Rotation (Medizin) und Gruppe (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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Unter Rotation versteht man eine Drehbewegung um ein Rotationszentrum, als '''Rotation''' wird in der Medizin die Drehbewegung von [[Arm]], [[Untere Extremität|Bein]] bzw. [[Wirbelsäule]] bezeichnet. Die Rotation ist im Vergleich zur Torsion kein statischer Zustand, sondern ein dynamischer Vorgang.
[[Datei:Rubik's cube.svg|mini|Auch die Drehungen eines [[Wikipedia:Zauberwürfel|Zauberwürfel]]s ({{EnS|Rubik’s Cube}}) bilden eine Gruppe.]]


Bei Armen und Beinen unterscheidet man noch zwischen einer Außen- und Innenrotation. Bei [[Fuß]] und [[Hand]] setzt sich die Rotation aus anderen Einzelbewegungen zusammen und wird dann als [[Supination]] beziehungsweise [[Pronation]] bezeichnet.
Als '''Gruppe''' wird in der [[Mathematik]] eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Element (Mathematik)|Elementen]] zusammen mit einer zweistelligen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei '''Gruppenaxiome''' erfüllt sind:


== Rotation des Oberkörpers ==
# Es gilt das [[Assoziativgesetz]], d.h. <math> a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c </math>
Die Rotation des Oberkörpers findet hauptsächlich in der [[Brustwirbelsäule]] (BWS) statt. Aufgrund der Stellung der [[Gelenkfläche]]n der [[Wirbelgelenk]]e in der [[Lendenwirbelsäule]] (LWS) zueinander, ist die Rotationsmöglichkeit hier sehr stark eingeschränkt. Die Rotationsfähigkeit erhöht sich aber bei nach vorne geneigtem Oberkörper.
# Es existiert ein '''neutrales Element''' <math>e</math>, sodass <math>e \star a = a</math> (linksneutral) oder <math>a \star e = a</math> (rechtsneutral). Wird auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, ist <math>e \star a = a \star e = a</math>.
# Es gibt '''inverse Elemente''' <math>a^{-1}</math>, sodass <math>a^{-1} \star a = e</math> und/oder <math>a \star a^{-1} = e</math>


== Rotation des Beines ==
Rotationen sind in einem großen Umfang im [[Hüftgelenk]] möglich. Hier unterscheidet man zwischen einer Innen- und Außenrotation.


Auch der [[Unterschenkel]] kann rotieren. Dies ist aber nur bei gebeugtem ([[Flexion (Medizin)|flektiertem]]) [[Kniegelenk]] möglich. Im gebeugten Zustand sind die Seitenbänder des Kniegelenks erschlafft und lassen diese Bewegung zu. Bei gestrecktem ([[Extension (Medizin)|extendiertem]]) Knie sind die [[Band (Anatomie)|Bänder]] allerdings gespannt und machen eine Bewegung unmöglich. Der Bewegungsumfang für die Rotation bei gebeugtem Knie beträgt für die Innenrotation etwa 10&nbsp;° und für die Außenrotation um 30–40&nbsp;°.
== Abelsche Gruppe ==
Für eine '''abelsche Gruppe''' ist zusätzlich auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, d.h. <math>a \star b = b \star a</math>. Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist <math> (\mathbb Z,+,0) </math>, die aus der Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] <math>\{\ldots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \ldots\}</math> und der gewöhnlichen Addition <math> + </math> besteht.


Die Möglichkeit der Rotationsbewegung des Beines ist beim Gehen von Bedeutung. Hierbei rotiert das Becken um die [[Längsachse]] des Körpers. Auf der Seite des [[Spielbein|Schwungbeines]] dreht sich das [[Becken (Anatomie)|Becken]] nach vorne, während es sich auf der Seite des [[Standbein]]es nach hinten bewegt. Mit dem [[Ferse|Fersenauftritt]] wechselt diese Rotation. Das Becken dreht sich nun in die andere Richtung. Diese Drehungen finden bei am Boden fixiertem Fuß des Standbeines statt. Das Becken dreht sich also relativ zum Fuß. Diese Rotationsbewegungen werden durch die Gelenkkette des Beines bestehend aus Hüftgelenk, Kniegelenk und [[Sprunggelenk]] ermöglicht. Fällt eines der Gelenke z.&nbsp;B. durch [[Amputation]] oder [[Gelenkversteifung]] weg, so müssen die anderen Gelenke der Kette diesen Verlust kompensieren. Das kann zu Schäden führen. Bei einem versteiften Hüftgelenk wird das Kniegelenk stärkeren Drehbewegungen ausgesetzt, die zu stärken Belastungen der Seitenbänder und damit zu einem Wackelknie führen.
== Halbgruppe ==
Eine '''Halbgruppe''' erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe <math>(\mathbb N_0,+,0)</math>. Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe <math>(\mathbb Z,+,0)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> fehlt hier die ganze „Hälfte“ der ''negativen Zahlen'' und damit die inversen Elemente.
 
== Gruppentheorie ==
{{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
 
Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt '''Gruppentheorie'''.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Rotation (Medizin) }}


[[Kategorie:Stütz- und Bewegungssystem]]
* {{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
[[Kategorie:Bewegung der Gelenke]]
* {{WikipediaDE|Gruppe (Mathematik)}}
[[Kategorie:Motorik]]
* {{WikipediaDE|Abelsche Gruppe}}
* {{WikipediaDE|Halbgruppe}}
* [[Ring (Algebra)]]
* [[Körper (Algebra)]]


{{Wikipedia}}
[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 20. August 2019, 16:31 Uhr

Auch die Drehungen eines Zauberwürfels (eng. Rubik’s Cube) bilden eine Gruppe.

Als Gruppe wird in der Mathematik eine Menge von Elementen zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei Gruppenaxiome erfüllt sind:

  1. Es gilt das Assoziativgesetz, d.h.
  2. Es existiert ein neutrales Element , sodass (linksneutral) oder (rechtsneutral). Wird auch das Kommutativgesetz erfüllt, ist .
  3. Es gibt inverse Elemente , sodass und/oder


Abelsche Gruppe

Für eine abelsche Gruppe ist zusätzlich auch das Kommutativgesetz erfüllt, d.h. . Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist , die aus der Menge der ganzen Zahlen und der gewöhnlichen Addition besteht.

Halbgruppe

Eine Halbgruppe erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe . Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe der ganzen Zahlen fehlt hier die ganze „Hälfte“ der negativen Zahlen und damit die inversen Elemente.

Gruppentheorie

Gruppentheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt Gruppentheorie.

Siehe auch