Zeruph und Gruppe (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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'''Zeruph''' ist ein Verfahren der jüdischen [[Wikipedia:Hermeneutik|Hermeneutik]], neben anderen, wie [[Gematria]], [[Temura]], [[Notarikon]]
[[Datei:Rubik's cube.svg|mini|Auch die Drehungen eines [[Wikipedia:Zauberwürfel|Zauberwürfel]]s ({{EnS|Rubik’s Cube}}) bilden eine Gruppe.]]


== Wortbedeutung ==
Als '''Gruppe''' wird in der [[Mathematik]] eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Element (Mathematik)|Elementen]] zusammen mit einer zweistelligen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei '''Gruppenaxiome''' erfüllt sind:
Zeruph, hebr: צרוף  leitet sich ab vom hebr. Verbum, צרף  (spr.: Tsaraph), was so viel wie „schmelzen von Metallen“ bedeutet. Es ist das PPP., also Geschmolzenes. Es geht darum, ein Wort zum Zwecke der Erläuterung in das Feuer zu bringen, zum Brennen  zu bringen, um es in eine neue Form zu gießen. Deshalb klingt das Wort auch so an das hebr. Wort für Brennen (שרף - saraf (assoziiere Seraphim)) an.
Auf griechisch heißt dies Verfahren τὸ ἀναγραμματισμός oder auch ἀνακύκλοσις, lat. revolutio, also Umwälzung.


== Das Verfahren ==
# Es gilt das [[Assoziativgesetz]], d.h. <math> a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c </math>
Beim Zeruph schreibt man alle möglichen Permutationen ohne Wiederholungen eines Wortes untereinander. Ziel ist es, zu einem Neuen Worte zu kommen, welches das Ausgangswort erklärt.
# Es existiert ein '''neutrales Element''' <math>e</math>, sodass <math>e \star a = a</math> (linksneutral) oder <math>a \star e = a</math> (rechtsneutral). Wird auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, ist <math>e \star a = a \star e = a</math>.
# Es gibt '''inverse Elemente''' <math>a^{-1}</math>, sodass <math>a^{-1} \star a = e</math> und/oder <math>a \star a^{-1} = e</math>


== Beispiel ==
* חלק - das Teil, Los, Bruchteil etc. Zeiteinheit.
* קלח - ohne  lexik. Bed.
* לקח - nehmen; die Lehre
* קחל - ohne  lexik. Bed.
* חקל - ohne  lexik. Bed.
* לחק - ohne  lexik. Bed.


Das Ganze wird auch kreisförmig dargestellt. Die einzelnen Worte, die jeweils eine andere Wortbildzahl, aber denselben Zahhlenwert haben, sind die Havioth, (הואת) = griech.: ο&#x1F50;σ&#x1F77;αι, also Seinsweisen eines Wortes. Auch hier wird wieder der Identitätsgedanke geritten. Das das Verb „nehmen“ mit dem Worte „Teil“ etymologisch verwandt ist, steht zu vermuten. Hier handelt es sich um die Metathesis.  
== Abelsche Gruppe ==
Für eine '''abelsche Gruppe''' ist zusätzlich auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, d.h. <math>a \star b = b \star a</math>. Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist <math> (\mathbb Z,+,0) </math>, die aus der Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] <math>\{\ldots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \ldots\}</math> und der gewöhnlichen Addition <math> + </math> besteht.


== Literatur ==
== Halbgruppe ==
Eine '''Halbgruppe''' erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe <math>(\mathbb N_0,+,0)</math>. Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe <math>(\mathbb Z,+,0)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> fehlt hier die ganze „Hälfte“ der ''negativen Zahlen'' und damit die inversen Elemente.


*Oaknin, Symbole des Judentums, München; 1995
== Gruppentheorie ==
*Dornseiff: Das Alphabet in Mystik und Magie; Leipzig 1925
{{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
*Jewish Encyclopedy


[[Kategorie:Mystik]] [[Kategorie:Jüsiche Hermeneutik]]
Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt '''Gruppentheorie'''.


{{Wikipedia}}
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
* {{WikipediaDE|Gruppe (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Abelsche Gruppe}}
* {{WikipediaDE|Halbgruppe}}
* [[Ring (Algebra)]]
* [[Körper (Algebra)]]
 
[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)|!]]
[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 8. Februar 2020, 13:01 Uhr

Auch die Drehungen eines Zauberwürfels (eng. Rubik’s Cube) bilden eine Gruppe.

Als Gruppe wird in der Mathematik eine Menge von Elementen zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei Gruppenaxiome erfüllt sind:

  1. Es gilt das Assoziativgesetz, d.h.
  2. Es existiert ein neutrales Element , sodass (linksneutral) oder (rechtsneutral). Wird auch das Kommutativgesetz erfüllt, ist .
  3. Es gibt inverse Elemente , sodass und/oder


Abelsche Gruppe

Für eine abelsche Gruppe ist zusätzlich auch das Kommutativgesetz erfüllt, d.h. . Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist , die aus der Menge der ganzen Zahlen und der gewöhnlichen Addition besteht.

Halbgruppe

Eine Halbgruppe erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe . Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe der ganzen Zahlen fehlt hier die ganze „Hälfte“ der negativen Zahlen und damit die inversen Elemente.

Gruppentheorie

Gruppentheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt Gruppentheorie.

Siehe auch