Operator (Mathematik): Unterschied zwischen den Versionen

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(Differentialoperator)
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Ein '''Operator''' (von [[lat.]] ''operatio'' „Arbeit, Verrichtung, Betätigung“) ist eine [[Kalkül|mathematische Vorschrift]], d.h. eine exakt [[Definition|definierte]] [[Handlung]]sanweisung, die auf ein oder mehrere [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]], die '''Operanden''', angewendet wird und durch diese mathematische [[Operation (Mathematik)|Operation]] ein neues mathematisches Objekt erzeugt. Am bekanntesten sind die Operatoren für die vier [[Grundrechenarten]] zusammen mit dem '''Gleichheitsoperator''':
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Ein '''Operator''' (von [[lat.]] ''operatio'' „Arbeit, Verrichtung, Betätigung“) ist eine [[Kalkül|mathematische Vorschrift]] für eine '''Rechenoperation''', d.h. eine exakt [[Definition|definierte]] [[Handlung]]sanweisung, die auf ein oder mehrere [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]], die '''Operanden''', angewendet wird und durch diese mathematische [[Operation (Mathematik)|Operation]] ein neues mathematisches Objekt erzeugt. Am bekanntesten sind die Operatoren für die vier [[Grundrechenarten]] zusammen mit dem '''Gleichheitsoperator''':
  
 
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Ein '''linearer Operator''' ist eine homogene und additive [[Abbildung (Mathematik)|Abbildung]] <math>T</math>, die einen reellen oder komplexen [[Vektorraum]] <math>X</math> derart auf einen Vektorraum <math>Y</math> abbildet, sodass für alle <math>x, y \in X</math> und <math>\lambda \in \R</math> (bzw. <math>\lambda \in \mathbb C</math>) gilt: 
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:'''Homogenität''': <math>T (\lambda x) = \lambda T(x)</math>
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Ein '''Differentialoperator''' ordnet einer gegebenen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] eine Funktion zu, die deren [[Ableitungsfunktion|Ableitung]] nach einer oder mehreren [[Variable]]n enthält. Das einfachste und wichtigste Beispiel ist die gewöhnliche Ableitung nach einer Variablen:
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Ein '''Differentialoperator''' ordnet einer gegebenen [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] eine Funktion zu, die deren [[Ableitungsfunktion|Ableitung]] nach einer oder mehreren [[Variable]]n enthält. Handelt es sich dabei um einen linearen Operator, so liegt ein '''linearer Differentialoperator''' vor. Im Fall einer [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitung]] spricht man von einem '''partiellen Differentialoperator'''.
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:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\colon f \mapsto \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f= \frac{\mathrm d f}{\mathrm d x} = f'</math>
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Weitere, für die [[Vektoranalysis]] wichtige Beispiele sind die Operatoren [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] (grad), [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] (div) und [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] (rot), die mittels des '''Nabla-Operators''' <math>\nabla</math> (auch <math>\vec{\nabla}</math>, um den vektoriellen Charakter zu betonen) formuliert werden. Formal handelt es sich dabei um einen [[Vektor]], dessen Komponenten die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungsoperatoren]] <math>\textstyle\frac\partial{\partial x_i}</math> sind:
 
Weitere, für die [[Vektoranalysis]] wichtige Beispiele sind die Operatoren [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] (grad), [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] (div) und [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotation]] (rot), die mittels des '''Nabla-Operators''' <math>\nabla</math> (auch <math>\vec{\nabla}</math>, um den vektoriellen Charakter zu betonen) formuliert werden. Formal handelt es sich dabei um einen [[Vektor]], dessen Komponenten die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungsoperatoren]] <math>\textstyle\frac\partial{\partial x_i}</math> sind:

Version vom 15. Februar 2020, 07:51 Uhr

Ein Operator (von lat. operatio „Arbeit, Verrichtung, Betätigung“) ist eine mathematische Vorschrift für eine Rechenoperation, d.h. eine exakt definierte Handlungsanweisung, die auf ein oder mehrere mathematische Objekte, die Operanden, angewendet wird und durch diese mathematische Operation ein neues mathematisches Objekt erzeugt. Am bekanntesten sind die Operatoren für die vier Grundrechenarten zusammen mit dem Gleichheitsoperator:

Operator Funktion Beispiel
LaTeX: + Addition LaTeX: 3 + 2 = 5
LaTeX: - Subtraktion LaTeX: 5 - 3 = 5 + (-1 \cdot 3) = 2
LaTeX: \cdot \quad \times Multiplikation LaTeX: 2 \cdot 3 = 2 \times 3 = 6
LaTeX: : \quad \div Division LaTeX: 6 : 3 = 6 \div 3 = 2
LaTeX: = Gleichheit LaTeX: 6 = 8 - 2

Linearer Operator

Ein linearer Operator ist eine homogene und additive Abbildung LaTeX: T, die einen reellen oder komplexen Vektorraum LaTeX: X derart auf einen Vektorraum LaTeX: Y abbildet, sodass für alle LaTeX: x, y \in X und LaTeX: \lambda \in \R (bzw. LaTeX: \lambda \in \mathbb C) gilt:

Homogenität: LaTeX: T (\lambda x) = \lambda T(x)
Additivität: LaTeX: T (x + y) = T(x) + T(y)

Differentialoperator

Ein Differentialoperator ordnet einer gegebenen Funktion eine Funktion zu, die deren Ableitung nach einer oder mehreren Variablen enthält. Handelt es sich dabei um einen linearen Operator, so liegt ein linearer Differentialoperator vor. Im Fall einer partiellen Ableitung spricht man von einem partiellen Differentialoperator.

Das einfachste und wichtigste Beispiel ist die gewöhnliche Ableitung nach einer Variablen:

LaTeX: \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\colon f \mapsto \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f= \frac{\mathrm d f}{\mathrm d x} = f'

Weitere, für die Vektoranalysis wichtige Beispiele sind die Operatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot), die mittels des Nabla-Operators LaTeX: \nabla (auch LaTeX: \vec{\nabla}, um den vektoriellen Charakter zu betonen) formuliert werden. Formal handelt es sich dabei um einen Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren LaTeX: \textstyle\frac\partial{\partial x_i} sind:

LaTeX: \vec{\nabla} = \begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x_1} \\ \frac{\partial}{\partial x_2} \\ \frac{\partial}{\partial x_3}\end{pmatrix}

Siehe auch