Agrargesellschaft und Gruppe (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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Die '''Agrargesellschaft''' ist eine vormoderne [[Gesellschaft (Recht)|Gesellschaft]] mit einem hohen Anteil an [[Beschäftigte]]n in der [[Landwirtschaft]] als dem primären [[Wirtschaftssektor]].
[[Datei:Rubik's cube.svg|mini|Auch die Drehungen eines [[Wikipedia:Zauberwürfel|Zauberwürfel]]s ({{EnS|Rubik’s Cube}}) bilden eine Gruppe.]]


== Geschichte ==
Als '''Gruppe''' wird in der [[Mathematik]] eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Element (Mathematik)|Elementen]] zusammen mit einer zweistelligen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei '''Gruppenaxiome''' erfüllt sind:
Die Agrargesellschaft löste die [[Horde (Wildbeuter)|Jäger-und-Sammler-Gemeinschaften]] ab und entstand vor etwa 12.000 Jahren. Die [[Domestizierung]] der Nutzpflanzen und Nutztiere war soweit fortgeschritten, dass die Menschen ihre [[Arbeit (Philosophie)|Arbeit]] überwiegend als Bauern oder Viehzüchter organisierten. Da die Angehörigen der Agrargesellschaft mit Ausnahme der [[Hirtenvolk|Hirtenvölker]] wegen der Bodenbewirtschaftung meist sesshaft sind, können größere Bestände an materiellen Gütern zusammengetragen und errichtet werden.<ref>Karl-Heinz Hillmann: ''Wörterbuch der Soziologie.'' Stuttgart 2007, Kapitel: Agrargesellschaft, S. 12f.</ref>


Alle europäischen Gesellschaften zwischen der [[Wikipedia:Neolithische Revolution|neolithischen Revolution]] und der [[Wikipedia:Industrielle Revolution|industriellen Revolution]] waren Agrargesellschaften, d. h. die kleinen und wenigen [[Stadt|Städte]] waren jeweils in ein größeres agrarisch geprägtes Umfeld eingebettet, das diese mit [[Lebensmittel]]n versorgte. Die Umwandlung dieser Agrargesellschaften in Industriegesellschaften erfolgte unter anderem durch die Industrialisierung der Landwirtschaft.
# Es gilt das [[Assoziativgesetz]], d.h. <math> a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c </math>
# Es existiert ein '''neutrales Element''' <math>e</math>, sodass <math>e \star a = a</math> (linksneutral) oder <math>a \star e = a</math> (rechtsneutral). Wird auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, ist <math>e \star a = a \star e = a</math>.
# Es gibt '''inverse Elemente''' <math>a^{-1}</math>, sodass <math>a^{-1} \star a = e</math> und/oder <math>a \star a^{-1} = e</math>


Jeder landwirtschaftliche Betrieb konnte durch Einsatz von [[Maschine]]n und chemischen [[Düngemittel]]n ein Mehrfaches an Produkten erzeugen, als für die Versorgung der in diesem Betrieb arbeitenden Menschen, meist Familienmitglieder, notwendig war. Dadurch wurden, unter der häufigen Begleiterscheinung von massenhaftem [[Wikipedia:Elend (Zustand)|Elend]], Arbeitskräfte für die [[Industrie]] freigesetzt.


Im europäischen [[Mittelalter]] entwickelte sich ein [[Wikipedia:Feudalismus|Feudalsystem]] innerhalb der Agrargesellschaften.
== Abelsche Gruppe ==
Für eine '''abelsche Gruppe''' ist zusätzlich auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, d.h. <math>a \star b = b \star a</math>. Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist <math> (\mathbb Z,+,0) </math>, die aus der Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] <math>\{\ldots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \ldots\}</math> und der gewöhnlichen Addition <math> + </math> besteht.


== Merkmale ==
== Halbgruppe ==
Alle modernen Gesellschaften waren Agrargesellschaften, wandelten sich später in [[Industriegesellschaft]]en, um im Laufe der Zeit [[Dienstleistungsgesellschaft]]en zu werden. Dieser historische Ablauf wird [[Drei-Sektoren-Hypothese]] genannt. Er sagt aus, dass „''in dem namensgebenden Sektor jeweils der Hauptanteil an Beschäftigung wie an wirtschaftlicher Wertschöpfung stattfindet.''“<ref>Ditmar Brock: ''Industrielle Revolution und moderne Industriegesellschaft.'' Wiesbaden 2011, S. 280.</ref>
Eine '''Halbgruppe''' erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe <math>(\mathbb N_0,+,0)</math>. Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe <math>(\mathbb Z,+,0)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> fehlt hier die ganze „Hälfte“ der ''negativen Zahlen'' und damit die inversen Elemente.


Die Agrargesellschaft hebt sich von der Industrie- und Dienstleistungsgesellschaft durch eine geringe [[Arbeitsteilung]], starke [[Selbstversorgung]] und geringer Pendelwanderung der Beschäftigten ab. Die Menschen leben hier oft in [[Großfamilie]]n. [[Freizeit]] und [[Arbeitszeit]] verschmelzen oft. Die Bevölkerungsmehrheit ist mit der Herstellung von Agrarprodukten beschäftigt. Die Geburten- und Sterberaten sind beide hoch. Das Zusammenleben ist häufig von einer gemeinsamen Religion, alten Sitten, Bräuchen, Traditionen und Gewohnheiten geprägt.<ref>Karl-Heinz Hillmann: ''Wörterbuch der Soziologie.'' Stuttgart 2007, Kapitel: Agrargesellschaft, S. 12.</ref>
== Gruppentheorie ==
{{WikipediaDE|Gruppentheorie}}


Die mit geringem oder keinem maschinellen Einsatz hergestellten landwirtschaftlichen Produkte dienen dabei vor allem der Selbstversorgung. Handel mit landwirtschaftlichen Produkten findet nur in geringem Maß statt, so dass der überwiegende Teil der Bevölkerung in der landwirtschaftlichen Produktion beschäftigt ist.
Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt '''Gruppentheorie'''.
 
== Gegenwart ==
 
Die industrialisierten [[Stadt|Städte]] und Zentren in der [[Dritte Welt|Dritten Welt]] sind auch heute noch meist von agrarisch dominierten Bereichen umschlossen. Daraus resultierten zahlreiche gesellschaftliche und soziale Probleme, da sich z. B. die [[Sozialisation]] auf dem Land entscheidend von der Sozialisation in einer industrialisierten Stadt unterscheidet. Dies führt oft zur sozialen und politischen Aufspaltung der Gesellschaften in Land- und Stadtbevölkerung.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Agrargesellschaft}}
== Referenzen ==
<references />


[[Kategorie:Gesellschaftsmodell]]
* {{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
[[Kategorie:Wirtschaftswissenschaft]]
* {{WikipediaDE|Gruppe (Mathematik)}}
[[Kategorie:Wirtschaft]]
* {{WikipediaDE|Abelsche Gruppe}}
* {{WikipediaDE|Halbgruppe}}
* [[Ring (Algebra)]]
* [[Körper (Algebra)]]


{{Wikipedia}}
[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 20. August 2019, 16:31 Uhr

Auch die Drehungen eines Zauberwürfels (eng. Rubik’s Cube) bilden eine Gruppe.

Als Gruppe wird in der Mathematik eine Menge von Elementen zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei Gruppenaxiome erfüllt sind:

  1. Es gilt das Assoziativgesetz, d.h.
  2. Es existiert ein neutrales Element , sodass (linksneutral) oder (rechtsneutral). Wird auch das Kommutativgesetz erfüllt, ist .
  3. Es gibt inverse Elemente , sodass und/oder


Abelsche Gruppe

Für eine abelsche Gruppe ist zusätzlich auch das Kommutativgesetz erfüllt, d.h. . Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist , die aus der Menge der ganzen Zahlen und der gewöhnlichen Addition besteht.

Halbgruppe

Eine Halbgruppe erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe . Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe der ganzen Zahlen fehlt hier die ganze „Hälfte“ der negativen Zahlen und damit die inversen Elemente.

Gruppentheorie

Gruppentheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt Gruppentheorie.

Siehe auch