Buddhismus und Reihe (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Seokguram Buddha.JPG|miniatur|250px|Buddha-Statue in der [[Wikipedia:Seokguram|Seokguram]]-Grotte]]
Eine unendliche '''Reihe''' ist [[Mathematik|mathematisch]] definiert als [[Folge (Mathematik)|Folge]] der '''Partialsummen''' <math>\left(s_n\right)</math> einer anderen Folge <math>\left(a_i\right)</math>:
Der '''Buddhismus''' ist eine [[Wikipedia:Religion|religiöse]] Lehre und ein [[geist]]iger [[Schulungsweg]], der auf den historischen [[Buddha]] [[Siddhartha Gautama]] zurückgeht.


== Die Vier Edlen Wahrheiten ==
Für eine beliebige Folge <math>\left(a_i\right)</math> ist die <math>n</math>-te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten <math>n</math> Glieder:
Den Kern der Lehre des Buddha Gautama, den er in seiner ersten Lehrrede, der [[Predigt von Benares]], dargelegt hat, bilden die  [[Vier Edle Wahrheiten|Vier Edlen Wahrheiten]] ([[Wikipedia:Pali|Pali]]: cattāri ariyasāccani, [[Sanskrit]]: catvāri āryasatyāni) [http://www.palikanon.de/vinaya/mahavagga/mv01_01_01-06.html#Dhammacakkappavattana]:  


# '''[[Dukkha]]''' - ''Das Leben im Daseinskreislauf ist letztlich leidvoll.''
:<math>s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n = \sum_{i=0}^n a_i</math>
#: Geburt ist Leiden, Altern ist Leiden, Tod ist Leiden; Kummer, Lamentieren, Schmerz und Verzweiflung sind Leiden. Gesellschaft mit dem Ungeliebten ist Leiden, das Gewünschte nicht zu bekommen ist Leiden. Kurz, die [[Skandhas|fünf Ansammlungen]] (skt. ''skandha'', p.''khandhah'') sind Leiden.
# '''[[Samudaya]]''' - ''Ursachen des Leidens sind Gier, Hass und Verblendung und das Nichtwissen (skt. ''avidyā'', p. ''avijjā'').''
#:Das Verlangen/Durst ([[tanha|skt. ''trisnā'', p. ''tanhā'']]), das zur [[Wiedergeburt]] führt - begleitet von Leidenschaft bzw. Wonne, genossen eben hier und eben da - nämlich das Verlangen nach Sinneslust, das Verlangen nach Werden, das Verlangen nach Nicht-Werden.
# '''[[Nirodha]]''' - ''Erlöschen die Ursachen, erlischt das Leiden.''
#:Das restlose Vergehen bzw. Enden, Abkehren, Abtreten, Aufgeben und Loslassen genau dieses Verlangens (''tanha''), womit auch die Illusion des [[Ich]] mit dem Gang ins [[Nirvana]] erlischt.
# '''[[Magga]]''' - ''Zum Erlöschen des Leidens führt der [[Achtfacher Pfad|„Edle Achtfache Pfad“]].''
#:Die acht Stufen dieses Pfades sind: Rechte Sicht, rechte Entschlossenheit, rechtes Reden, rechtes Handeln, rechter Lebensunterhalt/-erwerb, rechtes Bemühen, rechte Aufmerksamkeit/Achtsamkeit, rechte Konzentration. Man nennt Magga auch den [[Mittlerer Weg|Mittleren Pfad]] (Majihima Patipada), denn er meidet zwei Extreme: erstens die Suche nach Glück im Sinnengenuss, die niedrig, gemein und nicht gewinnbringend ist und als Weg des gewöhnlichen Menschen gilt. Und zweitens die Suche nach Glück in der Selbstpeinigung durch verschiedene Formen der [[Askese]], die schmerzvoll, unwürdig und ebenfalls nicht gewinnbringend ist.


== Die Illusion des Ich ==
== Konvergenz ==
Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, [[Konvergenz|konvergiert]], so ist ihr [[Grenzwert]] die ''Summe'' oder der ''Wert'' der Reihe:


Nach den Lehren des Buddhismus gibt es kein reales [[Ich]], das durch die [[Inkarnation]]en weiterwirkt. Das Ich sei nur eine bloße Illusion, ein Schein-Ich. Nur die Taten des vorangegangenen Erdenlebens wirken in eine nachfolgende Inkarnation hinüber, in der ein neues Schein-Ich gebildet wird.
:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n a_i</math>


<div style="margin-left:20px">
Eine Reihe ist genau dann '''absolut konvergent''', wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge <math>\sum_{n=1}^\infty |s_n|</math> konvergiert.
"Das ist
das Charakteristische des Buddhismus, daß von einem durch die Inkarnationen
durchgehenden realen Ich nicht gesprochen wurde. Aus
dem Grunde wurde nicht davon gesprochen, weil ein reales Ich bei
den Völkern des Ostens nicht voll zum Bewußtsein gekommen ist." {{Lit|{{G|148|198}}}}
</div>


<div style="margin-left:20px">
''Konvergente'' Reihen können gliedweise [[Addition|addiert]], [[Subtraktion|subtrahiert]] oder mit einem [[konstante]]n Faktor [[Multiplikation|multipliziert]] werden. ''Absolut konvergierende'' Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.
"Der Buddhismus ist die letzte Frucht einer hellsichtigen Urkultur,
während welcher die Menschen das frühere primitive
Hellsehen hatten, und für seine Zeit vertrat er den Gedanken,
daß es wiederholte Erdenleben gibt, aus dem Grunde,
weil es die Menschen als unmittelbare Erfahrung ihres alten
Hellsehens hatten. Dagegen aber behauptet der Buddhismus
durchaus, daß alles dasjenige, was aus einem früheren Leben
herüberspielt und sich im gegenwärtigen zum Ich zusammenballt,
eigentlich nichts wird als das Schein-Ich, das wir
im Bilde erblicken. Der Buddhismus kennt im Grunde genommen
nicht das wirkliche Ich, sondern nur das Schein-Ich,
das Bild, von dem wir gesprochen haben. Er spricht daher
davon, daß das Ich vergeht wie unser Leib, wie unsere
Hülle und unsere sonstigen Erlebnisse. Was der Buddhismus
aus dem früheren ins gegenwärtige Erdenleben herüberspielen
läßt, das sind nur die Taten des früheren Lebens, das
Karma. Wie sich die Taten zusammengruppieren, das ruft
nach dem Buddhismus in einem jeden neuen Leben ein
Schein-Ich hervor, so daß in unser neues Leben kein Ich,
sondern nur die Taten, nur das Karma hinüberspielt. Daher
sagt der Buddhist: Was als Ich wirkt, ist Schein wie alles
andere, ist Maja wie alles andere, und ich muß das Bestreben
haben, über das Ich hinauszukommen. Die Taten meines
früheren Lebens sind so verlaufen, daß sie sich jetzt herumgruppieren
wie um einen Mittelpunkt. Jenes Ich ist aber
ein bloßer Schein-Mittelpunkt. Daher muß ich auslöschen,
was mit dem Karma in das Leben hereingestellt ist. - Umgekehrt
sagt die Geisteswissenschaft: Das Ich, welches da
auftritt, ist die konzentrierende Tat des Karma." {{Lit|{{G|61|473f}}}}
</div>


<div style="margin-left:20px">
== Beispiele ==
"Wie müssen wir uns etwa das Schema der buddhistischen Reinkarnationslehre
denken, wenn es entsprechend der bloß buddhistischen
Theorie dargestellt werden soll?


[[Datei:GA131_126a.gif|center|200px|]]
=== Arithmetische Reihe ===


Mit dem Kreis wollen wir zeichnen die Erscheinung eines Menschen
Eine '''arithmetische Reihe''' ist die Reihe einer [[Arithmetische Folge|arithmetischen Folge]]. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] des ersten und des letzten Gliedes:
zwischen Geburt und Tod. Der Mensch stirbt. Der Zeitpunkt seines
Sterbens sei mit der Linie AB angedeutet. Was bleibt nun übrig von
allem, das in das gegenwärtige Dasein zwischen Geburt und Tod hineingebannt
ist? Eine Summe von Ursachen, die Ergebnisse der Taten,
alles was der Mensch Gutes oder Böses, Schönes oder Häßliches, Gescheites
oder Dummes getan hat, bleibt übrig. Was da übrig bleibt,
wirkt als Ursachen weiter und bildet einen Ursachenkern C für die


[[Datei:GA131_126b.gif|center|400px|]]
:<math>s_n = \sum_{i=0}^n(a_0 + i \cdot d)  = n \cdot \frac{a_0 + a_n}{2}</math>


nächste Inkarnation. Da herum gliedern sich in der nächsten Inkarnation
=== Geometrische Reihe ===
D neue Leibeshüllen; die erleben neue Tatsachen, neue Erlebnisse
gemäß diesem früheren Ursachenkern. Es bleibt dann von diesen Erlebnissen
und so weiter wieder ein Kern von Ursachen E für die folgende
Inkarnation, die das, was von der früheren Inkarnation in sie
hereinragt, umschließen kann, und das dann mit dem, was als etwas
ganz Selbständiges während dieser Inkarnation hinzukommt, wieder
den Ursachenkern für die nächste Inkarnation bildet und so fort.
Das heißt: es erschöpft sich das, was durch die Inkarnationen hindurchgeht,
in Ursachen und Wirkungen, die, ohne daß ein gemeinschaftliches
Ich die Inkarnationen zusammenhält, von einer Inkarnation in die andere
hinüberwirken. Wenn ich mich also in dieser Inkarnation mit «Ich»
nenne, ist das nicht aus dem Grunde, weil dasselbe Ich auch in der vorhergehenden
Inkarnation dawar, denn von der vorherigen Inkarnation
ist nur das vorhanden, was die karmischen Resultate sind, und was ich
mein Ich nenne, ist nur eine Maja der gegenwärtigen Reinkarnation.


Wer den Buddhismus wirklich kennt, muß ihn in dieser Weise
Eine '''geometrische Reihe''' ist die Reihe einer [[Geometrische Folge|geometrischen Folge]]. Für eine [[Konvergenz|konvergente]] geometrische Reihe mit <math>|q|<1</math> und folglich <math>\lim_{n \to \infty} q^{n+1}=0</math> ergibt sich dann:
darstellen; und er muß sich klar sein, daß das, was wir das Ich nennen,
gar keinen Platz hat innerhalb des Buddhismus." {{Lit|{{G|131|126f}}}}
</div>


== Die geistigen Wurzeln in der atlantischen Zeit ==
:<math>s_n = \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>


Die eigentlichen geistigen Wurzeln des Buddhismus sind nach [[Rudolf Steiner]] bereits in der [[Atlantische Zeit|atlantischen Zeit]] zu suchen, aus der auch die [[Wikipedia:Germanen|germanischen Völker]] ihre [[Wikipedia:Germanische Mythologie|Mythologie]] schöpften:
Die Formel für die n-te Partialsumme lässt sich wie folgt herleiten:


<div style="margin-left:20px">
:<math>s_n = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dotsb + a_0 q^n = a_0 (1 + q + q^2 + \dotsb + q^n) |\cdot q</math>
"Zu derselben Zeit, in der das
jüdische Prophetentum besteht, in den Jahrhunderten vor Christus,
finden wir hier den Hinweis auf einen großen uralten atlantischen
Initiierten, auf Wod-Wodha-Odin. Das ist ein modernisiertes Atlantiertum
in einer neuen Gestalt, ein Atavismus, ein Rückschlag ins
Atlantiertum. Und das geschieht überall, drüben in Asien auch. In
Asien ist das W ein B, Wodha = Bodha = Buddha. Der Buddhismus
ist drüben in Asien dieselbe Erscheinung, die als ein Rückschlag
in die atlantische Zeit auftritt. Daher finden wir den Buddhismus
am ausgebreitetsten bei den Überresten der Atlantier, bei den mongolischen
Völkern. Und wo er am großartigsten, säulenartig auftritt,
in Tibet, da haben wir einen modernen, monumentalen Ausdruck
alter atlantischer Kultur.


Solche Völkerzusammenhänge muß man kennen, dann versteht man
:<math>q s_n = a_0 (q + q^2 + q^3 + \dotsb + q^{n+1})</math>
auch die Geschichte. Als Attila, der Kämpfer für den Monotheismus,
in Europa erschien, machte er erst vor dem Christentum halt, weil
ihm da etwas Größeres entgegentrat, als die Hunnen es hatten. Der
Monotheismus der Hunnen war als Ausfluß einer atlantischen Kultur
von einer Großartigkeit, wie sie sie bei keinem der anderen Völker
auf ihren Wegen fanden. Nur das Christentum imponierte den Hunnen.
Manche Einzelheiten in der geschichtlichen Entwickelung werden
verstanden aus diesen großen Betrachtungen heraus." {{Lit|{{G|93a|260f}}}}
</div>


== Buddhismus und Christentum ==
Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt sich:


{{GZ|Wir müssen von Buddha so reden, wie er heute für uns
:<math>s_n - q s_n = a_0 (1 - q^{n+1})</math>
vorhanden ist, wenn wir hellseherisch seine Eingebungen verstehen.
Ebenso wie das Arabertum nicht ein Judentum war, wie der Jehova-
Mond nicht im Arabertum in alter Form und Gestalt wieder aufgetaucht
ist, so wird auch der Buddhismus, insofern er in der abendländischen
Kultur fruchtbar werden kann, nicht in der alten Gestalt
auftauchen, sondern er wird auftauchen in veränderter Gestalt, weil
das Spätere nicht bloß als Abklatsch des Früheren wieder auftritt.
Das sind kurze, abgerissene Sätze, die Anregungen sein sollen für
die Entwickelungsgedanken der Menschheit, die Sie ausbauen können.
Und ich kann Ihnen die Versicherung geben, wenn Sie alles
nehmen an geschichtlichen Erkenntnissen, was Sie nur auffinden
können, und die geisteswissenschaftliche Entwickelung Europas wirklich
verfolgen, so können Sie sehen, daß wir jetzt an dem Punkt eines
Zusammenfließens des Christentums mit dem Buddhismus stehen.|124|181f}}


== Literatur ==
:<math>s_n (1-q) = a_0 (1 - q^{n+1}) \  |: (1-q) </math>


* Hermann Beckh: ''Buddha und seine Lehre'', Urachhaus Vlg., Stuttgart 1998
:<math>s_n = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>
* Maurice Percheron: ''Buddha'', rororo-Monographie, Reinbek b. Hamburg 1979
* Zoran Perowanowitsch: ''Mit einem erweiterten Christusverständnis ins 21. Jahrhundert. Eine Synthese von Christentum und Buddhismus, Kitesh Vlg., Sölden 1998
* Rudolf Steiner: ''Menschengeschichte im Lichte der Geistesforschung'', [[GA 61]] (1983), ISBN 3-7274-0610-0 {{Vorträge|061}}
* Rudolf Steiner: ''Grundelemente der Esoterik'', [[GA 93a]] (1987), ISBN 3-7274-0935-5 {{Vorträge|093a}}
* Rudolf Steiner: ''Exkurse in das Gebiet des Markus-Evangeliums'', [[GA 124]] (1995), ISBN 3-7274-1240-2 {{Vorträge|124}}
* Rudolf Steiner: ''Aus der Akasha-Forschung. Das Fünfte Evangelium'', [[GA 148]] (1992), ISBN 3-7274-1480-4 {{Vorträge|148}}
* Rudolf Steiner: ''Von Jesus zu Christus'', [[GA 131]] (1988), ISBN 3-7274-1310-7 {{Vorträge|131}}
* Andreas Neider: ''Meditation in Ost und West - Buddhismus und Anthroposophie im Gespräch''. In: Anthroposophie weltweit Nr. 1/15, S. 16


{{GA}}
Für den Grenzwert der Reihe folgt daraus:


== Weblinks ==
:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = \frac{a_0}{1-q}</math>
* [http://www.palikanon.com/ Buddhas Lehrreden und andere Texte online]


[[Kategorie:Buddhismus]]
So hat z.B. die Reihe <math>s_n = \sum_{i=0}^{n} \frac1{2^n} = (1, 1 + \frac12, 1 + \frac12 + \frac14, 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18, \dots) = (1, \frac32, \frac74, \frac{15}8, \dots) =</math> mit <math>a_0=1</math> und <math>q=\frac12</math> den Grenzwert <math>\lim_{n \to \infty} s_n = \frac1{1 - \frac12} = \frac1{\frac12} = 2</math>
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Reihe (Mathematik)}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 22. April 2018, 20:12 Uhr

Eine unendliche Reihe ist mathematisch definiert als Folge der Partialsummen einer anderen Folge :

Für eine beliebige Folge ist die -te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten Glieder:

Konvergenz

Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, konvergiert, so ist ihr Grenzwert die Summe oder der Wert der Reihe:

Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge konvergiert.

Konvergente Reihen können gliedweise addiert, subtrahiert oder mit einem konstanten Faktor multipliziert werden. Absolut konvergierende Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.

Beispiele

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe ist die Reihe einer arithmetischen Folge. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes:

Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Für eine konvergente geometrische Reihe mit und folglich ergibt sich dann:

Die Formel für die n-te Partialsumme lässt sich wie folgt herleiten:

Durch Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt sich:

Für den Grenzwert der Reihe folgt daraus:

So hat z.B. die Reihe mit und den Grenzwert

Siehe auch