Gruppe (Mathematik)

Eine unendliche Reihe ist mathematisch definiert als Folge der Partialsummen $\left(s_{n}\right)$ einer anderen Folge $\left(a_{i}\right)$:

Für eine beliebige Folge $\left(a_{i}\right)$ ist die $n$-te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten $n$ Glieder:

$s_{n}=a_{0}+a_{1}+\ldots +a_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

Konvergenz

Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, konvergiert, so ist ihr Grenzwert die Summe oder der Wert der Reihe:

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge $\sum _{n=1}^{\infty }|s_{n}|$ konvergiert.

Konvergente Reihen können gliedweise addiert, subtrahiert oder mit einem konstanten Faktor multipliziert werden. Absolut konvergierende Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.

Beispiele

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe ist die Reihe einer arithmetischen Folge. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes:

$s_{n}=\sum _{i=0}^{n}(a_{0}+i\cdot d)=n\cdot {\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}$

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Für eine konvergente geometrische Reihe mit $|q|<1$ und folglich $\lim _{n\to \infty }q^{n+1}=0$ ergibt sich dann:

$s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{0}q^{i}=a_{0}+a_{0}q+a_{0}q^{2}+\dotsb +a_{0}q^{n}=a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Die Formel für die n-te Partialsumme lässt sich wie folgt herleiten:

$s_{n}=a_{0}+a_{0}q+a_{0}q^{2}+\dotsb +a_{0}q^{n}=a_{0}(1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n})|\cdot q$

$qs_{n}=a_{0}(q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{n+1})$

Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt sich:

$s_{n}-qs_{n}=a_{0}(1-q^{n+1})$

$s_{n}(1-q)=a_{0}(1-q^{n+1})\ |:(1-q)$

$s_{n}=a_{0}{\frac {q^{n+1}-1}{q-1}}=a_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Für den Grenzwert der Reihe folgt daraus:

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}a_{0}q^{i}={\frac {a_{0}}{1-q}}$

So hat z.B. die Reihe $s_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{2^{n}}}=(1,1+{\frac {1}{2}},1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}},1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}},\dots )=(1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}},{\frac {15}{8}},\dots )=$ mit $a_{0}=1$ und $q={\frac {1}{2}}$ den Grenzwert $\lim _{n\to \infty }s_{n}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$

Siehe auch

• Reihe (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia