ''Hirn, Hirnforschung.'' In: Werner E. Gerabek, Bernhard D. Haage, Gundolf Keil, Wolfgang Wegner (Hrsg.): ''Enzyklopädie Medizingeschichte.'' De Gruyter, Berlin/New York 2005, ISBN 3-11-015714-4, S. 600 f.; hier: S. 600 (und S. 1543).</ref> gab 1894 der österreichischer Physiologe [[Wikipedia:Sigmund Exner|Sigmund Exner]] in seinem ''Entwurf zu einer physiologischen Erklärung der psychischen Erscheinungen''<ref>[[Wikipedia:Sigmund Exner|Sigmund Exner]]: ''[https://archive.org/details/entwurfzueinerph00exne Entwurf zu einer physiologischen Erklärung der psychischen Erscheinungen von Dr. Sigmund Exner: I. Theil]'', F. Deuticke, Leipzig Wien 1894</ref>. Üblicherweise verfügen neuronale Netze über eine Vielzahl von Eingängen und einen einzigen Ausgang. Durch ihre hohe funktionelle und strukturelle '''neuronale Plastizität''', durch die die [[Synapse|synaptischen Verbindungen]] der [[Nervenzelle]]n aktivitätsabhängig beständig umgebildet und neu gewichtet werden, sind neuronale Netze hochgradig [[Lernen|lernfähig]]. Daneben findet zwischen Neuronen und Zellen der [[Wikipedia:Gliazelle#Gliazelltypen|Neuroglia]], insbesondere mit den [[Wikipedia:Oligodendrozyt|Oligodendrozyt]]en und [[Wikipedia:Astrozyt|Astrozyten]], ein chemischer und elektrischer Austausch statt, der die Gewichtung der Signale verändern kann. Neuronale Netze folgen dadurch nicht erxplizit vorgegebenen Regeln, sondern entwickeln bei entsprechendem Training durch [[implizites Lernen]] eine eigenständige Art von neuronaler [[Intelligenz]]. Hervorstechend ist insbesondere ihre Fähigkeit, komplexe [[Muster]] zu erkennen und zu speichern.  
Fällt die [[Schwingung]]srichtung mit der Ausbreitungsrichtung zusammen, spricht man von '''Logitudinalwellen''', während bei '''Transversalwellen''' die Schwingung quer zur Ausbreitungsrichtung erfolgt. Dreht sich dabei die Schwingungsebene um die Ausbreitungsachse, spricht man von '''Torsionswellen'''. ''Schallwellen'' breiten sich in [[Flüssigkeit]]en und [[Gas]]en als Longitudinalwellen aus, in Festkörpern hingegen ähnlich den ''elektromagnetischen Wellen'' auch als Transversalwellen.
 
[[Datei:Pollinear.png|hochkant=0.5|mini|lineare Polarisation]]
[[Datei:Polzirkulaer.png|hochkant=0.5|mini|zirkulare Polarisation]]
[[Datei:Polelliptisch.png|hochkant=0.5|mini|elliptische Polarisation]]
Bei Transversalwellen kann das Phänomen der '''Polarisation''' auftreten. Bei konstanter Schwingungsrichtung handelt es sich um eine '''lineare Polarisation'''. Bei der '''zirkularen Polarisation''' (früher auch ''drehende Polarisation'' genannt) ändert sich die Schwingungsrichtung hingegen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Eine Mischform dieser beiden Möglichkeiten ist die '''elliptische Polarisation'''. Ändert sich die Schwingungsrichtung beständig und völlig ungeordnet, ist die Welle unpolarisiert.
 
Die '''Wellenlänge''' ''<math>\lambda</math>'' ist der kleinste Abstand zweier Punkte in gleicher [[Phasenwinkel|Phase]] und umgekehrt proportional zur [[Frequenz]] <math>\nu</math>, mit der '''Phasengeschwindigkeit''' <math>c</math> als Proportionalitätsfaktor. Ihr Kehrwert ist die '''Wellenzahl''' <math>\tilde \nu</math>, die die Anzahl der Wellenlängen pro Längeneinheit angibt. Für ''monochromatische Wellen'' ist die '''Ausbreitungsgeschwindigkeit''' der Welle mit der ''Phasengeschwindigkeit'' identisch.


Der [[Technik|technische]] Nachbau neuronaler Netze durch '''künstliche neuronale Netze''' (kurz: '''KNN'''; {{EnS|artificial neural network}}, '''ANN''') ist für die Entwicklung der [[Künstliche Intelligenz|künstlichen Intelligenz]] von hervorragender Bedeutung.
:<math>\lambda=\frac c\nu\</math> bzw. <math>\tilde \nu = \frac{1}{\lambda} =  \frac{\nu}{c}</math>


Die Struktur der neuronalen Netze und Bau des [[Gehirn]]s insgesamt ist in gewissem Sinn eine [[physisch]] realisierte [[Imagination]] der geistig-seelischen Tätigkeit des [[Mensch]]en. Darauf hat schon [[Rudolf Steiner]] hingewiesen:
Für [[elektromagnetische Wellen]] ist <math>c</math> gleich der [[Lichtgeschwindigkeit]], d.h. der endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des [[Licht]]s im Vakuum. Nach den [[Maxwell-Gleichungen|Maxwellschen Gleichungen]] der [[Elektrodynamik]] ist sie unabhängig von der Frequenz und der Bewegung der [[Lichtquelle]] stets konstant. Ihr Wert beträgt <math>c=299\,792\,458\;\mathrm{m/s}</math>. Aus der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit folgen die 1905 von [[Albert Einstein]] veröffentlichten Gesetzmäßigkeiten der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]].


{{GZ|Ich war einmal in einer
== Sinuswelle ==
Versammlung — es ist schon viele Jahre her —, da sprach zuerst
[[Datei:Wanderwelle-Animation.gif|miniatur|hochkant=2|Eine fortschreitende Wanderwelle mit der Wellenlänge <math>\lambda</math>]]
ein Arzt über den Gehirnbau, setzte den Gehirnbau auseinander im
[[Datei:Standing wave 2.gif|mini|Eine stehende Welle (schwarz) als Überlagerung zweier gegenläufiger Wanderwellen (rot und blau). Die Knoten der stehenden Welle befinden sich an den roten Punkten.]]
Zusammenhang mit dem Seelenleben des Menschen, nach einer Anschauung,
[[Datei:Wave packet (no dispersion).gif|miniatur|Ausbreitung eines eindimensionalen Wellenpakets ohne Dispersion.]]
die man ganz mit Recht materialistisch nennen kann. Es
[[Datei:Plane wave wavefronts 3D.svg|mini|Die Ebenen gleicher Phase einer ebenen Welle im dreidimensionalen Raum.]]
war ein ganz waschechter Materialist, der da den Gehirnbau ganz gut
auseinandersetzte, soweit er heute durchforscht ist, und der also das
Seelenleben im Zusammenhang mit diesem Gehirnbau erklärte. Der
Vorsitzende dieser Versammlung war ein Herbartianer, und der konstruierte
sich nun nicht den Gehirnbau, aber dasjenige, was das Vorstellungsleben
ist, so wie es der Philosoph Herhart einmal gemacht
hat. Der sagte dann: Ja, es ist doch merkwürdig, der Physiologe, der
Arzt, der zeichnet das Gehirn auf und macht da Figuren; wenn ich
als Herbartianer, sagte er, die komplizierten Vorstellungsassoziationen
aufzeichne, wobei ich bloß ein Bild meine von dem, was sich als
Vorstellungen vergesellschaftet, nicht etwa Nervenfäden, die eine
Nervenzelle mit der anderen verbinden, wenn ich als richtiger
Herbartianer, der sich nicht um das Gehirn kümmert, dasjenige, was
ich mir vorstelle über die Art, wie sich Vorstellungen verketten und
so weiter, nur ganz symbolisch zeichne, so sieht das ganz ähnlich aus
wie die Zeichnungen des Physiologen über den physischen Gehirnbau.


Das ist nicht ohne Grund, daß das ähnlich ausschaut. Indem wir
Eine '''monochromatische Welle''', d.h. eine Welle mit nur einer einzigen Frequenz, kann als '''harmonische Welle''', d.h. als '''Sinuswelle''' durch die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>A \cdot \sin(\omega t + \phi)</math> beschrieben werden. <math>A</math> ist dabei die [[Amplitude]], <math>\omega = 2\pi\nu</math> die [[Kreisfrequenz]], <math>t</math> die Zeit und <math>\phi</math> die [[Schwingung|Anfangsphase]] der Welle.
immer mehr und mehr auf den Bau des Gehirnes naturwissenschaftlich
gekommen sind, hat sich nämlich immer mehr und mehr gezeigt,
daß eigentlich der äußere Bau des Gehirnes in einer ganz wunderbaren
Weise dem Bau unseres Vorstellungslebens entspricht. Man
kann alles, was man im Vorstellungsleben findet, im Gehirnbau
wiederfinden. Es ist einfach — bitte nehmen Sie das cum grano
salis —, wie wenn die Natur selber im Gehirn ein plastisches Abbild
unseres Vorstellungslebens hätte schaffen wollen. So etwas fällt
einem ganz besonders auf, wenn man, sagen wir, solche Darstellungen
wie die von Meynert liest. Jetzt sind sie schon etwas veraltet.
Meynert ist Materialist gewesen, aber ausgezeichneter Gehirnphysiologe,
Psychiater, und man möchte sagen: Ja, der ist Materialist,
aber dasjenige, was er einem als Materialist gibt, das ist eine
wunderbare Abschlagszahlung für dasjenige, was man auch herauskriegt,
auch wenn man sich gar nicht kümmert um das menschliche
Gehirn, sondern bloß darum, wie sich Vorstellungen verknüpfen und
trennen und so weiter und bloß diese Symbole hinzeichnen will. —
Kurz, es ist so, daß man, wenn man durch irgend etwas Materialist
werden könnte, man es durch den Bau des menschlichen Gehirnes
ganz besonders werden könnte. Jedenfalls muß man sagen, wenn es
ein Geistig-Seelisches gibt, so hat dieses Geistig-Seelische im menschlichen
Gehirn einen so adäquaten Ausdruck gefunden, daß man nun
gar nicht weit von der Behauptung ist: Ja, was braucht man noch
ein Geistig-Seelisches für das Vorstellungsleben? Wenn man noch eine
Seele verlangen würde, die noch denken kann! Da das Gehirn eine so
genaue Abbildung ist des Geistig-Seelischen, warum soll das Gehirn
nicht denken können? -


Alle diese Dinge müssen Sie natürlich mit dem bekannten Gran
== Stehende Welle und Wanderwelle ==
Salz verstehen. Ich will nur auf den Sinn der ganzen Auseinandersetzung
heute hinweisen. Das menschliche Gehirn kann einen schon,
besonders wenn man in die Detailforschung eingeht, zum Materialisten
machen. Und was da so eigentlich für ein Geheimnis obwaltet,
was da eigentlich zugrunde liegt, das wird einem doch erst klar,
wenn man zur imaginativen Erkenntnis kommt. In der imaginativen
Erkenntnis nämlich zeigen sich einem Bilder, Bilder für nur wirklich
Geistiges, Bilder, die man früher nicht gesehen hat. Aber man möchte
sagen, diese Bilder erinnern einen an die durch die Nervenzellen
und Nervenfäden geformten Bilder im menschlichen Gehirn. Und ich
möchte sagen, wenn ich Ihnen eine Erklärung geben sollte für die
Frage: Was ist eigentlich dieses imaginative Erkennen, das natürlich
ganz im Übersinnlichen verläuft, was ist es? Wenn ich Ihnen gleichsam
versinnbildlichen sollte die imaginative Erkenntnis, wie der
Mathematiker es mit seinen Figuren macht, indem er mathematische
Probleme aufzeichnet, dann könnte ich auch sagen: Man stelle sich
vor, daß man in der Welt mehr erkennt, als was die Sinneserkenntnis
gibt, dadurch, daß man aufsteigen kann zu Bildern, die eine Realität
so geben, wie das menschliche Gehirn die menschliche Seelenrealität
gibt. Die Natur selber stellt das hin als eine reale, als eine sinnlichreale
Imagination im Gehirn, was man eigentlich in der imaginativen
Erkenntnis auf einem höheren Gebiete erlangt.


Aber dadurch kommt man tiefer jetzt hinein in die menschliche
Eine '''stehende Welle''' ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Auslenkung - im Gegensatz zu einer fortschreitenden '''Wanderwelle''' - an bestimmten Stellen, den '''Wellenknoten''', stets Null bleibt, während sie an anderen, den '''Wellenbäuchen''', weit ausschwingt.
Konstitution. Wir werden das in den nächsten Tagen sehen: Man
kommt immer zu einer Möglichkeit, diesen Wunderbau des menschlichen
Gehirns nicht isoliert für sich zu sehen, sondern ich möchte
sagen: Während man eine Welt, eine übersinnliche Welt oben durch
Imagination sieht, ist es so, wie wenn ein Teil dieser Welt sich
herunterrealisiert hätte und im menschlichen Gehirn eine realisierte
imaginative Welt vor uns dastehen würde. Und in der Tat, ich glaube
nicht, daß irgend jemand adäquat über das menschliche Gehirn
sprechen kann, der nicht in dem menschlichen Gehirnbau eine imaginative
Darstellung des Seelenlebens sieht. Das ist auch dasjenige, was
uns immer wiederum in eine Zwickmühle führt, wenn wir von der
bloßen Gehirnphysiologie ausgehen und zum Seelenleben hinüberkommen
wollen. Nämlich, wenn man beim Gehirn stehenbleiben
will, braucht man gar nicht das Seelenleben. Nur derjenige hat ein
Recht, gegenüber dem Bau des menschlichen Gehirnes noch von einem
Seelenleben zu sprechen, der dieses Seelenleben außerdem noch anders
kennt, als man es kennt auf dem gewöhnlichen Wege dieser Welt.
Denn wenn man in der geistigen Welt dieses Seelenleben kennenlernt:
im Bau des menschlichen Gehirnes hat es sein adäquates Abbild, und
alles das, was das übersinnliche Seelenorgan vorstellungsgemäß kann,
kann das Gehirn auch. Denn bis in die Funktionen hinein ist das
Gehirn ein Abbild; so daß niemand Materialismus belegen oder
widerlegen kann von der Gehirnphysiologie aus. Das gibt es einfach
nicht. Wenn der Mensch bloß Gehirnwesen wäre, so würde man gar
nicht daraufzukommen brauchen, daß er noch eine Seele hat.|314|88ff}}


== Hebbsche Lernregel ==
== Wellenpaket ==


[[Wikipedia:|1949]] formulierte der kanadische [[Kognitionspsychologe]] [[Wikipedia:Donald O. Hebb|Donald O. Hebb]] (1904-1985) in seinem Buch ''The Organization of Behavior'' die mittlerweile experimentell gut belegte<ref>T. V. Bliss, T. Lomo: ''Long-lasting potentiation of synaptic transmission in the dentate area of the anaesthetized rabbit following stimulation of the perforant path.'' In: ''J Physiol.'' 232(2), 1973, S. 331–356, Free Full Text Online. PMID 4727084</ref> grundlegende und einfachste neuronale Lernregel, die sog. '''Hebbsche Lernregel''', die kurz gefasst besagt: „''what fires together, wires together''“, d.h. je öfter Neuronen gleichzeitig feuern, umso bevorzugter werden sie auch künftig durch Ausbildung entsprechender synaptischer Verbindungen miteinander aktiv werden.  
Ein '''Wellenpaket''' ist eine [[Raum|räumlich]] oder [[zeit]]lich begrenzte Welle. [[Mathematik|Mathematisch]] kann sie durch Überlagerung (''Superposition'') mehrerer ''harmonischer Wellen'' (''Sinuswellen'') erzeugt werden (→ [[Fourier-Synthese]]) bzw. durch [[Fourier-Analyse]] bzw. experimentell durch [[Spektralanalyse]] wieder in ihre Bestandteile zerlegt werden.


In künstlichen neuronalen Netzen wird die Hebbsche Lernregel durch die Gewichtsänderung <math>\Delta w_{ij}</math> des neuronalen Graphen abgebildet. Sie ist proportional zu der als passende Konstante gewählten ''Lernrate'' <math>\eta</math> und zur Aktivitätsrate <math>a_i</math> des Neurons<sub>i</sub> und dem Output des mit ihm verbundenen Neurons<sub>j</sub>, d.h. <math>\Delta w_{ij} = \eta \cdot a_{i} \cdot o_{j}</math>
Ist die ''Phasengeschwindigkeit'' der Welle von der [[Frequenz]] abhängig, kommt es zur [[Dispersion|Dispersion]] durch die das Wellenpaket mit fortschreitender Zeit zerfließt.


== Siehe auch ==
== Ebene Welle ==
 
Eine '''ebene Welle''' breitet sich so im [[dreidimensional]]en [[Raum]] aus, dass ihre '''Wellenfronten''', d.h. die [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] mit gleichen Phasenwinkel, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen.
 
== Wellengleichung ==
 
Mathematisch betrachtet ist eine Welle <math>u(x_1, ..., x_i, t)</math> im <math>n</math>-dimensionalen [[Raum]] eine Lösung der allgemeinen '''Wellengleichung'''.
 
Für die ''homogene Wellengleichung'' gilt:
 
:<math> \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^{\prime 2}}-\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = 0</math> bzw. <math>\frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^{\prime 2}}-\Delta u = 0</math> mit dem [[Wikipedia:Laplace-Operator|Laplace-Operator]] <math>\Delta= \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} </math> bzw. kurz <math> \Box u = 0</math>
mit dem [[Wikipedia:d’Alembert-Operator|d’Alembert-Operator]] (Box) <math>\Box = \frac{\partial ^2}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}</math>
 
Mit der Inhomogenität oder Quelle <math>v(x_1, ..., x_i, t)</math> von <math>u</math> ergibt sich entsprechend für die ''inhomogene Wellengleichung'': <math>\Box u = v</math>


* {{WikipediaDE|Neuronales Netz}}
Für eine eindimensionalen homogene Welle folgt daraus die vereinfachte Form:
* {{WikipediaDE|Künstliches neuronales Netz}}
* {{WikipediaDE|Hebbsche Lernregel}}
* {{WikipediaDE|Neuronale Plastizität}}


== Literatur ==
:<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0</math>


* Donald Olding Hebb: ''The organization of behavior. A neuropsychological theory''. Erlbaum Books, Mahwah, N.J. 2002, ISBN 0-8058-4300-0
Mittels [[Fourier-Transformation]] lässt sich die allgemeine Lösung der Wellengleichung mit der Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\nu = kc</math> als [[Wikipedia:Linearkombination|Linearkombination]] komplexer [[Exponentialfunktion]]en bzw. [[Sinusfunktion]]en folgender Form darstellen:
* [[Wikipedia:Manfred Spitzer|Manfred Spitzer]]: ''Geist im Netz''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0109-7, S. 148–182
* Norman Doidge, Jürgen Neubauer (Übers.): ''Neustart im Kopf: wie sich unser Gehirn selbst repariert''. Campus-Verlag, Frankfurt am Main / New York 2008, ISBN 978-3-593-38534-1
* Rudolf Steiner: ''Physiologisch-Therapeutisches auf Grundlage der Geisteswissenschaft. Zur Therapie und Hygiene'', [[GA 314]] (1989), ISBN 3-7274-3141-5 {{Vorträge|314}}


{{GA}}
:<math>A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k \mathbf x -\omega t)}</math> bzw. <math>A\sin(\mathbf k \mathbf x -\omega t + \varphi)</math>


== Weblinks ==
== Siehe auch ==
{{Commons|Neural network}}
* [http://www.neuronalesnetz.de/ Einführung in die Grundlagen und Anwendungen neuronaler Netze]
* {{Webarchiv | url=http://wwwmath.uni-muenster.de/SoftComputing/lehre/material/wwwnnscript/startseite.html | wayback=20010515082546 | text=Einführung in Neuronale Netze}}
* {{Webarchiv | url=http://neurocomputing.org/History/body_history.html | wayback=20060203191836 | text=Geschichte der Neuronalen Netze bis 1960}} (engl.)
* [http://www.dkriesel.com/science/neural_networks Ein kleiner Überblick über Neuronale Netze (D. Kriesel)] - Ausführliche, illustrierte Arbeit zu Neuronalen Netzen; Themen sind u.&nbsp;a. Perceptrons, Backpropagation, Radiale Basisfunktionen, Rückgekoppelte Netze, Self Organizing Maps, Hopfield-Netze.
* [http://www.mpg.de/100045/HM09_NeuronalePlastizitaet.pdf ''Neuronale Plastizität: Das formbare Gehirn''] (PDF) In: [http://www.mpg.de/perspektiven Forschungsperspektiven 2010+], [[Wikipedia:Max-Planck-Gesellschaft|Max-Planck-Gesellschaft]].
* Ulrich Kraft: [http://www.mpg.de/932978/F004_Fokus_038_043.pdf ''Altern mit Köpfchen''.] (PDF; 2,6&nbsp;MB) In: ''[[Wikipedia:MaxPlanckForschung|MaxPlanckForschung]]'', Heft 1/2007
* {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/Models_of_synaptic_plasticity|Models of Synaptic Plasticity}}
* {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/Maintenance_of_synaptic_plasticity|Maintenance of synaptic plasticity|Harel Z. Shouval}}


== Einzelnachweise ==
* {{WikipediaDE|Welle}}


<references />
== Weblinks ==
{{Commonscat|Waves|Wellen}}
* [http://www.chemie.de/lexikon/Wellengleichung.html Wellengleichung] auf [http://www.chemie.de chemie.de]


[[Kategorie:Nervensystem]] [[Kategorie:Informatik]]
[[Kategorie:Artikel mit Animation]] [[Kategorie:Physik]] [[Kategorie:Wellenlehre]]

Version vom 19. April 2019, 10:02 Uhr

Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit der Wellenlänge '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' (in blau) und die magnetische Flussdichte '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel. Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit der Wellenlänge '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' (in blau) und die magnetische Flussdichte '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel.
Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit der Wellenlänge breitet sich in x-Richtung aus, die elektrische Feldstärke (in blau) und die magnetische Flussdichte (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel.

Eine Welle ist aus physikalischer Sicht eine sich räumlich mit einer bestimmten Geschwindigkeit ausbreitende Veränderung (Störung) bzw. Schwingung einer orts- und zeitabhängigen physikalischen Größe. Dabei wird keine Materie, wohl aber Energie transportiert. Mechanische Wellen - wie beispielsweise Schallwellen oder Wasserwellen - bedürfen für ihre Ausbreitung eines materiellen Trägers (bei Schallwellen z.B. Luft, Wasser oder auch Festkörper), während sich etwa elektromagnetische Wellen auch im Vakuum ausbreiten können.

Transversalwelle Longitudinalwelle
Transversalwelle
Longitudinalwelle

Grundlagen

Fällt die Schwingungsrichtung mit der Ausbreitungsrichtung zusammen, spricht man von Logitudinalwellen, während bei Transversalwellen die Schwingung quer zur Ausbreitungsrichtung erfolgt. Dreht sich dabei die Schwingungsebene um die Ausbreitungsachse, spricht man von Torsionswellen. Schallwellen breiten sich in Flüssigkeiten und Gasen als Longitudinalwellen aus, in Festkörpern hingegen ähnlich den elektromagnetischen Wellen auch als Transversalwellen.

lineare Polarisation
zirkulare Polarisation
elliptische Polarisation

Bei Transversalwellen kann das Phänomen der Polarisation auftreten. Bei konstanter Schwingungsrichtung handelt es sich um eine lineare Polarisation. Bei der zirkularen Polarisation (früher auch drehende Polarisation genannt) ändert sich die Schwingungsrichtung hingegen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit. Eine Mischform dieser beiden Möglichkeiten ist die elliptische Polarisation. Ändert sich die Schwingungsrichtung beständig und völlig ungeordnet, ist die Welle unpolarisiert.

Die Wellenlänge ist der kleinste Abstand zweier Punkte in gleicher Phase und umgekehrt proportional zur Frequenz , mit der Phasengeschwindigkeit als Proportionalitätsfaktor. Ihr Kehrwert ist die Wellenzahl , die die Anzahl der Wellenlängen pro Längeneinheit angibt. Für monochromatische Wellen ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle mit der Phasengeschwindigkeit identisch.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \lambda=\frac c\nu\} bzw.

Für elektromagnetische Wellen ist gleich der Lichtgeschwindigkeit, d.h. der endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Vakuum. Nach den Maxwellschen Gleichungen der Elektrodynamik ist sie unabhängig von der Frequenz und der Bewegung der Lichtquelle stets konstant. Ihr Wert beträgt . Aus der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit folgen die 1905 von Albert Einstein veröffentlichten Gesetzmäßigkeiten der speziellen Relativitätstheorie.

Sinuswelle

Eine fortschreitende Wanderwelle mit der Wellenlänge
Eine stehende Welle (schwarz) als Überlagerung zweier gegenläufiger Wanderwellen (rot und blau). Die Knoten der stehenden Welle befinden sich an den roten Punkten.
Ausbreitung eines eindimensionalen Wellenpakets ohne Dispersion.
Die Ebenen gleicher Phase einer ebenen Welle im dreidimensionalen Raum.

Eine monochromatische Welle, d.h. eine Welle mit nur einer einzigen Frequenz, kann als harmonische Welle, d.h. als Sinuswelle durch die Funktion beschrieben werden. ist dabei die Amplitude, die Kreisfrequenz, die Zeit und die Anfangsphase der Welle.

Stehende Welle und Wanderwelle

Eine stehende Welle ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Auslenkung - im Gegensatz zu einer fortschreitenden Wanderwelle - an bestimmten Stellen, den Wellenknoten, stets Null bleibt, während sie an anderen, den Wellenbäuchen, weit ausschwingt.

Wellenpaket

Ein Wellenpaket ist eine räumlich oder zeitlich begrenzte Welle. Mathematisch kann sie durch Überlagerung (Superposition) mehrerer harmonischer Wellen (Sinuswellen) erzeugt werden (→ Fourier-Synthese) bzw. durch Fourier-Analyse bzw. experimentell durch Spektralanalyse wieder in ihre Bestandteile zerlegt werden.

Ist die Phasengeschwindigkeit der Welle von der Frequenz abhängig, kommt es zur Dispersion durch die das Wellenpaket mit fortschreitender Zeit zerfließt.

Ebene Welle

Eine ebene Welle breitet sich so im dreidimensionalen Raum aus, dass ihre Wellenfronten, d.h. die Flächen mit gleichen Phasenwinkel, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen.

Wellengleichung

Mathematisch betrachtet ist eine Welle im -dimensionalen Raum eine Lösung der allgemeinen Wellengleichung.

Für die homogene Wellengleichung gilt:

bzw. mit dem Laplace-Operator bzw. kurz

mit dem d’Alembert-Operator (Box)

Mit der Inhomogenität oder Quelle von ergibt sich entsprechend für die inhomogene Wellengleichung:

Für eine eindimensionalen homogene Welle folgt daraus die vereinfachte Form:

Mittels Fourier-Transformation lässt sich die allgemeine Lösung der Wellengleichung mit der Kreisfrequenz als Linearkombination komplexer Exponentialfunktionen bzw. Sinusfunktionen folgender Form darstellen:

bzw.

Siehe auch

Weblinks

Commons: Wellen - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema