Quadratur des Kreises

Das Quadrat und der Kreis haben den gleichen Flächeninhalt.

Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Das wiederum entspricht der Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ aus der Strecke 1. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, so ist die Aufgabe aufgrund der Transzendenz von $\pi$ unlösbar. Das konnte im Jahr 1882 vom deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden.

Die Quadratur des Kreises gehört zu den populärsten Problemen der Mathematik. Jahrhundertelang suchten neben Mathematikern auch immer wieder Laien vergeblich nach einer Lösung. Der Begriff Quadratur des Kreises ist in vielen Sprachen zu einer Metapher für eine unlösbare Aufgabe geworden.

Geschichte

→ Hauptartikel: Kreiszahl

Vorgeschichte

Näherungsverfahren des Ahmes im Papyrus Rhind:
Ein Kreis mit Durchmesser 9 in einem Quadrat der Seitenlänge 9, das in neun kleinere Quadrate der Seitenlänge 3 zerlegt wird.
Die Fläche des Kreises entspricht ungefähr der Fläche eines (unregelmäßigen) Achtecks (7·9) und etwas genauer der eines Quadrats mit Seitenlänge 8 (64).

Bereits in den altorientalischen Hochkulturen gab es Verfahren zur Berechnung von Kreisflächen. Beispielsweise wird in einer Problemstellung des Papyrus Rhind (um 1650 v. Chr.) die Fläche eines Kreises vom Durchmesser 9 über ein (unregelmäßiges) Achteck angenähert – indem beide einem Quadrat der Seitenlänge 9 einbeschrieben werden, das in 9 kleinere Quadrate zerlegt wird – und darüber der Fläche eines Quadrats der Seitenlänge 8 gleichgesetzt, was einem recht genauen Wert für die Kreiszahl π von 3 + ¹/₉ + ¹/₂₇ + ¹/₈₁ = 3,16… entspricht. Derartige Musterlösungen waren aus der Praxis gewonnen und für die Praxis bestimmt, es gab keine weitergehenden theoretischen Überlegungen, insbesondere wurde kein Unterschied zwischen exakter Lösung und Näherung gemacht.

Eine deduktive Vorgehensweise in der Mathematik, bei der durch Beweise gestützte Sätze die Musteraufgaben ersetzen, entwickelte sich ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. in Griechenland. Ansatzweise ist sie schon bei Thales von Milet, deutlicher in der von Pythagoras von Samos gegründeten Schule der Pythagoreer zu erkennen. Mit der gemeinhin dem Pythagoreer Hippasos von Metapont zugeschriebenen Entdeckung inkommensurabler Strecken im späten 6. oder frühen 5. Jahrhundert stellte sich heraus, dass es konstruierbare Objekte gibt (beispielsweise die Diagonale eines Quadrats), die nicht als ganzzahliges Verhältnis darstellbar sind. Als Folge dieser Entdeckung trat die Arithmetik zugunsten der Geometrie in den Hintergrund, Gleichungen mussten jetzt geometrisch gelöst werden, etwa durch Aneinanderlegung von Figuren und Überführung verschiedener Figuren in Rechtecke oder Quadrate. Aus dem späten 5. Jahrhundert stammen die drei klassischen Konstruktionsprobleme der antiken Mathematik, neben der Quadratur des Kreises noch die Aufgabe der Dreiteilung des Winkels und das Delische Problem der Verdoppelung des Würfels.

Eine Beschränkung der Konstruktionsmittel auf Zirkel und Lineal wurde dabei nicht generell gefordert. Während der Beschäftigung mit den klassischen Problemen wurden schon früh Lösungen gefunden, die auf weitergehenden Hilfsmitteln basieren. Allerdings kristallisierte sich im Lauf der Zeit eine Haltung heraus, die eine möglichst weitgehende Beschränkung verlangt. Spätestens bei Pappos war diese weitestgehende Beschränkung zur Maßregel geworden.

Frühe Arbeiten

Als einer der ersten soll dem griechischen Schriftsteller Plutarch zufolge der Philosoph Anaxagoras „im Gefängnis die Quadratur des Kreises aufgeschrieben (oder: gezeichnet, altgriech. ἔγραφε)“ haben, nähere Angaben zu Anaxagoras’ Konstruktion macht Plutarch nicht. Ein Gefängnisaufenthalt des Anaxagoras wäre auf etwa 430 v. Chr. zu datieren, als der Philosoph in Athen wegen Gottlosigkeit angeklagt war und schließlich fliehen musste. Ausführlichere Quellen zu den Anfängen der Forschung sind hauptsächlich spätantike Kommentare zu Werken des Aristoteles, Schriften also, die mit einer zeitlichen Distanz von rund 900 Jahren entstanden sind. Dementsprechend unsicher sind zeitliche Reihenfolge und genaue Gedankengänge der ersten Ansätze. Die wichtigsten Arbeiten des 5. Jahrhunderts v. Chr. stammen von Hippokrates von Chios, Antiphon, Bryson von Herakleia und Hippias von Elis.

Die „Möndchen des Hippokrates“: Die Fläche des grauen „Möndchens“ entspricht der des rechtwinkligen Dreiecks ABC

Die Überführung von Dreiecken in Rechtecke, von Rechtecken in Quadrate (Quadratur des Rechtecks) oder die Addition zweier Quadrate (Satz des Pythagoras) war mit den bekannten geometrischen Sätzen bereits damals elementar zu bewältigen. Die grundlegende Frage, ob auch krummlinig begrenzte Flächen exakt in Quadrate überführt werden können, konnte um 440 v. Chr. von Hippokrates von Chios positiv beantwortet werden. Ausgehend von dem bei ihm noch als Axiom benutzten Satz, dass sich die Flächen ähnlicher Kreissegmente wie die Quadrate über ihren Sehnen verhalten, gelang es Hippokrates, von Kreisbögen begrenzte Flächen, die sogenannten „Möndchen des Hippokrates“, zu quadrieren. Die Quadratur des Kreises ist auf diese Weise jedoch nicht zu erreichen, da nur bestimmte Möndchen – zum Beispiel die über der Seite des Quadrats, nicht jedoch die über der Seite eines regelmäßigen Sechsecks – quadrierbar sind.

Da Dreiecke (und damit beliebige Vielecke) in ein Quadrat übergeführt werden konnten, war ein zweiter Ansatz, ein dem Kreis flächengleiches Polygon zu konstruieren. Antiphon hatte die Idee, den Kreis durch einbeschriebene Vielecke anzunähern. Bryson von Herakleia verfeinerte dieses Vorgehen, indem er den Kreis zusätzlich durch umbeschriebene Vielecke näherte und einen Zwischenwert bildete.

Hippias von Elis entwickelte etwa 425 v. Chr. zur Lösung der Winkeldreiteilung eine Kurve, die mechanisch durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung erzeugt wurde. Gut hundert Jahre später entdeckte Deinostratos, dass mithilfe dieser Kurve, der sogenannten Quadratrix, die Strecke der Länge $2/\pi$ – und damit mithilfe weiterer elementarer Konstruktionen ein Quadrat der Fläche π – konstruiert werden kann. Da die Quadratrix selbst jedoch eine sogenannte transzendente Kurve ist, also nicht mit Zirkel und Lineal zu erzeugen, war die Lösung im strengen Sinne damit nicht erreicht.

Archimedes

Kreisquadratur mithilfe der Spirale: A bezeichne den Punkt der Spirale um den Ursprung O, den sie nach der ersten Umdrehung erreicht. Die Tangente an die Spirale in diesem Punkt schneide die Senkrechte zu OA in B. Nach Archimedes ist die Strecke BO gleich dem Umfang des Kreises mit Radius OA, die Fläche des roten Kreises also gleich der Fläche des blauen Dreiecks.

Eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel Kreismessung ist von Archimedes überliefert. Archimedes beweist in dieser Arbeit drei grundlegende Sätze:

1. Die Fläche eines Kreises ist gleich der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit dem Kreisradius als der einen und dem Kreisumfang als der anderen Kathete. Berechnen lässt sich die Kreisfläche also als ½ · Radius · Umfang.
2. Die Fläche eines Kreises verhält sich zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie ¹¹/₁₄.
3. Der Umfang eines Kreises ist größer als 3+¹⁰/₇₁ und kleiner als 3+¹⁰/₇₀ des Durchmessers.

Mit dem ersten Satz ist das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage nach der Konstruierbarkeit des Umfangs eines Kreises aus dem vorgegebenen Radius und damit auf die Konstruierbarkeit von π zurückgeführt. Im dritten Satz gibt Archimedes gleich eine ebenso einfache wie genaue Näherung dieser Zahl an, nämlich ²²/₇, ein Wert (≈ 3,143), der für praktische Zwecke noch heute Verwendung findet. Der zweite Satz ist ein einfaches Korollar aus den beiden anderen; dass sich die Fläche eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält, war bereits Euklid bekannt, Archimedes gibt hier den Wert der Proportionalitätskonstanten an.

Zum Beweis seiner Aussagen greift Archimedes die Brysonsche Idee der beliebigen Annäherung des Kreises durch ein- und umbeschriebene regelmäßige Polygone auf. Ausgehend vom einbeschriebenen Sechseck und umbeschriebenen Dreieck gelangt Archimedes durch sukzessive Verdoppelung der Seitenzahl jeweils beim 96-Eck an. Eine geschickte Abschätzung der in den einzelnen Rechenschritten auftretenden Quadratwurzeln ergibt die in Satz 3 genannten Schranken.

In einer weiteren Arbeit Über Spiralen beschreibt Archimedes die Konstruktion der später nach ihm benannten archimedischen Spirale, die ähnlich wie Hippias’ Quadratrix durch die Überlagerung einer kreisförmigen mit einer linearen Bewegung gewonnen wird. Er zeigt, dass durch das Anlegen der Tangente an diese Spirale der Umfang eines Kreises auf einer Geraden abgetragen werden kann. Auf die damit geleistete Quadratur des Kreises weisen spätere Kommentatoren hin, Archimedes selbst macht dazu keine Aussage. Wie bei der Quadratrix sind weder die Spirale selbst noch ihre Tangente mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Mittelalter

Die Kreisquadratur des Franco von Lüttich: Franco zerlegt den Kreis in 44 Sektoren, die er zu einem Rechteck zusammensetzt.

Infolge eines verstärkten Interesses für die antike Mathematik im christlichen Europa ab etwa dem 11. Jahrhundert entstanden etliche Abhandlungen über die Quadratur des Kreises, jedoch ohne dass dabei wesentliche Beiträge zur eigentlichen Lösung geleistet wurden. Als Rückschritt zu betrachten ist, dass im Mittelalter der Archimedische Näherungswert von ²²/₇ für die Kreiszahl lange Zeit als exakt galt.

Einer der ersten Autoren des Mittelalters, der das Problem der Kreisquadratur wiederaufnahm, war Franco von Lüttich. Um 1050 entstand sein Werk De quadratura circuli. Franco stellt darin zunächst drei Quadraturen vor, die er verwirft. Die ersten beiden geben für die Seitenlänge des Quadrates ⁷/₈ beziehungsweise für die Diagonale ¹⁰/₈ des Kreisdurchmessers an, was relativ schlechten Näherungen von 3¹/₁₆ und 3¹/₈ für π entspricht. Der dritte Vorschlag wiederum setzt den Umfang des Quadrates dem Kreisumfang gleich, verlangt also die Rektifikation des letzteren.

Francos eigene Lösung geht von einem Kreis mit Durchmesser 14 aus. Dessen Fläche beträgt aus seiner Sicht genau 7² × ²²/₇ = 154. Rechnerisch lässt sich nach Francos Argumentation kein flächengleiches Quadrat finden, da die Quadratwurzel aus ²²/₇ irrational ist, konstruktiv jedoch schon. Dazu zerlegt er den Kreis in 44 gleiche Sektoren, die er zu einem Rechteck der Seitenlängen 11 und 14 zusammenfügt. Den nötigen Kunstgriff, bei dem er die Kreissektoren durch rechtwinklige Dreiecke mit Katheten der Länge 1 und 7 ersetzt, erläutert Franco allerdings nicht. Problematisch ist auch sein nicht ganz geglückter Versuch, das Rechteck anschließend durch eine geeignete Zerlegung in ein Quadrat zu überführen. Offensichtlich war Franco das althergebrachte griechische Verfahren nicht geläufig.

Spätere Abhandlungen der Scholastik erschöpfen sich mehr oder minder in einer Abwägung der Argumente der bekannten Klassiker. Erst mit der Verbreitung lateinischer Übersetzungen der archimedischen Schriften im Spätmittelalter wurde der Wert ²²/₇ wieder als Näherung erkannt und nach neuen Lösungen des Problems gesucht, so beispielsweise von Nikolaus von Kues. Dieser griff die Idee, den Kreis durch eine Folge regelmäßiger Vielecke mit wachsender Seitenzahl anzunähern, wieder auf, suchte im Gegensatz zu Archimedes jedoch nicht den Kreisumfang, sondern den Kreisradius bei vorgegebenem gleichbleibendem Umfang der Polygone zu bestimmen. In einem Brief gab von Kues eine solche Lösung, die er für genau hielt, an. Der daraus ermittelte Wert für die Kreiszahl liegt auch immerhin zwischen den von Archimedes gegebenen Grenzen. Die eigentlichen cusanischen Arbeiten zum Thema liefern deutlich schlechtere Näherungen und wurden damit zum Ziel einer Streitschrift des Regiomontanus, der die Ungenauigkeit der Berechnungen nachwies und die Beweise „als philosophische, aber nicht als mathematische“ bezeichnete.

Fortschritte der Kreismessung in der frühen Neuzeit

Fortschritte in der Kreisberechnung brachten ab dem 16. Jahrhundert die Weiterentwicklung des archimedischen Näherungsverfahrens sowie das Aufkommen moderner analytischer Methoden.

Bei der ursprünglichen Methode des Archimedes wird der Kreisumfang durch den Umfang eines dem Kreis einbeschriebenen und den eines dem Kreis umbeschriebenen Vielecks abgeschätzt. Genauere Schranken ergeben sich durch eine Erhöhung der Eckenzahl. Der niederländische Mathematiker Willebrord van Roijen Snell (Snellius) fand heraus, dass auch, ohne die Seitenzahl zu vergrößern, feinere Schranken für die Länge eines Bogenstückes als nur die Sehnen der Polygone angegeben werden können. Er konnte dieses Ergebnis allerdings nicht streng beweisen. Die Ausarbeitung und Verbesserung des snelliusschen Ansatzes leistete Christiaan Huygens in seiner Arbeit De circuli magnitudine inventa, in der er auch den Beweis der von Snellius aufgestellten Sätze erbrachte. Auf rein elementargeometrischem Weg gelang Huygens eine so gute Eingrenzung der zwischen Vieleck und Kreis liegenden Fläche, dass er bei entsprechender Seitenzahl der Polygone die Kreiszahl auf mindestens dreimal so viel Stellen genau erhielt wie Archimedes mit seinem Verfahren.

Der rein geometrische Ansatz zur Bestimmung der Kreiskonstanten war mit Huygens Arbeit im Wesentlichen ausgeschöpft. Bessere Näherungen ergaben sich mithilfe von unendlichen Reihen, speziell der Reihenentwicklung trigonometrischer Funktionen. Zwar hatte François Viète schon Ende des 16. Jahrhunderts durch die Betrachtung bestimmter Streckenverhältnisse aufeinanderfolgender Polygone eine erste exakte Darstellung von π durch ein unendliches Produkt gefunden, doch erwies sich diese Formel als unhandlich. Eine einfachere Reihe, die darüber hinaus nur mit rationalen Operationen auskommt, stammt von John Wallis, eine weitere Darstellung der Kreiszahl als Kettenbruch von William Brouncker. Wichtiger für die Praxis war die von James Gregory und davon unabhängig von Gottfried Wilhelm Leibniz gefundene Reihe für den Arcustangens. Obwohl diese Reihe selbst nur langsam konvergiert, kann man aus ihr andere Reihen ableiten, die sich wiederum sehr gut zur Berechnung der Kreiszahl eignen. Anfang des 18. Jahrhunderts waren mithilfe solcher Reihen über 100 Stellen von π berechnet, neue Erkenntnisse über das Problem der Kreisquadratur konnten dadurch allerdings nicht gewonnen werden.

Algebraische Problemstellung und Irrationalität von π

Oronce Fine, Quadratura circuli, 1544

J. P. de Faurè, Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature mathematique du cercle, 1747

Zur Lösung des Problems bedurfte es zum einen der Möglichkeit, dem geometrischen Begriff „konstruierbar“ eine algebraische Bedeutung zu geben, zum anderen genauerer Einsicht der Eigenschaften der Kreiszahl.

Eine geometrische Konstruktion mit Zirkel und Lineal geht von einer endlichen Anzahl vorgegebener Punkte aus und ermittelt in einer endlichen Anzahl von Schritten neue Punkte durch das Schneiden zweier Geraden, zweier Kreise oder einer Geraden mit einem Kreis. Die Übersetzung dieser Vorgehensweise in die Sprache der Algebra gelang durch die Einführung von Koordinatensystemen im Rahmen der im 17. Jahrhundert hauptsächlich von Pierre de Fermat und René Descartes entwickelten analytischen Geometrie. Geraden und Kreise konnten mit den neuen Mitteln durch Gleichungen beschrieben, Schnittpunkte durch das Lösen von Gleichungssystemen bestimmt werden. Es stellte sich heraus, dass die mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Streckenlängen genau die sind, die sich durch eine endliche Zahl von rationalen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie einer endlichen Anzahl von Quadratwurzeln aus einer vorgegebenen Länge ableiten lassen. Insbesondere sind diese Längen algebraische Zahlen, also eine Teilmenge der Zahlen, die eine Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen Grades mit rationalen Koeffizienten sind. Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent und sind nicht konstruierbar.

Ausgangspunkt für die weiteren Untersuchungen der Kreiszahl waren einige grundlegende Erkenntnisse Leonhard Eulers, die dieser 1748 in seinem Werk Introductio in analysin infinitorum veröffentlicht hatte. Euler stellte unter anderem mit der bekannten Formel

$e^{i\,z}=\cos z+i\sin z$

erstmals einen Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion her und lieferte darüber hinaus einige Kettenbruch- und Reihendarstellungen von π und der später nach ihm benannten eulerschen Zahl e.

Diese Vorarbeit machte sich Johann Heinrich Lambert zunutze, der mithilfe einer der eulerschen Kettenbruchentwicklungen 1766 erstmals zeigen konnte, dass e und π irrationale, also nicht durch einen ganzzahligen Bruch darstellbare Zahlen sind. Eine kleine Lücke in Lamberts Beweisführung wurde 1806 von Adrien-Marie Legendre geschlossen, der gleichzeitig den Irrationalitätsbeweis für $\pi ^{2}$ erbrachte.

Die Vermutung, dass π nicht algebraisch sein könne, stand jetzt im Raum, wurde zumindest von Euler, Lambert und Legendre ausgesprochen. Dabei war bis zur Mitte des 19. Jahrhunderts noch nicht klar, dass es überhaupt transzendente Zahlen geben musste. Dieser Nachweis gelang 1844/1851 Joseph Liouville durch explizite Konstruktion von transzendenten liouvilleschen Zahlen.

Beweis der Unmöglichkeit

Ferdinand von Lindemann konnte 1882 schließlich beweisen, dass π nicht algebraisch, sondern transzendent ist. Deshalb ist π in gerader Linie nicht konstruierbar und die Quadratur des Kreises unmöglich.

Lindemann griff in seiner Arbeit auf ein Ergebnis des französischen Mathematikers Charles Hermite zurück. Dieser hatte 1873 gezeigt, dass die eulersche Zahl e transzendent ist. Darauf aufbauend konnte Lindemann den sogenannten Satz von Lindemann-Weierstraß beweisen, der besagt, dass für beliebige, voneinander verschiedene algebraische Zahlen $z_{1},\dots ,z_{r}$ und für beliebige algebraische Zahlen $n_{1},\dots ,n_{r}$ die Gleichung

$\sum _{i=1}^{r}n_{i}e^{z_{i}}=0$

nur dann gelten kann, wenn alle $n_{i}$ den Wert Null haben. Insbesondere kann für keine von Null verschiedene algebraische Zahl z der Ausdruck $e^{z}$ eine rationale Zahl ergeben. Nach dieser Vorbereitung konnte Lindemann die Annahme, π sei algebraisch, mithilfe der eulerschen Identität $e^{i\pi }=-1$ zum Widerspruch führen; π musste somit transzendent sein.

Lindemanns Beweis für die Transzendenz von π wurde in den folgenden Jahren und Jahrzehnten noch wesentlich vereinfacht, so etwa durch David Hilbert im Jahre 1893.

Popularität der Kreisquadratur

Die Quadratur des Kreises erreichte wie nur wenige andere Fragestellungen auch außerhalb der Mathematik eine große Popularität. Als Folge versuchten sich viele mathematische Laien an der Lösung des einfach erscheinenden Problems; etliche glaubten, sie gefunden zu haben.

Als frühester Beleg für das Auftauchen eines sogenannten „Kreisquadrierers“ oder „Quadrators“ wird gelegentlich eine Stelle in Aristophanes’ Komödie Die Vögel zitiert, in der Meton als Vermesser auftritt und den Grundriss einer neuen Stadt mit geometrischen Hilfsmitteln so festlegen will, dass „der Kreis ein Viereck werde“. Gemeint ist damit jedoch nicht die Quadratur eines Kreises, sondern das Anlegen zweier rechtwinklig aufeinandertreffender Straßen, auch wenn der Ausdruck wie eine Anspielung auf die Kreisquadratur erscheint.

Berichte über ein wachsendes Aufkommen an Amateurarbeiten ab dem 18. und 19. Jahrhundert und Beispiele zum Thema finden sich bei Jean-Étienne Montucla, Johann Heinrich Lambert und Augustus de Morgan. In der Regel handelte es sich um Verfahren, bei denen das Problem mechanisch, numerisch oder durch eine geometrische Näherungskonstruktion „exakt“ gelöst wurde. Derartige Arbeiten wurden in einer derart großen Zahl an Mathematiker oder wissenschaftliche Institutionen herangetragen, dass sich zum Beispiel die Pariser Akademie der Wissenschaften 1775 genötigt sah, die weitere Untersuchung von vorgeblichen Lösungen der Kreisquadratur offiziell abzulehnen:

Auch nach dem lindemannschen Unmöglichkeitsbeweis wurden immer noch vermeintliche Quadraturen veröffentlicht. In jüngerer Zeit sind die vergeblichen Versuche der Amateurmathematiker Stoff der Unterhaltungsmathematik geworden.

Ein Hauptgrund für die gerade für mathematische Laien hohe Attraktivität ist wohl die sehr elementare Problemstellung, die auch ohne tiefergehendes mathematisches Wissen verstanden werden kann oder zumindest verständlich zu sein scheint. Zusammen mit den zahlreichen vergeblichen Lösungsversuchen etablierter Wissenschaftler erlangte die Kreisquadratur einen regelrechten Nimbus.

Ein weiterer, nicht zu unterschätzender Grund für die zahlreichen Bemühungen um die Quadratur des Kreises war die verbreitete Meinung, auf die Lösung des Problems sei ein hoher Preis ausgesetzt – ein Irrglaube, der möglicherweise auf die irrige Vermutung zurückgeht, die Kreisquadratur stünde in direkter Verbindung mit dem ebenfalls lange ungelösten Problem der exakten Bestimmung der geographischen Länge zur See, auf dessen Lösung in der Tat Preise ausgesetzt waren. Die Sage von den Preisausschreiben hielt sich so hartnäckig, dass selbst 1891 in Meyers Konversations-Lexikon noch zu lesen war, dass „Karl V. 100.000 Thaler und die holländischen Generalstaaten eine noch höhere Summe“ ausgesetzt hätten.

Prominentes Beispiel für einen Amateurmathematiker, der die Quadratur des Kreises gefunden zu haben glaubte, war der englische Philosoph Thomas Hobbes. Seine 1665 in seinem Werk De corpore veröffentlichte Lösung – in Wirklichkeit eine Näherungskonstruktion – wurde von John Wallis noch im selben Jahr widerlegt. In der Folgezeit entspann sich zwischen den beiden eine in scharfem Tonfall geführte Auseinandersetzung, die erst mit Hobbes’ Tod im Jahr 1679 ein Ende fand.

Lambert berichtet von drei Kreisquadraturen mittels eines bestimmten rationalen Wertes. Die in der Mitte des 18. Jahrhunderts erschienenen Arbeiten beruhen auf der Näherung ³⁵/₃₁ für das Verhältnis von Kreisdurchmesser zur Seite des flächengleichen Quadrates. Für die Kreiszahl erhält man daraus die Näherung

$\pi \approx {\frac {3844}{1225}}=3{,}1379\dots .$

Einem der drei Autoren, dem Prediger Merkel aus Ravensburg, widmete Gotthold Ephraim Lessing das Gedicht „Auf den Herrn M** den Erfinder der Quadratur des Zirkels“.

Die Kreisquadratur des amerikanischen Arztes Edward J. Goodwin erschien 1894 sogar im ersten Band des American Mathematical Monthly, wenn auch nur als Annonce des Autors. Die Arbeit selbst ist in sich widersprüchlich und lässt je nach Lesart mehrere Werte für π zu. Sie war Grundlage für einen 1897 dem Parlament von Indiana vorgelegten Gesetzentwurf, der sogenannten Indiana Pi Bill, durch den die Erkenntnisse Goodwins zum Gesetz erhoben werden sollten.

Näherungskonstruktionen

Babylonisches Verfahren nach Dürer (1525)

Obwohl eine exakte Lösung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, gibt es Näherungskonstruktionen für die Kreisquadratur, die für viele Zwecke exakt genug sind. Einfache, schon in der Antike bekannte Verfahren geben ein ganzzahliges Verhältnis von Durchmesser oder Radius des Kreises zur Seite oder Diagonalen des Quadrates an. Neben der im Papyrus Rhind erwähnten Gleichsetzung des Kreises vom Durchmesser 9 mit dem Quadrat der Seitenlänge 8 war auch die des Kreises vom Durchmesser 8 mit dem Quadrat der Diagonalen 10 bekannt. Diese Konstruktion findet sich bei den Babyloniern und eventuell beim römischen Feldmesser Vitruv. Sie liefert den Wert 3¹/₈ für π. Um ein bequemes zeichnerisches Verfahren anzugeben, nimmt Albrecht Dürer diese Konstruktion im Jahr 1525 in seinem Werk Vnderweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt wieder auf. Dürer ist sich dabei bewusst, dass es sich um eine reine Näherungslösung handelt, er schreibt explizit, dass eine exakte Lösung noch nicht gefunden sei:

„Vonnöten wäre zu wissen Quadratura circuli, das ist die Gleichheit eines Zirkels und eines Quadrates, also daß eines ebenso viel Inhalt hätte als das andere. Aber solches ist noch nicht von den Gelehrten demonstrirt. Mechanice, das ist beiläufig, also daß es im Werk nicht oder nur um ein kleines fehlt, mag diese Gleichheit also gemacht werden. Reiß eine Vierung und teile den Ortsstrich in zehn Teile und reiße danach einen Zirkelriß, dessen Durchmesser acht Teile haben soll, wie die Quadratur deren 10; wie ich das unten aufgerissen habe.“

Näherungskonstruktion von Kochański (1685)

Eine klassische Näherungslösung für den halben Kreisumfang ist die Näherungskonstruktion von Kochański, die der polnische Mathematiker Adam Adamandy Kochański im Jahr 1685 entdeckt hat. Sie kommt mit nur einer Zirkelöffnung aus. Die eigentliche Konstruktion besteht aus einer Rektifikation des Halbkreises, Kochanski konstruierte aus dem vorgegebenen Radius r näherungsweise eine gerade Strecke der Länge $r\pi$. Die Quadratur folgt daraus elementar mithilfe des Kathetensatzes. Die Kreiszahl wird bei Kochański auf vier Nachkommastellen genau angenähert:

$\pi \approx {\sqrt {{\frac {40}{3}}-2{\sqrt {3}}}}=3{,}141533\dots$

Skizze aus "Manuscript book 1 of Srinivasa Ramanujan" S. 54

Im Jahr 1913 erschien eine Konstruktion des indischen Mathematikers S. Ramanujan, die auf der Näherung

$\pi \approx {\frac {355}{113}}=3{,}1415929\dots$

beruht, einem Wert, der bereits auf sechs Nachkommastellen genau ist und in Europa jedenfalls seit dem 17. Jahrhundert, in China schon seit dem 5. Jahrhundert als Zu Chongzhi-Bruch bekannt war. Ramanujan merkte bezüglich der Genauigkeit seines Verfahrens an, dass bei einer Kreisfläche von 140.000 Quadratmeilen die konstruierte Quadratseite nur um etwa einen Zoll vom wahren Wert abweiche.

Freie Übersetzung der Beschreibung; nachvollziehbar auch mit Hilfe des nebenstehenden Fotos der Skizze aus "Manuscript book 1 of Srinivasa Ramanujan" S. 54:

Es sei PQR ein Kreis mit dem Mittelpunkt O, von dem PR der Durchmesser ist. Halbiere PO in H, und T sei der Punkt aus der Dreiteilung von OR nahe R. Zeichne TQ senkrecht zu PR und setze die Sehne RS = TQ.

Verbinde P mit S und zeichne OM und TN parallel zu RS. Setze eine Sehne PK = PM und zeichne die Tangente PL = MN. Verbinde R mit L, R mit K und K mit L. Abschnitt RC = RH. Zeichne CD parallel zu KL, [CD] trifft auf RL in D.

Dann ist das Quadrat über RD annähernd gleich dem Kreis PQR.

Denn $RS^{2}={\frac {5}{36}}d^{2},$

worin $d$ der Durchmesser des Kreises ist.

Somit $PS^{2}={\frac {31}{36}}d^{2}.$

Aber $PL$ und $PK$ sind gleich $MN$ bzw. $PM.$

Somit $PK^{2}={\frac {31}{144}}d^{2},$ und $PL^{2}={\frac {31}{324}}d^{2}.$

Folglich $RK^{2}=PR^{2}-PK^{2}={\frac {113}{144}}d^{2},$

und $RL^{2}=PR^{2}+PL^{2}={\frac {355}{324}}d^{2}.$

Aber ${\frac {RK}{RL}}={\frac {RC}{RD}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {113}{355}}},$

und $RC={\frac {3}{4}}d.$

Darum $RD={\frac {d}{2}}{\sqrt {\frac {355}{113}}}=r{\sqrt {\pi }},$ nahezu gleich.

Anmerkung: Wenn die Fläche des Kreises 140.000 Quadratmeilen ist, dann ist RD um etwa einen Zoll größer als die wahre Länge.

Näherungskonstruktion nach S. A. Ramanujan (1914) mit Weiterführung der Konstruktion (gestrichelte Linien),
siehe hierzu die Animation.

In einer Arbeit aus dem Folgejahr lieferte Ramanujan neben anderen Näherungsverfahren eine weitere Quadratur mit Zirkel und Lineal. Dieser liegt der Wert

$\pi \approx {\sqrt[{4}]{9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}}}=3{,}141592652\dots$

zugrunde, der π sogar auf acht Stellen nahekommt. Ramanujan konstruierte in dieser Quadratur nicht die Seitenlänge des gesuchten Quadrates, es genügte ihm die Strecke OS darzustellen. In der nebenstehenden Weiterführung der Konstruktion, wird die Strecke OS zusammen mit der Strecke OB zur Darstellung der mittleren Proportionalen (rote Strecke  OE) herangezogen.

Freie Übersetzung der Beschreibung:

Es sei AB (Fig. 2.) ein Durchmesser eines Kreises, dessen Zentrum O ist. Halbiere den Kreisbogen ACB in C und drittel AO in T. Verbinde B mit C und trage darauf CM und MN gleich lang wie AT ab. Verbinde A mit M sowie A mit N und trage auf dem Letzteren AP gleich lang wie AM ab. Zeichne PQ parallel zu MN, dabei trifft Q auf AM. Verbinde O mit Q und zeichne TR parallel zu OQ, dabei trifft R auf AQ. Zeichne AS senkrecht auf AO und gleich lang wie AR, anschließend verbinde O mit S. Dann wird die mittlere Proportionale zwischen OS und OB sehr nahe einem Sechstel des Kreisumfanges sein, wobei der Fehler kleiner als ein Zwölftel eines Zolls sein wird, wenn der Durchmesser 8000 Meilen lang ist.

Weiterführung der Konstruktion bis zur gesuchten Seitenlänge $a$ des Quadrates:
Verlängere AB über A hinaus und schlage den Kreisbogen b₁ um O mit Radius OS, es ergibt sich S'. Halbiere BS' in D und ziehe den Thaleskreis b₂ über D. Zeichne eine gerade Linie ab O durch C bis zum Thaleskreis b₂, sie schneidet b₂ in E. Die Strecke OE ist die oben beschriebene mittlere Proportionale zwischen OS und OB auch genannt geometrisches Mittel, sie ergibt sich aus dem Höhensatz des Euklid. Verlängere die Strecke EO über O hinaus und übertrage EO darauf noch zweimal, es ergeben sich F und A₁ und somit die Länge der Strecke EA₁ mit dem oben beschriebenen Näherungswert von $\pi$, den halben Kreisumfang. Halbiere die Strecke EA₁ in G und zeichne den Thaleskreis b₃ über G. Übertrage die Strecke OB ab A₁ auf die Strecke EA₁, es ergibt sich H. Errichte auf EA₁ eine Senkrechte ab H bis zum Thaleskreis b₃, es ergibt sich B₁. Verbinde A₁ mit B₁, somit ist die gesuchte Seitenlänge $a$ für ein nahezu flächengleiches Quadrat A₁B₁C₁D₁ konstruiert.

Beispiele zur Veranschaulichung der Fehlers:

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10.000 km wäre der Fehler der Seite a ≈ −2,8 mm

Bei einem Kreis mit dem Radius r = 10 m wäre der Fehler der Fläche A ≈ −0,1 mm²

Eine einfachere Methode veröffentlichte Louis Loynes 1961. Sie beruht auf der Feststellung, dass der Flächeninhalt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat über der größeren Kathete ist, wenn der Tangens des kleineren Winkels, also das Verhältnis von kleinerer zu größerer Kathete,

${\sqrt {{\frac {4}{\pi }}-1}}=0{,}5227232\dots$

beträgt, ein Wert, der sehr nahe an dem Bruch

${\frac {23}{44}}=0{,}5227272\dots$

liegt. Daraus ergibt sich eine einfache Näherung, indem man das (konstruierbare) rechtwinklige Dreieck mit dem Katheten-Verhältnis 23:44 zur Quadratur benutzt. Der angenäherte Wert für die Kreiszahl von

$\pi \approx {\frac {7744}{2465}}=3{,}141582\dots$

ist etwas besser als bei Kochańskis Konstruktion.

Wird auf einem Strahl ein Bruch, dessen Wert annähernd der Kreiszahl $\pi$ entspricht, mithilfe des dritten Strahlensatzes konstruiert, ist es mit mehr oder weniger konstruktivem Aufwand möglich, jede gewünschte Anzahl Nachkommastellen von $\pi$ darzustellen. Für die Ermittlung der Seitenlänge des Quadrates kann z. B. der Bruch

${\frac {245850922}{78256779}}=3{,}14159265358979316028\dots$

herangezogen werden, als Näherungswert der Kreiszahl $\pi$ liefert er beachtliche fünfzehn gleiche Nachkommastellen. Der Kehrbruch dieses Bruches stammt von Johann Heinrich Lambert, der ihn u. a. m. bereits 1770 in seinem Buch Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung veröffentlichte.

Nicht-klassische Verfahren

Lockert man die Beschränkung auf Zirkel und Lineal und lässt weitere Konstruktionsmittel zu, so erhält man eine Vielzahl von Möglichkeiten, den Kreis zu quadrieren beziehungsweise ${\sqrt {\pi }}$ exakt zu konstruieren.

Quadratrizes

Mithilfe spezieller transzendenter Kurven, den sogenannten Quadratrizes, als einzigem zusätzlichem Hilfsmittel ist es möglich, einen Kreis exakt zu quadrieren. Dabei wird im mathematischen Modell die Existenz beziehungsweise Verfügbarkeit einer solchen Quadratrix einfach vorausgesetzt. Zum praktischen Zeichnen auf Papier steht sie zum Beispiel in Form einer Schablone oder eines Plotterausdrucks zur Verfügung, zudem existieren einige spezielle mechanische Zeichengeräte, mit denen sich solche Kurven erzeugen lassen. Zu den ältesten bereits seit der Antike bekannten Beispielen gehören die Quadratrix des Dinostratos, in der nebenstehenden Darstellung alternativ Quadratrix des Hippias genannt, und die Spirale des Archimedes. Wie man sie darüber hinaus zur Kreisquadratur verwendet, ist in den zugehörigen Artikeln erläutert.

In der nebenstehenden Darstellung verhalten sich nach dem ersten Strahlensatz je zwei Abschnitte zueinander auf folgende Art:

Quadratur des Kreises als exakte Konstruktion mit z. B. der Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel. Man ermittelt zuerst die Kreiszahl $\pi$ um im Anschluss zur konstruierten ${\sqrt {\pi }}$ zu gelangen.

$|AH|:|AG|=|AB|:|AF|$

Umgeformt und die entsprechenden Werte eingesetzt ergibt sich

${\frac {|AH|}{1}}={\frac {\frac {1}{1}}{\frac {2}{\pi }}}\;$ daraus $|AH|$

$\;|AH|=1\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {\pi }{2}}$

Experimentelle Konstruktion

Wasser des Zylinders in das rechtwinklige Prisma füllen

Man füllt einen Zylinder mit einem Radius von einer Längeneinheit so mit Wasser, dass die Höhe des Wasserstandes ebenfalls eine Längeneinheit beträgt. Dann füllt man die so erhaltene Wassermenge von dem Zylinder in ein Prisma um, dessen Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist und dessen Höhe vier Längeneinheiten beträgt. Dabei wird das Prisma jedoch nicht auf seiner Grundfläche aufgestellt, sondern auf seiner rechtwinkligen Dreiecksspitze (siehe Zeichnung). Die Wasserfläche im Prisma bildet dann ein Rechteck mit den Seitenlängen von vier und ${\sqrt {\pi }}$ Längeneinheiten.

Nachrechnung der Wassermenge im Prisma, $V_{P}$:

Im gleichschenkligen sowie rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse ${\sqrt {\pi }}$, ist die Kathete $x$ nach dem Satz des Pythagoras

$x^{2}+x^{2}=\pi$, daraus $x$

$x={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {2}}}$

Flächeninhalt des Dreiecks

$A_{\triangle }={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot x={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\sqrt {2}}}={\frac {\pi }{4}}$

Wassermenge im Zylinder $V_{Z}$ in Volumeneinheiten [VE]:

$V_{Z}=r^{2}\cdot \pi \cdot h=1^{3}\cdot \pi \;{\widehat {=}}\;3,14159...$ [VE]

Wassermenge im Prisma $V_{P}$ in Volumeneinheiten [VE]:

$V_{P}=A_{\triangle }\cdot 4h={\frac {\pi }{4}}\cdot 4\cdot 1=\pi \;{\widehat {=}}\;3,14159...$ [VE]

Das Ergebnis zeigt, die umgefüllte Wassermenge im Prisma ist gleich der eingefüllten Wassermenge im Zylinder.

Varianten

Tarskis Problem der Quadratur des Kreises

Alfred Tarski stellte 1925 die Aufgabe, einen Kreis in beliebig viele Teile zu stückeln und diese dann durch reine Bewegung (also ohne Streckung) so zu verschieben, dass ein Quadrat entsteht.

Miklós Laczkovich gelang 1989 die Lösung: Er bewies, dass es möglich ist, einen Kreis in endlich viele Teile zu zerlegen und diese nur durch Bewegung so zu verschieben, dass ein Quadrat entsteht. Er zerteilte den Kreis in 10⁵⁰ Stücke. Für den Beweis benötigt er jedoch das Auswahlaxiom, das von den meisten Wissenschaftlern heute zwar akzeptiert wird, aber nicht selbstverständlich ist. Der Beweis ähnelt stark dem Banach-Tarski-Paradoxon.

Laczkovich hat zwar bewiesen, dass (unter Annahme des Auswahlaxioms) so eine Zerlegung existiert, diese Zerlegung lässt sich jedoch nicht explizit angeben.

Lemniskate

Quadratur der Lemniskate

Im Gegensatz zum Kreis ist es möglich, eine Lemniskate (∞) durch zwei Quadrate darzustellen, deren Seitenlänge dem größten Lemniskatenradius a entspricht.

Siehe auch

• Quadratur des Kreises - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Quadratur des Rechtecks - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Quadratur des Quadrates - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Quadratur des Polygons - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

Allgemein

• Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises. 2. Auflage. Teubner, Leipzig 1920. (Digitalisat)
• Moritz Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Teubner, Leipzig 1880–1908 (4 Bde.).
• Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. Springer, Berlin 1984, ISBN 3-540-11647-8.
• Helmuth Gericke: Mathematik im Abendland. Springer, Berlin 1990, ISBN 3-540-51206-3.
• Thomas Little Heath: A History of Greek Mathematics. Band 1, Clarendon Press, Oxford 1921. (Nachdruck: Dover, New York 1981, ISBN 0-486-24073-8.)
• Klaus Mainzer: Geschichte der Geometrie. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1980, ISBN 3-411-01575-6.
• Ferdinand Rudio: Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre. Vier Abhandlungen über die Kreismessung. Teubner, Leipzig 1892. (Digitalisat)
• Schröer/Irle: „Ich aber quadriere den Kreis – Leonardo da Vincis Proportionsstudie“

Zur Transzendenz von π

• Ferdinand Lindemann: Über die Zahl π. In: Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213–225.
• David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π. In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216–219.
• Paul Albert Gordan: Transcendenz von e und π. In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 222–224.
• Theodor Vahlen: Beweis des Lindemann’schen Satzes über die Exponentialfunction. In: Mathematische Annalen 53 (1900), S. 457–460.

Unterhaltungsmathematik

• Underwood Dudley: Mathematik zwischen Wahn und Witz. Trugschlüsse, falsche Beweise und die Bedeutung der Zahl 57 für die amerikanische Geschichte, Birkhäuser, Basel 1995, ISBN 3-7643-5145-4. (englischer Originaltitel: Mathematical cranks)

Weblinks

•  Wikiversity: Eine Vorlesung zur Quadratur des Kreises – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch
• Commons: Quadratur des Kreises - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
•  Wiktionary: Quadratur des Kreises – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
•  Wikibooks: Die Quadratur des Kreises mit 245850922 : 78256779, dem Kehrwert eines Bruchs von Johann Heinrich Lambert – Lern- und Lehrmaterialien
• Quadratur des Kreises. In: digitales Wortschatz-Lexikon (Uni Leipzig)
• Artikel im MacTutor History of Mathematics archive
• Stephen Wolfram: Who Was Ramanujan?