Taylorreihe

Eine Taylorreihe, benannt nach dem britischen Mathematiker Brook Taylor (1685-1731), ist eine Potenzreihe, die verwendet wird, um eine glatte Funktion $f(x)$, die nicht durch elementare mathematische Operationen (→ Grundrechenarten) berechnet werden kann (z.B. Exponentialfunktionen, Logarithmen, Trigonometrische Funktionen), als unendliche Summe von Potenzen darzustellen. Diese Reihenentwicklung bezeichnet man als Taylor-Entwicklung der Funktion.

Definition

Innerhalb eines offenen Intervalls $I\subset \mathbb {R}$ sei eine Funktion $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ und eine Entwicklungsstelle $a$ gegeben. Die Funktion kann dann an der Entwicklungsstelle wie folgt in eine Taylorreihe entwickelt werden:

${\begin{aligned}Tf(x;a)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{6}}(x-a)^{3}+\ldots \end{aligned}}$

Für den Spezialfall $a=0$ wird die Taylorreihe auch Maclaurinsche Reihe oder Maclaurin-Reihe genannt.